相似三角形模型講一線三等角問題講義解答

1、1、 相似三角形判定的基本模型認(rèn)識（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一線三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（6） 雙垂型： 相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。 8字型拓展共 享 性 一線三等角的變形 一線三直角的1如圖，梯形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，BECD交CA延長線于E求證：OC2=OAOE2如圖，在ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D是邊BC上（不與B，C重合）一動(dòng)點(diǎn)，ADE=B=，DE

2、交AC于點(diǎn)E下列結(jié)論：AD2=AEAB；3.6AE10；當(dāng)AD=2時(shí)，ABDDCE；DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或12.5其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）3已知：如圖，ABC中，點(diǎn)E在中線AD上，DEB=ABC求證：（1）DB2=DEDA；（2）DCE=DAC4已知：如圖，等腰ABC中，AB=AC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD、AC于E、F求證：BE2=EFEG5如圖，已知AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證：FD2=FBFC6已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDAB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D

3、與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且EPD=A設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，BEP的面積為y（1）求證：AE=2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)BEP與ABC相似時(shí)，求BEP的面積7如圖，在ABC中，A=60°，BD、CE分別是AC與AB邊上的高，求證：BC=2DE8如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、B、C、E在同一條直線上，且DAE=120°（1）圖中有哪幾對三角形相似？請證明其中的一對三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的長9（已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，DAE=45°求證：（1）ABEDCA；（2）BC

4、2=2BECD10如圖，在等邊ABC中，邊長為6，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°（1）求證：BDECFD；（2）當(dāng)BD=1，CF=3時(shí)，求BE的長11（1）在ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持APQ=ABC若點(diǎn)P在線段CB上（如圖），且BP=6，求線段CQ的長；若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）正方形ABCD的邊長為5（如圖），點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持APQ=90度當(dāng)CQ=1時(shí)，寫出線段BP的長（不需要計(jì)算過程，請直接寫出結(jié)果）13已知

5、梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，AD=5，AB=DC=2（1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPC=A，求AP的長；（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPE=A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；當(dāng)CE=1時(shí)，寫出AP的長（不必寫解答過程）14如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=BC=6，AD=3點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作EMF=B，射線ME交腰AB于點(diǎn)E，射線MF交腰CD于點(diǎn)F，連接EF（1）求證：MEFBEM；（2）若BEM是以BM為腰

6、的等腰三角形，求EF的長；（3）若EFCD，求BE的長15已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)（1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2求證：BEPCPD；（2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)，設(shè)BP=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)時(shí)，求BP的長16如圖所示，已知邊長為3的等邊ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF=1，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，直線EG，F(xiàn)G交直線AC于點(diǎn)M，N，（1

7、）寫出圖中與BEF相似的三角形；（2）證明其中一對三角形相似；（3）設(shè)BE=x，MN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（4）若AE=1，試求GMN的面積17如圖所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、D不重合），過點(diǎn)P作PECP交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)PD=x，AE=y，（1）寫出y與x的函數(shù)解析式，并指出自變量的取值范圍；（2）如果PCD的面積是AEP面積的4倍，求CE的長；（3）是否存在點(diǎn)P，使APE沿PE翻折后，點(diǎn)A落在BC上？證明你的結(jié)論18如圖，在RtABC中，C=90°，AB=5，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)

8、點(diǎn)，DFDE交射線AC于點(diǎn)F（1）求AC和BC的長；（2）當(dāng)EFBC時(shí)，求BE的長；（3）連接EF，當(dāng)DEF和ABC相似時(shí)，求BE的長19如圖，在RtABC中，C=90°，AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)，E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），DFDE，DF與射線BC相交于點(diǎn)F（1）如圖2，如果點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，求證：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，設(shè)AE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；以CE為直徑的圓與直線AB是否可相切？若可能，求出此時(shí)x的值；若不可能，請說明理由20如圖，在ABC中

