高中數(shù)學(xué)難解題組卷2

1、高中數(shù)學(xué)難解題組卷2 高中數(shù)學(xué)難解題組卷2一選擇題（共12小題）1已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos，sin），則向量與向量的夾角范圍為（）A0，B，C，D，2已知是關(guān)于x的一元二次方程，其中，是非零向量，且向量和不共線，則該方程（）A至少有一根B至多有一根C有兩個(gè)不等的根D有無數(shù)個(gè)互不相同的根3若=（2，3），=（4，7），則在方向上的投影為（）ABCD4已知兩點(diǎn)A（1，0），B（1，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC=120°，設(shè)，（R），則等于（）A1B1C2D25（2007遼寧）若向量與不共線，0，且，則向量與的夾角為（）A0BCD6在ABC所在平

2、面上有三點(diǎn)P、Q、R，滿足+=，+=，+=，則PQR的面積與ABC的面積之比為（）A1：2B1：3C1：4D1：57（2012湖南）在ABC中，AB=2，AC=3，=1，則BC=（）ABC2D8設(shè)向量，滿足，=60°，則的最大值等于（）A2BCD19若向量a=（cos，sin），b=（cos，sin），則a與b一定滿足（）Aa與b的夾角等于aB（a+b）（ab）CabDab10已知，是任意兩個(gè)向量，下列條件：=；|=|；與的方向相反；=或=；與都是單位向量，其中為向量與共線的充分不必要條件的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D411已知圓x2+y2=4，過A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中

3、點(diǎn)的軌跡方程是（）A（x2）2+y2=4B（x2）2+y2=4（0x1）C（x1）2+y2=4D（x1）2+y2=4（0x1）12四面體SABC中，各個(gè)側(cè)面都是邊長為a的正三角形，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角等于（）A900B600C450D300二填空題（共11小題）13已知A（3，7），B（5，2），向量按=（1，2）平移后所得向量是_14在ABO中，若，則SABC=_15設(shè)點(diǎn)A（2，0），B（4，2），點(diǎn)P在直線AB上，且|=2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_16如圖，設(shè)P，Q為ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，=+，則ABP的面積與ABQ的面積之比為 _17半圓的直徑AB=4，O為

4、圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC的中點(diǎn)，則的值是_18已知均為單位向量，它們的夾角為60°，=_19O為平面上的定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，若（）（+2）=0，則DABC是_三角形20已知向量集合M=a|a=（1，2）+（3，4），R，N=b|b=（2，2）+（4，5），R，則MN=_21O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，0，+），則P的軌跡一定通過ABC的_心22（2012湛江）若向量=（x，2x）與=（3x，2）的夾角是鈍角，則x的范圍是_23如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF

5、的中點(diǎn)，將ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為_三解答題（共7小題）24復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2z2z+1|的最大值和最小值25已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（4，0）（1）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)POQ的平分線交PQ于R，求R點(diǎn)的軌跡方程26過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程27如圖，在四棱錐SABCD中，SD底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，BAD=30°，AB=2，E是SC的中點(diǎn)（I）求證：SA平面BDE；（

6、II）求證：ADSB；（III）若SD=2，求棱錐CBDE的體積28如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：CE平面AC1D；（）求二面角CAC1D的余弦值29如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：平面A1CE平面AC1D30如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC=60°，點(diǎn)E、G分別是CD、PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F

7、在PD上，且PF：FD=2：1（）證明：EAPB；（）證明：BG面AFC高中數(shù)學(xué)難解題組卷2參考答案與試題解析一選擇題（共12小題）1已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos，sin），則向量與向量的夾角范圍為（）A0，B，C，D，考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角751888 專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合分析：利用CA是常數(shù)，判斷出A的軌跡為圓，作出A的軌跡；數(shù)形結(jié)合求出兩個(gè)向量的夾角范圍解答：解：|=，A點(diǎn)在以C為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)OA與圓相切時(shí)對(duì)應(yīng)的位置是OA 與OB所成的角最大和最小的位置OC與x軸所成的角為；與切線所成的為所以兩個(gè)向量所成的最小值為；最大值為故選D點(diǎn)評(píng)：本題考

