Matlab求解線性方程組、非線性方程組

1、求解線性方程組solve，linsolve例：A=5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1;%矩陣的行之間用分號隔開，元素之間用逗號或空格B=3;1;1;0X=zeros(4,1);%建立一個4元列向量X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：對表達式fun中的變量var求n階導(dǎo)數(shù)。例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用來定義一個符號表達式diff(F); %matlab區(qū)分大小寫pretty(ans) %pretty（）：用習(xí)慣書寫方式顯示變量；ans是答案表達式非線性方程求解fsolve(fun,x0

2、,options)其中fun為待解方程或方程組的文件名；x0位求解方程的初始向量或矩陣；option為設(shè)置命令參數(shù)建立文件fun.m：function y=fun(x)y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2), .x(2) - 0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2);>>clear;x0=0.1,0.1;fsolve(fun,x0,optimset('fsolve')注：.為續(xù)行符m文件必須以function為文件頭，調(diào)用符為；文件名必須與定義的函數(shù)名相同；fsolve（）主要求解復(fù)雜非線性方程和方程組，求解過程是一個逼近過程。&

3、#160; Matlab求解線性方程組AX=B或XA=B在MATLAB中，求解線性方程組時，主要采用前面章節(jié)介紹的除法運算符“/”和“”。如：X=AB表示求矩陣方程AXB的解；XB/A表示矩陣方程XA=B的解。對方程組XAB，要求A和B用相同的行數(shù)，X和B有相同的列數(shù)，它的行數(shù)等于矩陣A的列數(shù)，方程XB/A同理。如果矩陣A不是方陣，其維數(shù)是m×n，則有：mn 恰定方程，求解精確解；m>n 超定方程，尋求最小二乘解；m<n 不定方程，尋求基本解，其中至多有m個非零元素。針對不同的情況，MATLAB將采用不同的算法來求解。一恰定方程組恰定方程組由n個未知數(shù)的n個方程

4、構(gòu)成，方程有唯一的一組解，其一般形式可用矩陣，向量寫成如下形式：Ax=b 其中A是方陣，b是一個列向量；在線性代數(shù)教科書中，最常用的方程組解法有：（1）利用cramer公式來求解法；（2）利用矩陣求逆解法，即x=A-1b；（3）利用gaussian消去法；（4）利用lu法求解。一般來說，對維數(shù)不高，條件數(shù)不大的矩陣，上面四種解法所得的結(jié)果差別不大。前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實際的數(shù)值計算。MATLAB中，出于對算法穩(wěn)定性的考慮，行列式及逆的計算大都在lu分解的基礎(chǔ)上進行。在MATLAB中，求解這類方程組的命令十分簡單，直接采用表達式：x=Ab。在MATLAB的指令解釋器在確認(rèn)變量

5、A非奇異后，就對它進行l(wèi)u分解，并最終給出解x；若矩陣A的條件數(shù)很大，MATLAB會提醒用戶注意所得解的可靠性。如果矩陣A是奇異的，則Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩陣A接近奇異時，MATLAB將給出警告信息；如果發(fā)現(xiàn)A是奇異的，則計算結(jié)果為inf，并且給出警告信息；如果矩陣A是病態(tài)矩陣，也會給出警告信息。注意：在求解方程時，盡量不要用inv(A)*b命令，而應(yīng)采用Ab的解法。因為后者的計算速度比前者快、精度高，尤其當(dāng)矩陣A的維數(shù)比較大時。另外，除法命令的適用行較強，對于非方陣A，也能給出最小二乘解。二超定方程組對于方程組Ax=b，A為n×m矩陣，如果A列滿秩，且n>

6、;m。則方程組沒有精確解，此時稱方程組為超定方程組。線性超定方程組經(jīng)常遇到的問題是數(shù)據(jù)的曲線擬合。對于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=Ab）來尋求它的最小二乘解；還可以用廣義逆來求，即x=pinv(A),所得的解不一定滿足Ax=b，x只是最小二乘意義上的解。左除的方法是建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上，由此獲得的解最可靠；廣義逆法是建立在對原超定方程直接進行householder變換的基礎(chǔ)上，其算法可靠性稍遜與奇異值求解，但速度較快；【例7】求解超定方程組A=2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b3 0 3 -6;

7、rank(A)ans=3x1=Abx1=1.00002.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可見x1并不是方程Ax=b的精確解，用x2=pinv(A)*b所得的解與x1相同。三欠定方程組欠定方程組未知量個數(shù)多于方程個數(shù)，但理論上有無窮個解。MATLAB將尋求一個基本解，其中最多只能有m個非零元素。特解由列主元qr分解求得?！纠?】解欠定方程組A1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1

8、5b=1 -1 5x1=AbWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015x1=0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四方程組的非負(fù)最小二乘解在某些條件下，所求的線性方程組的解出現(xiàn)負(fù)數(shù)是沒有意義的。雖然方程組可以得到精確解，但卻不能取負(fù)值解。在這種情況下，其非負(fù)最小二乘解比方程的精確解更有意義。在MATLAB中，求非負(fù)最小二乘解常用函數(shù)nnls，其調(diào)用格式為：（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解過程被限制在x 的條件下；（2）X=nnls(A,b,TOL)指定誤差TOL來求解，TOL的默認(rèn)值為TOL=max(size(A)*norm(A,1)*eps，矩陣的1范數(shù)越大，求解的誤差越大；（3）X,W=nnls(A,b) 當(dāng)x(i)=0時，w(i)<0；當(dāng)下x(i)>0時，w(i)0,同時返回一個雙向量w?！纠?】求方程組的非負(fù)最小二乘解A=3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261;b=-1.000 1.5000 2.5000;X