9、，C=90°，AC=6，D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DEF=90°，EF交射線BC于點(diǎn)F設(shè)BE=x，BED的面積為y（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如果以線段BC為直徑的圓與以線段AE為直徑的圓相切，求線段BE的長；（3）如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與BED相似，求BED的面積21如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC=，ADC=DAB=90°，P是腰BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含點(diǎn)B、C），作PQAP交CD于點(diǎn)Q（圖1）（1）求BC的長與梯形ABCD的面積；（2）當(dāng)PQ=DQ時(shí)，求BP的長；（圖2）（

10、3）設(shè)BP=x，CQ=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域1.解答：證明：ADBC，=，又BECD，=，=，即OC2=OAOE2. 解答：解：AB=AC，B=C，又ADE=BADE=C，ADEACD，=，AD2=AEAB，故正確，易證得CDEBAD，BC=16，設(shè)BD=y，CE=x，=，=，整理得：y216y+64=6410x，即（y8）2=6410x，0x6.4，AE=ACCE=10x，3.6AE10故正確作AGBC于G，AB=AC=10，ADE=B=，cos=，BC=16，AG=6，AD=2，DG=2，CD=8，AB=CD，ABD與DCE全等；故正確；當(dāng)AED=90°時(shí)，由

11、可知：ADEACD，ADC=AED，AED=90°，ADC=90°，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos=，AB=10，BD=8當(dāng)CDE=90°時(shí)，易CDEBAD，CDE=90°，BAD=90°，B=且cos=AB=10，cosB=，BD=故正確故答案為：3. 解答：證明：（1）在BDE和DAB中DEB=ABC，BDE=ADB，BDEADB，BD2=ADDE（2）AD是中線，CD=BD，CD2=ADDE，又ADC=CDE，DECDCA，DCE=DAC4. 解答：證明：連接CE，如右圖所示，AB=AC，ADBC，AD是BAC的

12、角平分線，BE=CE，EBC=ECB，又ABC=ACB，ABCEBC=ACBECB，即ABE=ACE，又CGAB，ABE=CGF，CGF=FCE，又FEC=CEG，CEFGEC，CE：EF=EG：CE，即CE2=EFEG，又CE=BE，BE2=EFEG5. 解答：證明：連接AF，AD是角平分線，BAD=CAD，又EF為AD的垂直平分線，AF=FD，DAF=ADF，DAC+CAF=B+BAD，CAF=B，AFC=AFC，ACFBAF，即=，AF2=CFBF，即FD2=CFBF6. 解答：解：（1）APD=C=90°，A=A，ADPABC，=，EPD=A，PED=AEP，EPDEAP=A

13、E=2PE（2）由EPDEAP，得=，PE=2DE，AE=2PE=4DE，作EHAB，垂足為點(diǎn)H，AP=x，PD=x，PDHE，=HE=x又AB=2，y=（2x）x，即y=x2+x定義域是0x另解：由EPDEAP，得=，PE=2DEAE=2PE=4DEAE=×x=x，SABE=×x×2=x，=，即=，y=x2+x定義域是0x（3）由PEHBAC，得=，PE=x=x當(dāng)BEP與ABC相似時(shí)，只有兩種情形：BEP=C=90°或EBP=C=90°（i）當(dāng)BEP=90°時(shí)，=，=解得x=y=x××5+×=（ii）當(dāng)

14、EBP=90°時(shí)，同理可得x=，y=7. 解答：證明：BD、CE分別是AC與AB邊上的高，BEC=BDC，B、C、D、E四點(diǎn)共圓，AED=ACB，而A=A，AEDACB，；BDAC，且A=60°，ABD=30°，AD=，BC=2DE8. 解答：解：（1）有DAEDBAACE ABC是等邊三角形ABC=ACB=BAC=60°D+DAB=60°，E+CAE=60°DAE=120°，DAB+EAC=60°D=CAE，E=DABD=D，E=E，DAEDBAACE（2）DBAACE，DB：AC=AB：CEAB=AC=BC，D