8、查圓的定義、數(shù)形結(jié)合求兩個(gè)向量的夾角范圍2已知是關(guān)于x的一元二次方程，其中，是非零向量，且向量和不共線，則該方程（）A至少有一根B至多有一根C有兩個(gè)不等的根D有無數(shù)個(gè)互不相同的根考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算751888 分析：先將向量移到另一側(cè)得到關(guān)于向量=x2x，再由平面向量的基本定理判斷即可解答：解：=x2x因?yàn)榭梢杂刹还簿€的向量唯一表示所以可以由A和B唯一表示若恰好形式相同，則有一個(gè)解，否則無解所以至多一個(gè)解故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的基本定理，即平面內(nèi)任意向量都可由兩不共線的非零向量唯一表示出來3若=（2，3），=（4，7），則在方向上的投影為（）ABCD考點(diǎn)：向量的投影751888

9、 專題：常規(guī)題型；計(jì)算題分析：先求得兩向量的數(shù)量積，再求得向量的模，代入公式求解解答：解析：在方向上的投影為=故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用4已知兩點(diǎn)A（1，0），B（1，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC=120°，設(shè)，（R），則等于（）A1B1C2D2考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算751888 專題：計(jì)算題分析：先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)題意和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別用表示x和y，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示出AOC的余弦值，再求出的值解答：解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，y），則由得，（x，y）=2（1，0）+（1，）=（2+，），x=2+，y=，又

10、AOC=120°，cos120°=，即=，解得，=1故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，即通過條件列出關(guān)系式，利用向量相等的坐標(biāo)等價(jià)條件進(jìn)行求值5（2007遼寧）若向量與不共線，0，且，則向量與的夾角為（）A0BCD考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角751888 分析：求兩個(gè)向量的夾角有它本身的公式，條件中表現(xiàn)形式有點(diǎn)繁瑣，我們可以試著先求一下要求夾角的向量的數(shù)量積，求數(shù)量積的過程有點(diǎn)出乎意料，一下就求出結(jié)果，數(shù)量積為零，兩向量垂直，不用再做就得到結(jié)果，有些題目同學(xué)們看著不敢動(dòng)手做，實(shí)際上，我們試一下，它表現(xiàn)得很有規(guī)律解答：解：=0向量a與c垂直，

11、故選D點(diǎn)評(píng)：用一組向量來表示一個(gè)向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，本題使用兩個(gè)不共線的向量來表示第三個(gè)向量，這樣解題時(shí)運(yùn)算有點(diǎn)麻煩，但是我們應(yīng)該會(huì)的6在ABC所在平面上有三點(diǎn)P、Q、R，滿足+=，+=，+=，則PQR的面積與ABC的面積之比為（）A1：2B1：3C1：4D1：5考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義；相似三角形的性質(zhì)751888 專題：計(jì)算題分析：將已知向量等式變形，利用向量的運(yùn)算法則化簡得到，利用向量共線的充要條件得到P是AC的三等分點(diǎn)，同理得到Q、R分別是AB，BC的三等分點(diǎn)；利用三角形的面積公式求出三角形的面積比解答：解：由+=，得+=，即

12、+=+，即+=，=2，P為線段AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，同理可得Q、R的位置，PQR的面積為ABC的面積減去三個(gè)小三角形面積，面積比為1：3；故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件、相似三角形的面積關(guān)系7（2012湖南）在ABC中，AB=2，AC=3，=1，則BC=（）ABC2D考點(diǎn)：解三角形；向量在幾何中的應(yīng)用751888 專題：計(jì)算題分析：設(shè)B=，由=1，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，表示出cos，再利用余弦定理表示出cos，兩者相等列出關(guān)于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的長解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：=1，設(shè)B=，AB=2，2BCcos（）=1，

