二項式系數(shù)的性質的應用(2)

1、二項式定理二項式定理:二項式系數(shù)二項式系數(shù):(a+b)n=01122 2()nnnn nnnnnC aC a b C abC b nN(0,1, )rnCrn稱為各項的二項式系數(shù)稱為各項的二項式系數(shù).知識回顧：知識回顧：二項式系數(shù)的性質：二項式系數(shù)的性質：mn mnnCC(2)每行兩端都是每行兩端都是1，除，除1以外的每個數(shù)都等于以外的每個數(shù)都等于“肩肩”上兩上兩數(shù)之和數(shù)之和. .即即: :(1)對稱性：對稱性：11mmmnnnCCC(3)增減性與最大值：增減性與最大值：當當 時時, ;12nr1rrnnCC當當n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, 最大最大;2nnC當當n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, 最大最大;112

2、2nnnnCC、12nr1rrnnCC當當 時時, ;先先增增后后減減, ,在在中間中間取得最大值取得最大值. .rnC012(4)2nnnnnnCCCC(5)奇數(shù)項二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項系數(shù)之和奇數(shù)項二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項系數(shù)之和.02413512nnnnnnnCCCCCC12CCCC321nnnnnn 可以看成以可以看成以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)f（r），其定義域是），其定義域是0,1,n。rnC函數(shù)角度：函數(shù)角度：（2）增減性與最大值增減性與最大值二項式系數(shù)的性質：二項式系數(shù)的性質：f（r）n為奇數(shù)；為奇數(shù)；如如n=72nf（r）rnO615201n為偶數(shù)；為偶數(shù)；如如n=62

3、n20103035On743關于關于r=n/2對稱對稱r=3時時取得最大值取得最大值圖象法解釋圖象法解釋圖象的對稱軸圖象的對稱軸：2nr r=3和和r=4時時取得最大值取得最大值例例4 4已知已知(1-2x)(1-2x)7 7=a=a0 0+ a+ a1 1x + ax + a2 2x x2 2 + + a + + a7 7x x7 7 , ,則則(1)a(1)a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a7 7=_=_(2) a(2) a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3 + -a + -a7 7 =_ =_(3)a(3)a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7 =_

4、=_(4)a(4)a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6 =_ =_賦值法賦值法變式：變式：若已知若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + + a200(x-1)200求求a1+a3+a5+a7+a199的值的值.(1)求求a0;(2)求求 ; 123100aaaa(3)求求 ; 13599aaaa2202410013599()()aaaaaaaa(4)求求123100|aaaa(5)求求1002100012100(23 ) xaa xa xax設設練習：練習：1 1n nn nn n2 2n n1 1n n0 0n n2 22 2n nC C

5、1 1n n. . . .3 3C C2 2C CC C求求證證：. 3 點拔點拔:倒序相加法倒序相加法. .的的值值. .a aa aa aa a求求. .x xa ax xa ax xa aa a3 32 2x x2 2. .設設2 23 31 12 22 20 03 33 32 22 21 10 03 31._;.1111191171151131111121CCCCCCCCCnnnn10212 n練習練習4、已知已知 的展開式中只有第的展開式中只有第10項系數(shù)最大，求項系數(shù)最大，求第五項。第五項。 nxx431解：依題意，解：依題意， 為偶數(shù)，且為偶數(shù)，且n,18,1012nn.3060

6、14443418418145xxxCTT變式變式：若將若將“只有第只有第10項項”改為改為“第第10項項”呢？呢？4、已知已知(1-2x)n的展開式中的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32,則該二項式展開式的中間項是則該二項式展開式的中間項是_.3、(2a-3b)n的展開式中的展開式中,二項式系數(shù)最大的是第二項式系數(shù)最大的是第8項和第項和第9項項,則它的第則它的第4項的系數(shù)是項的系數(shù)是_.2、(x-2)9的展開式中的展開式中,各二項式系數(shù)的最大值是各二項式系數(shù)的最大值是_,它是展開式中的第它是展開式中的第_項項.練習練習1、(2x-y)5的展開式中各項系數(shù)和是的展開式

7、中各項系數(shù)和是_.展開式中二項式系數(shù)和是展開式中二項式系數(shù)和是_.5.在二項式在二項式(a-b)2n+1的展開式中的展開式中,下列結論正確的是下列結論正確的是( ) A.中間一項的二項式系數(shù)最大中間一項的二項式系數(shù)最大. B.中間兩項的二項式系數(shù)相等且最小中間兩項的二項式系數(shù)相等且最小. C.中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大. D.中間兩項的二項式系數(shù)是互為相數(shù)中間兩項的二項式系數(shù)是互為相數(shù).6.如果如果 的展開式中的展開式中,只有第只有第6項的系數(shù)最大項的系數(shù)最大, 那么常數(shù)項是那么常數(shù)項是( ) A.462 B.252 C.210 D.10331()nxx7.

8、(x-2y)8的展開式中的展開式中,各項的二項式系數(shù)和是各項的二項式系數(shù)和是_,各項的系數(shù)和是各項的系數(shù)和是_, 第第_項的二項式系數(shù)最項的二項式系數(shù)最大大,第第_項的系數(shù)最大項的系數(shù)最大.8. 在在 的展開式中的展開式中,含含x的整數(shù)次冪的各項系的整數(shù)次冪的各項系數(shù)之和是數(shù)之和是_.1(2)nx9.設設 的展開式中的展開式中x的系數(shù)是的系數(shù)是 19.(m,nN+).( )(1)(1)mnf xxx(1)求求f(x)的展開式中的展開式中x2的系數(shù)的最小值的系數(shù)的最小值;(2)當當f(x)的展開式中的展開式中x2的系數(shù)的最小值時的系數(shù)的最小值時,求展開式中求展開式中x7的系數(shù)的系數(shù); 思路：思路

9、：把把 看成看成y, 包含包含 y的偶數(shù)次冪的式子之和記為的偶數(shù)次冪的式子之和記為A,包包含含 y的奇數(shù)次冪的式子之和記為的奇數(shù)次冪的式子之和記為B,再令再令y=1得得A+B=, 令令y= -1得得A-B=計算計算A.x 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 所有行的第二個所有行的第二個數(shù)構成等差數(shù)列數(shù)構成等差數(shù)列楊輝三角的部分性質：楊輝三角的部分性質：第二斜行的規(guī)律第二

10、斜行的規(guī)律 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 2) 1( nnan第三斜行的規(guī)律第三斜行的規(guī)律楊輝三角的部分性質：楊輝三角的部分性質： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ny2122232+ + + +楊輝三角的部分性質：楊輝三角的部分性質：1.萊布尼茨三角如圖所示：萊布尼茨三角如圖所示：第第0行行 -11第第1行行 -1212第第2行行 -131316第第3行行 -1414112112第第4行行 -1515