高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)卷立體幾何研討題目有詳細(xì)答案

1、高中數(shù)學(xué)組立體幾何高考研討會(huì)一、全國(guó)新課標(biāo)高考理科數(shù)學(xué)考試大綱1、空間幾何體認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖。會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。（2）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系理解空間直線、平面位置

2、關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi)。公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理。理解以下判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平

3、面都平行，那么這兩個(gè)平面平行。如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行。如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行。垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直。能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。2、空間向量與立體幾何（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

4、交分解及其坐標(biāo)表示.（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.（4）解直線的方向向量與平面的法向量.（5）能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.（6）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.（7）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng)用.二、考試內(nèi)容層次要求三、2010年2015年全國(guó)課標(biāo)卷1立體幾何考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)表2011年2015年全國(guó)課標(biāo)卷立體幾何考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)表（理科）年份選擇題填空題解答題2011年第6題三視圖

5、（側(cè)視圖）第15題球內(nèi)接四棱錐體積第18題線線垂直、二面角2012年第7題三視圖（三棱錐體積）第11題球內(nèi)接三棱錐體積第19題線線垂直、二面角2013年第6題球的截面性質(zhì)、球的體積第8題三視圖（幾何體體積）第18題線線垂直、線面角2014年第12題三視圖（三視圖還原、三棱錐棱長(zhǎng)）第19題線段相等（線面垂直）、二面角2015年第6題圓錐體積第11題三視圖（圓柱和球的表面積）第18題面面垂直、線線角2011年2015年全國(guó)課標(biāo)卷立體幾何考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)表（文科）年份選擇題填空題解答題2011年第8題三視圖（同理）第16題球內(nèi)接圓錐體積第18題線線垂直、三棱錐的高(題干同理)2012年第7題三視圖（三棱

6、錐體積）（同理）第8題球的體積第19題面面垂直、三棱錐體積（題干與理相似）2013年第11題三視圖（幾何體體積）（同理）第15題球的截面性質(zhì)、球的表面積第19題線線垂直、三棱錐體積（題干及1同理）2014年第8題三視圖（三視圖還原）第19題線線垂直、三棱柱高（點(diǎn)面距離）（題干與理相似）2015年第6題圓錐體積（同理）第11題三視圖（圓柱和球的表面積）（同理）第18題面面垂直、三棱錐體積及側(cè)面積四、立體幾何考綱研究比較顯示，2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版理科）、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說明（課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版理科）、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考

7、試廣東省考試說明（理科）要求基本保持一致，存在的主要差異是：1全國(guó)考試說明未涉及的內(nèi)容主要有：“會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖”2廣東考試說明不要求記憶“球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式”，而全國(guó)考試說明及全國(guó)考試大綱無此限定五、考試特點(diǎn)立體幾何的重點(diǎn)是考查空間想象能力，和推理論證能力，而三視圖是考查空間想象能力的很好載體，課標(biāo)卷加強(qiáng)三視圖的考查且達(dá)到一定的深度，一是表明重視新增內(nèi)容，二是體現(xiàn)能力立意.立體幾何解答題，文科突出考查直觀感知和簡(jiǎn)單的推理論證，比如證明線面平行或垂直，計(jì)算幾何體的表面積或體積等，不涉及線面角和二面角；理科更注重對(duì)空間想象能力和推理論證能力的考查，平行和垂直關(guān)

8、系以及計(jì)算線面角或二面角都是重要內(nèi)容，同時(shí)，題目的設(shè)計(jì)兼顧“幾何法”和“向量法”；在題干上基本采用文、理“姊妹題”或“同題不同序”的形式，文科重簡(jiǎn)單推理和適當(dāng)計(jì)算，理科重推理論證或計(jì)算證明.全國(guó)卷與廣東卷在考點(diǎn)分布的主要差異（一）內(nèi)容： 1全國(guó)卷對(duì)旋轉(zhuǎn)體特別是球的問題經(jīng)?？迹ㄒ皇强疾榍虻谋砻娣e、體積及距離等基本量的計(jì)算；二是考查球與多面體的相切接，考查了學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力），而廣東卷則較少涉及，廣東試卷2012年文科只出現(xiàn)了一次半球的三視圖2在選填題中，全國(guó)卷近五年對(duì)空間位置關(guān)系都未涉及，廣東卷2014年和2015年都出現(xiàn)了命題判斷式的客觀題，此類題目是過去立體幾何

9、高考題的常見形式，通常得分率也比較高，說明新課標(biāo)卷I更側(cè)重于實(shí)際圖形應(yīng)用中的考察。 3在解答題中，全國(guó)卷近五年對(duì)線面平行問題都未涉及，廣東卷也少有考查線面平行問題，但全國(guó)課標(biāo)卷常考查平行問題，2013年、2014年均有考查線面平行4全國(guó)卷考查三視圖的試題難度較大，空間想象能力要求比較高，廣東卷比較基礎(chǔ)5全國(guó)卷有出現(xiàn)“直棱柱、正棱柱、正棱錐”等概念，而廣東卷從未涉及這些概念6.全國(guó)卷文理科背景材料經(jīng)常是相近的，甚至是同題（2011年2014年），廣東卷文理科試題背景材料也相近的，但少同題全國(guó)卷與廣東卷在考點(diǎn)分布的主要差異（二）結(jié)構(gòu)與難度： 1、結(jié)構(gòu)：全國(guó)卷經(jīng)常是1道選擇題、1道填空題、1道解答題