13、即cos=，又根據(jù)余弦定理得：cos=，=，即BC2=3，則BC=故選A點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理，以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵8設(shè)向量，滿足，=60°，則的最大值等于（）A2BCD1考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角751888 專題：計(jì)算題分析：利用向量的數(shù)量積求出的夾角；利用向量的運(yùn)算法則作出圖；結(jié)合圖，判斷出四點(diǎn)共圓；利用正弦定理求出外接圓的直徑，求出最大值解答：解：，的夾角為120°，設(shè)，則；=如圖所示則AOB=120°；ACB=60°AOB+ACO=180°

14、;A，O，B，C四點(diǎn)共圓由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=當(dāng)OC為直徑時(shí)，模最大，最大為2故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式、向量的運(yùn)算法則、四點(diǎn)共圓的判斷定理、三角形的正弦定理9若向量a=（cos，sin），b=（cos，sin），則a與b一定滿足（）Aa與b的夾角等于aB（a+b）（ab）CabDab考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系751888 專題：計(jì)算題分析：此題中的與沒限制條件，可用排除法排除A，C，D選項(xiàng)，再根據(jù)向量垂直檢驗(yàn)B選項(xiàng)正確即可解答：解：角，為全體實(shí)數(shù)，也為全體實(shí)數(shù)，而兩向量的夾角（0，），故A不對(duì)當(dāng)=45°，=30°時(shí)，與不平行，也不垂直

15、，故C，D不對(duì)=11=0，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的垂直關(guān)系并于三角相結(jié)合考查向量的摸的運(yùn)算是一道好題10已知，是任意兩個(gè)向量，下列條件：=；|=|；與的方向相反；=或=；與都是單位向量，其中為向量與共線的充分不必要條件的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4考點(diǎn)：平行向量與共線向量751888 專題：計(jì)算題分析：若兩向量：=；與的方向相反；=或=；則兩向量互為相反，一定共線，而當(dāng)兩向量共線時(shí)，不一定是：=；與的方向相反；=或=；由此關(guān)系判斷即可解答：解：若“：=；則“”與“”共線，但反之不一定成立，若與的方向相反；則“”與“”一定共線，但反之不一定成立，若=或=；則“”與“”一定共線，但反之不一定成立

16、，由此知 為向量與共線的充分不必要條件；故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查平行向量與共線向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握理解共線向量的定義以及相反向量的定義，結(jié)合向量的數(shù)乘，進(jìn)行判斷；本題還考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，根據(jù)充要條件的定義，先判斷pq，再判斷qp的真假，再得到結(jié)論11已知圓x2+y2=4，過A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是（）A（x2）2+y2=4B（x2）2+y2=4（0x1）C（x1）2+y2=4D（x1）2+y2=4（0x1）考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用；軌跡方程751888 分析：結(jié)合圖形，不難直接得到結(jié)果；也可以具體求解，使用交點(diǎn)軌跡法，見解答解答：解：設(shè)弦BC中點(diǎn)（

17、x，y），過A的直線的斜率為k，割線ABC的方程：y=k（x4）；作圓的割線ABC，所以中點(diǎn)與圓心連線與割線ABC垂直，方程為：x+ky=0；因?yàn)榻稽c(diǎn)就是弦的中點(diǎn)，它在這兩條直線上，故弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是：x2+y24x=0如圖故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查形式數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，軌跡方程，直線與圓的方程的應(yīng)用，易錯(cuò)題，中檔題12四面體SABC中，各個(gè)側(cè)面都是邊長為a的正三角形，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角等于（）A900B600C450D300考點(diǎn)：異面直線及其所成的角751888 專題：計(jì)算題分析：取AC中點(diǎn)G，連接EG，GF，F(xiàn)C，根據(jù)中位線可知GESA，根據(jù)異面直