15、B=2，CE=6BC2=DBCE=12，BC0，BC=29. 解答：證明：（1）在RtABC中，AB=AC，B=C=45° BAE=BAD+DAE，DAE=45°，BAE=BAD+45° 而ADC=BAD+B=BAD+45°，BAE=CDA ABEDCA （2）由ABEDCA，得 BECD=ABAC 而AB=AC，BC2=AB2+AC2，BC2=2AB2 BC2=2BECD 10. 解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，B=C=60°，EDF=60°，BED+EDB=EDB+FDC=120°，BED=FDC，BDECFD；（

16、2）解：由（1）知BDECFD，=，BC=6，BD=1，CD=BCBD=5，=，解得BE=11. 解答：解：（1）APQ+CPQ=B+BAP，APQ=ABC，BAP=CQP又AB=AC，B=CCPQBAPAB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=86=2，若點(diǎn)P在線段CB上，由（1）知，BP=x，BC=8，CP=BCBP=8x，又CQ=y，AB=5，即故所求的函數(shù)關(guān)系式為，（0x8）若點(diǎn)P在線段CB的延長線上，如圖APQ=APB+CPQ，ABC=APB+PAB，APQ=ABC，CPQ=PAB又ABP=180°ABC，PCQ=180°ACB，ABC=ACB，ABP=PCQQC

17、PPBABP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，即（x8）（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，APQ=90°，APB+QPC=90°，PAB+APB=90°，PAB=QPC，B=C=90°，ABPPCQ，AB：PC=BP：CQ，即5：（5BP）=BP：1，解得：，或，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上，則點(diǎn)Q在線段DC的延長線上，同理可得：ABPPCQ，AB：PC=BP：CQ，5：（BP5）=BP：1，解得：，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長線上，則點(diǎn)Q在線段DC的延長線上，同理可得：ABPPCQ，AB：PC=BP：CQ，5：（BP+5）=BP：1，解得：13.解答

18、：解：（1）ABCD是梯形，ADBC，AB=DCA=DABP+APB+A=180°，APB+DPC+BPC=180°，BPC=AABP=DPC，ABPDPC，即： 解得：AP=1或AP=4（2）由（1）可知：ABPDPQ，即：，（1x4） 當(dāng)CE=1時(shí)，PDQECQ，或，解得：AP=2或（舍去） 14. 解答：證明：（1）在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，B=C，BMF=EMB+EMF=C+MFC，又EMF=B，EMB=MFC，EMBMFC，MC=MB，又EMF=B，MEFBEM；（2）解：若BEM是以BM為腰的等腰三角形，則有兩種情況：BM=ME，那么根據(jù)MEFBE

19、M，=，=，即EF=MF根據(jù)第（1）問中已證BMEMFC，=，即MF=FC，F(xiàn)MC=C，又B=C，F(xiàn)MC=B，MFAB延長BA和CD相交于點(diǎn)G，又點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，MF是GBC的中位線，MF=GB，又ADBC，GADGBC，=，=1，即AG=AB=6，GB=12，MF=EF=6BM=BE=3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，又MEFBEM，=1，即MF=ME，EF是梯形ABCD的中位線，EF=（AD+BC）=（3+6）=；（3）EFCD，EFC=90°，MEFBEM，MFE=MFC=BME=45°，解一：過點(diǎn)E作EHBC，則可得EHM等腰直角三角形，故EH=MH，設(shè)BE=x，則BH=，E

20、H=MH=，BE=解二：過點(diǎn)M作MNDC，MC=3，NC=MN=FN，F(xiàn)C=2由MEFMFC有，即，得BE=15. 解答：（1）證明：在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=CBE=2，BP=2，CP=4，CD=4BEPCPD（2）解：B=C=EPF 180B=180EPF=BEP+BPE=BPE+CPFBEP=FPC，BEPCPF，（2x4）當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)，F(xiàn)DM=C=B，BEP=FPC=FMD，BEPDMF，x23x+8=0，0此方程無實(shí)數(shù)根故當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)，不存在點(diǎn)P使；當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，同理BEPDMF，BEPCPF，x29x+8=0，解得x1=1，