10、，共3道題；廣東卷經(jīng)常是1道選擇題或填空題、1道解答題，共2道題2、分?jǐn)?shù)比例：全國(guó)卷對(duì)立體幾何考查的分值為22分，占全卷分值約15%，廣東卷的分值為19分，占全卷分值約13%3、難度定位：全國(guó)卷對(duì)立體幾何的考查難度相對(duì)穩(wěn)定，選擇題、填空題難度為中等偏難，選擇題基本在后六題的位置，填空題基本在后二題的位置（時(shí)而作為選擇題壓軸題，如2014年理12、2011年文16、2012年及2014年理11、2013年及2015年文11）；解答題屬于中等難度，且基本定位在第2、3題的位置4、廣東卷對(duì)立體幾何的考查，選擇題、填空題為基礎(chǔ)題，選擇題在前六題的位置，填空題在前二題的位置；解答題廣東卷波動(dòng)較大從整體上

11、，對(duì)于選擇題、填空題的考查，全國(guó)卷難于廣東卷；解答題方面，廣東有時(shí)難于全國(guó)卷（但都處在解答題第三道）六、復(fù)習(xí)建議1、加強(qiáng)文字語言、符號(hào)語言和圖形語言的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)基本圖形，對(duì)圖形進(jìn)行分解組合，提高圖形的解讀能力.2、熟練掌握直線與平面平行和垂直有關(guān)性質(zhì)定理和判定定理，每個(gè)邏輯段的條件和結(jié)論要清楚，表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)，避免跳步和習(xí)慣性地漏掉一些得分點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).3、理科要重視建系訓(xùn)練，掌握“向量坐標(biāo)法”解決立體幾何問題的一般套路：建系找量計(jì)算“翻譯”.恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系、準(zhǔn)確表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)向量的坐標(biāo)，用解方程的方法求出平面的法向量七、近五年全國(guó)卷高考真題（2011年新課標(biāo)理科第6題）在一個(gè)幾

12、何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（ ）解析：條件對(duì)應(yīng)的幾何體是由底面棱長(zhǎng)為r的正四棱錐沿底面對(duì)角線截出的部分與底面為半徑為r的圓錐沿對(duì)稱軸截出的部分構(gòu)成的。故選D（2011年新課標(biāo)理科第15題）已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 。解析：設(shè)ABCD所在的截面圓的圓心為M,則AM=,OM=，.（2011年新課標(biāo)理科第18題）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。解析1：（）因?yàn)? 由余弦定理得 從而BD

13、2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD所以BD 平面PAD. 故 PABD（）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，則,。設(shè)平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則, 即 因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值為 （2012年新課標(biāo)理科第7題）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）（A）6 （B）9 （C）12（D）18【解析】選 該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為 此幾何體的體積為（2012年新課標(biāo)理科第

14、11題）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】選 的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離 為球的直徑點(diǎn)到面的距離為 此棱錐的體積為 另：排除（2012年新課標(biāo)理科第19題）如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，。（）證明：（）求二面角的大小?！窘馕觥浚?）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 得：點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè)，則， 既二面角的大小為（2013年新課標(biāo)I理科第6題）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)

15、球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ( )A、cm3B、cm3 C、cm3 D、cm3【命題意圖】本題主要考查球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式，是容易題.【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，球的體積為=，故選A.（2013年新課標(biāo)I理科第8題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為. . . .【命題意圖】本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖及簡(jiǎn)單組合體體積公式，是中檔題.【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個(gè)長(zhǎng)為4寬為2高為2長(zhǎng)方體，故其體積為 =，故選.

16、（2013年新課標(biāo)I理科第18題）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60°.（）證明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值?！久}意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質(zhì)及線面角的計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題.【解析】（）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； 6分（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的

17、方向?yàn)檩S正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),則=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分設(shè)=是平面的法向量，則，即，可取=（，1，-1），=，直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 12分（2014年新課標(biāo)I理科第12題）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個(gè)條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ）. . .6 .4【答案】：C【解析】：如圖所示，原幾何體為三棱錐，其中，故最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為，選C（2014年新課標(biāo)I理科第19題）如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，.()

18、 證明：；（）若，AB=BC，求二面角的余弦值.【解析】：()連結(jié)，交于O，連結(jié)AO因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且O為與的中點(diǎn)又，所以平面，故=又 ，故 6分（）因?yàn)榍襉為的中點(diǎn)，所以AO=CO= 又因?yàn)锳B=BC=，所以故OAOB，從而OA，OB，兩兩互相垂直 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，OB為單位長(zhǎng)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O- 因?yàn)椋詾榈冗吶切斡諥B=BC=，則，設(shè)是平面的法向量，則，即 所以可取設(shè)是平面的法向量，則，同理可取則，所以二面角的余弦值為.（2015年新課標(biāo)I理科第6題）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】2rr正視圖正視圖俯視圖r2r設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的