18、線所成角的定義可知GEF為異面直線EF與SA所成的角，在GEF中求出此角即可解答：解：取AC中點(diǎn)G，連接EG，GF，F(xiàn)C設(shè)棱長為2，則CF=，而CE=1EF=，GE=1，GF=1而GESA，GEF為異面直線EF與SA所成的角EF=，GE=1，GF=1GEF為等腰直角三角形，故GEF=45°故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題二填空題（共11小題）13已知A（3，7），B（5，2），向量按=（1，2）平移后所得向量是（2，5）考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義751888 專題：計(jì)算題分析：先求出=（2，5），向量無論怎么平移

19、，由于它的長度和方向不變，故它的坐標(biāo)不變解答：解：由于 =（5，2）（3，7）=（2，5），向量無論怎么平移，由于它的長度和方向不變，故它的坐標(biāo)不變，故所得向量還是故答案為：（2，5）點(diǎn)評(píng)：本題考查求向量的坐標(biāo)，向量平移的意義，屬于基礎(chǔ)題14在ABO中，若，則SABC=考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù)；正弦定理751888 專題：計(jì)算題分析：先利用向量的數(shù)量積公式及兩個(gè)角差的余弦公式求出兩個(gè)向量的數(shù)量積，列出等式，求出向量的夾角值，再利用三角形面積公式求AOB的面積解答：解：因?yàn)椋?2cos5cos+2sin5sin=10cos（）=5所以：cos（）=AOB=120°

20、;SABC=|sinAOB=×2×5×=故答案為； 點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式：對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積和、考查兩角和與差的余弦公式解答關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積求出AOB的大小15設(shè)點(diǎn)A（2，0），B（4，2），點(diǎn)P在直線AB上，且|=2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（1，1）考點(diǎn)：向量的模751888 專題：計(jì)算題分析：由題意可得點(diǎn)P分成的比=1 或，分別利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：點(diǎn)P在直線AB上，|=2|，點(diǎn)P分成的比=1 或設(shè)點(diǎn)P（x，y），當(dāng)=1時(shí)，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x=3，y=1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）當(dāng)= 時(shí)，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

21、x=1，y=1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）故答案為 （3，1）或（1，1）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查定比分點(diǎn)分有向線段成的比的定義，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題16如圖，設(shè)P，Q為ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，=+，則ABP的面積與ABQ的面積之比為 考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義751888 分析：利用向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則作出P，利用同底的三角形的面積等于高的比求出，同理求出，兩個(gè)式子比求出ABP的面積與ABQ的面積之比解答：解：設(shè) 則由平行四邊形法則知NPAB 所以同理故故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形的面積公式17半圓的

22、直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC的中點(diǎn)，則的值是2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義751888 專題：計(jì)算題分析：根據(jù)題意，由向量的加法可得（+）=2，代入中，結(jié)合數(shù)量積的公式，計(jì)算可得答案解答：解：根據(jù)題意，半圓的直徑AB=4，則OA=OB=OC=2，OP=PC=1，與反向且模長都為1；（+）=2=2×1×1×cos180°=2；故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算，涉及加法與數(shù)量積的計(jì)算；解題時(shí)要結(jié)合圖形，注意P為半徑OC的中點(diǎn)這一條件18已知均為單位向量，它們的夾角為60°，

23、=考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算751888 分析：先由=+96=6|cos60°，將數(shù)代入即可得到答案解答：解：=+96=6|cos60°=103=7=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的點(diǎn)乘運(yùn)算和向量的求模運(yùn)算屬基礎(chǔ)題19O為平面上的定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，若（）（+2）=0，則DABC是以BC為底邊的等腰三角形三角形考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算751888 分析：首先把2拆開分別與、組合，再由向量加減運(yùn)算即可整理，然后根據(jù)（點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)），并結(jié)合圖形得出結(jié)論解答：解：由題意知=0，如圖所示，其中（點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)），所以ADBC，即AD是BC的中垂線