21、x2=8由于x2=8不合題意舍去x=1，即BP=1當(dāng)時(shí)，BP的長為116. 解答：解：（1）BEFAMECFNGMN；證明：（2）在BEF與AME中，B=A=60°，AEM+AME=120°，GEF=60°，AEM+BEF=120°，BEF=AME，BEFAME；解：（3）（i）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)M、N在線段AC上時(shí)，如圖，BEFAME，BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3x），AM=，同理可證BEFCFN；BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，CN=，AC=AM+MN+CN，3=+y+，y=（1x3）；（ii）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，

22、點(diǎn)G在ABC內(nèi)時(shí)，如備用圖一，同上可得：AM=，CN=，AC=AM+CNMN，3=+y，y=（0x1）；（iii）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上時(shí)，如備用圖二，AM=，CN=，AC=MN+CNAM，3=y+，y=（x3）；綜上所述：y=（0x1），或y=（x1）；（4）（i）當(dāng)AE=1時(shí)，GMN是邊長為1等邊三角形，SGMN=×1×=；（1分）（ii）當(dāng)AE=1時(shí)，GMN是有一個(gè)角為30°的Rt，x=4，y=，NG=FGFN=4×1×=，SGMN=××=17. 解答：（1）解：PECP，可得：EAPPDC，又CD=2，AD=3，

23、設(shè)PD=x，AE=y，y=，0x3；（2）解：當(dāng)PCD的面積是AEP面積的4倍，則：相似比為2：1，CD=2，AP=1，PD=2，PE=，PC=2，EC=（3）不存在作AFPE，交PE于O，BC于F，連接EFAFPE，CPPEAF=CP=，PE=，CDPPOA =，OA=，若OA=AF =，3x26x+4=0 =624×4×3=12 x無解因此，不存在18. 解答：解：（1）在RtABC中，C=90°，設(shè)AC=3k，BC=4k，AB=5k=5，k=1，AC=3，BC=4；（2）過點(diǎn)E作EHBC，垂足為H易得EHBACB設(shè)EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；E

24、FBCEFD=FDCFDE=C=90°EFDFDCFD2=EFCD，即9k2+4=2（44k）化簡，得9k2+8k4=0解得（負(fù)值舍去），；（3）過點(diǎn)E作EHBC，垂足為H易得EHBACB設(shè)EH=3k，BE=5kHED+HDE=90°FDC+HDE=90° HED=FDCEHD=C=90° EHDDCF ，當(dāng)DEF和ABC相似時(shí)，有兩種情況：1°，即解得，2°，即解得，綜合1°、2°，當(dāng)DEF和ABC相似時(shí)，BE的長為或19. 解答：（1）證明：如圖2，連接DCACB=90°，AC=BC，A=B=45&#

25、176;，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，BCD=ACD=45°，CD=BD，ACD=B=45°EDDF，CDAB，EDC+CDF=90°，CDF+FDB=90°，EDC=FDB，CEDBFD（ASA），DE=DF；（2）解：如圖1，作DPAC，DQBC，垂足分別為點(diǎn)Q，PB=A，APD=BQD=90°，ADPBDQ，DP：DQ=AD：DB=mCPD=CQD=90°，C=90°，QDP=90°，DFDE，EDF=90°，QDF=PDE，DQF=DPE=90°，DQFDPE，DE：DF=DP：DQ，DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；（3）解：如備用圖1，作EGAB，F(xiàn)HAB，垂足分別為點(diǎn)G、H在RtABC中，C=90°，AC=BC=6，AB=，AD：DB=1：2，AD=，DB=由AGE=BHF=90°，A=B=45°，可得AG=EG=，BH=FH=，GD=，HD=，易證DGEFHD，y=82x，定義域是0x