24、，所以AB=AC，即ABC為等腰三角形故答案為“以BC為底邊的等腰三角形”點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量加、減法的運(yùn)算及幾何意義，同時(shí)考查向量垂直的條件20已知向量集合M=a|a=（1，2）+（3，4），R，N=b|b=（2，2）+（4，5），R，則MN=（2，2）考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)751888 專題：計(jì)算題分析：求MN即求M和N中的公共元素構(gòu)成的集合，故只需令解出，在代入集合A或集合B即可解答：解：由（1，2）+1（3，4）=（2，2）+2（4，5），由，解得，MN=（2，2）故答案為：（2，2）點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的相等、集合的表示和運(yùn)算，屬基本知識(shí)、基本運(yùn)算的考查21O是

25、平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，0，+），則P的軌跡一定通過ABC的重心考點(diǎn)：向量的共線定理751888 分析：設(shè)出BC的中點(diǎn)D，由，可以轉(zhuǎn)化為，即=2，從而得到，得到答案解答：解：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則AD為ABC中BC邊上的中線 且，=2A、P、D三點(diǎn)共線所以點(diǎn)P一定過ABC的重心故答案為：重點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的基本定理和向量的共線定理屬中檔題22（2012湛江）若向量=（x，2x）與=（3x，2）的夾角是鈍角，則x的范圍是（，）（，0）（，+）考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角751888 專題：計(jì)算題分析：由題意可得 cos0 且 和 不共線，故有 2x2x

26、（3x），0，即 x0，x，且=3x2+4x0，由此求得x的范圍解答：解：向量 =（x，2x）與 =（3x，2）的夾角是鈍角，設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，則有cos0 且 和 不共線，2x2x（3x），0，即 x0，x，且=3x2+4x0解得 x0，且 x，或 x，故x的范圍是 （，）（，0）（，+），故答案為 （，）（，0）（，+）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的夾角公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，易錯(cuò)誤地認(rèn)為與夾角是鈍角（應(yīng)排除兩個(gè)向量反向共線的情形），屬于中檔題23如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF，則四

27、面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為考點(diǎn)：異面直線及其所成的角751888 分析：折成的四面體是正四面體，畫出立體圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角來計(jì)算解答：解：如圖，連接HE，取HE的中點(diǎn)K，連接GK，則GKDH，故PGK即為所求的異面直線角或者其補(bǔ)角設(shè)這個(gè)正四面體的棱長為2，在PGK中，故即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力在立體幾何中找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)

28、鍵技巧三解答題（共7小題）24復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2z2z+1|的最大值和最小值考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模751888 專題：計(jì)算題分析：設(shè) z=cos+isin，利用復(fù)數(shù)的乘方、模的定義、及三角公式化簡|2z2z+1|=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值解答：解：|z|=1，z=cos+isin，|2z2z+1|=|2（cos+isin）2（cos+isin）+1|=|（2cos2cos+1）+（2sin2sin）i|=當(dāng)cos=時(shí)，|2z2z+1|有最小值為，當(dāng)cos=1時(shí)，|2z2z+1|有最大值為 4點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的乘方、求復(fù)數(shù)的模的方法，三角公式及二次函數(shù)性質(zhì)得應(yīng)用25已知點(diǎn)P是圓x2+

29、y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（4，0）（1）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)POQ的平分線交PQ于R，求R點(diǎn)的軌跡方程考點(diǎn)：軌跡方程751888 專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x4，2y），代入圓的方程即得線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程（2）設(shè)R（x，y），由三角形角平分線性質(zhì)得出一個(gè)比例式，再設(shè)P（m，n），得出關(guān)于m，n與x，y的關(guān)系式，代入x2+y2=4中，即得R點(diǎn)的軌跡方程解答：解：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x4，2y），代入圓的方程得（x2）2+y2=1（2）設(shè)R（x，y），由=，設(shè)P（m，n），則有m=，n=，代入x2+y2=4中，得（x）2+

30、y2=（y0）點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法，本題主要是利用直接法和相關(guān)點(diǎn)代入法，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程相關(guān)點(diǎn)代入法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程26過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)：軌跡方程；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系751888 專題：計(jì)算題分析：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），欲求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，只須求出坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意得2|PM|=|AB|，利用兩點(diǎn)間的距

31、離公式將點(diǎn)的坐標(biāo)代入后化簡即得M的軌跡方程解答：解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2x，0），（0，2y），連接PM，l1l2，2|PM|=|AB|而|PM|=，|AB|=，2化簡，得x+2y5=0即為所求的軌跡方程點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程、兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題27如圖，在四棱錐SABCD中，SD底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，BAD=30°，AB=2，E是SC的中點(diǎn)（I）求證：SA平面BDE；（II）求證：ADSB；（III）若SD=2，求棱錐CBDE的體積考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與

32、直線之間的位置關(guān)系751888 專題：計(jì)算題；證明題分析：（）連接AC交BD于F，連接EF，證明SAEF，然后證明SA平面BDE（）利用余弦定理推出ADBD證明ADSD，然后證明ADSB（III）若SD=2，求出E到底面的距離，求出底面面積，利用等體積求解求棱錐CBDE的體積解答：解：（）連接AC交BD于F，連接EF，由ABCD是平行四邊形，知F為AC的中點(diǎn)，又E為SC的中點(diǎn)，所以SAEF，SA平面BDE，EF平面BDE，SA平面BDE（4分）（）由AB=2，AD=，BAD=30°，及余弦定理得取BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=1，AD2+BD2=AB2，ADBDSD平

33、面ABCD，AD平面ABCD，ADSD，AD平面SBD，又SB平面SBD，ADSB（8分）（）SD=2，所以E到底面的距離為1，=，（12分）點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行，直線與直線垂直直線與平面垂直的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力，空間想象能力28如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：CE平面AC1D；（）求二面角CAC1D的余弦值考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定751888 專題：綜合題分析：（1）連接A1C，與A

34、C1交于O點(diǎn)，連接OD，由三角形中位線定理可得ODA1B，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到A1B平面AC1D；（）由直棱柱的特征可得BB1AD，由三角形三線合一可得ADBC，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AD平面B1BCC1進(jìn)而ADCE，由側(cè)面B1BCC1為正方形，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，利用三角形全等可證得C1DCE，最后再由線面垂直的判定定理證得CE平面AC1D；（）以B1C1的中點(diǎn)G為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AC1D的一個(gè)法向量和平面ACC1的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得答案解答：證明：（）連接A1C，與AC1交于O點(diǎn)，連接OD因?yàn)镺，D分別為AC1和BC的中點(diǎn)，

35、所以O(shè)DA1B又OD平面AC1D，A1B平面AC1D，所以A1B平面AC1D（4分）證明：（）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，又AD平面ABC，所以BB1AD因?yàn)锳B=AC，D為BC中點(diǎn)，所以ADBC又BCBB1=B，所以AD平面B1BCC1又CE平面B1BCC1，所以ADCE因?yàn)樗倪呅蜝1BCC1為正方形，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，所以RtCBERtC1CD，CC1D=BCE所以BCE+C1DC=90°所以C1DCE又ADC1D=D，所以CE平面AC1D （9分）解：（）如圖，以B1C1的中點(diǎn)G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系則A（0，6，4），E（3，3，0），

36、C（3，6，0），C1（3，0，0）由（）知CE平面AC1D，所以為平面AC1D的一個(gè)法向量設(shè)n=（x，y，z）為平面ACC1的一個(gè)法向量，由可得令x=1，則所以從而因?yàn)槎娼荂AC1D為銳角，所以二面角CAC1D的余弦值為（14分）點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，以正三棱柱為載體，考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，及二面角等考點(diǎn)，難度中檔29如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB1的中點(diǎn)，四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形（）求證：A1B平面AC1D；（）求證：平面A1CE平面AC1D考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定751888 專題：證明題分析：（）連接A1C，與AC1交于O點(diǎn)，連接O