微分方程與差分方程詳解與例題

1、第七章 常微分方程與差分方程常微分方程是高等數(shù)學(xué)中理論性和應(yīng)用性都較強(qiáng)的一部分，是描述客觀規(guī)律的一種重要方法，是處理物理、力學(xué)、幾何等應(yīng)用問題的一個(gè)重要工具，微分和積分的知識是研究微分方程的基礎(chǔ)。微分方程作為考試的重點(diǎn)內(nèi)容，每年研究生考試均會考到。特別是微分方程的應(yīng)用問題，既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)必須有所突破?！緮?shù)學(xué)一大綱內(nèi)容】常微分方程的基本概念；變量可分離的方程；齊次方程；一階線性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程；高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分

2、方程；簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；歐拉（Euler）方程；微分方程的簡單應(yīng)用?！緮?shù)學(xué)二大綱內(nèi)容】常微分方程的基本概念；變量可分離的方程；齊次方程；一階線性微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常數(shù)齊次線性微分方程；高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程；簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；微分方程的一些簡單應(yīng)用?！敬缶V要求】要理解微分方程的有關(guān)概念，如階、解、通解、特解、定解條件等，掌握幾類方程的解法：如變量可分離方程，齊次方程，一階線性微分方程，伯努利方程，可降階方程等。理解線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，掌握求解常系數(shù)齊次線性方程的方法，掌握求解某些

3、自由項(xiàng)的常系數(shù)非齊次線性方程的待定系數(shù)法。了解歐拉方程的概念，會求簡單的歐拉方程。會用微分方程處理物理、力學(xué)、幾何中的簡單問題。【考點(diǎn)分析】本章包括三個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容：1常見的一階、二階微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判斷方程為哪種類型，并記住解法的推導(dǎo)過程。2微分方程的應(yīng)用問題，這是一個(gè)難點(diǎn)，也是重點(diǎn)。利用微分方程解決實(shí)際問題時(shí)，若是幾何問題，要根據(jù)問題的幾何特性建立微分方程。若是物理問題，要根據(jù)某些物理定律建立微分方程，也有些問題要利用微元法建立微分方程。3數(shù)學(xué)三要求掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會用差分方程求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題?！究?/p>

4、點(diǎn)八十三】形如的一階微分方程稱為變量可分離微分方程?？煞蛛x變量的微分方程的解題程序： 當(dāng)，然后左、右兩端積分上式即為變量可分離微分方程的通解。其中，C為任意常數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，表示函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).【例7.1】微分方程的通解為_?！驹斀狻?， .兩邊積分得， 即 ， ，C為任意常數(shù)?！纠?.2】微分方程，當(dāng)時(shí)，的特解為_?！驹斀狻糠蛛x變量得 ，.積分得，即.令，則， 所求特解為 .【例7.3】若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則等于（ ）（A）（B）（C）（D）【詳解】對所給關(guān)系式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，且有初始條件. 于是，積分得，故 令應(yīng)選（B）?！纠?.4】已知曲線處的切線斜率為則.【詳解】 將【例7.5】

5、一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)。假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時(shí)？【詳解】半徑為的球體體積為，表面積為，而雪堆為半球體狀，故設(shè)雪堆在時(shí)刻的底面半徑為r，于是雪堆在時(shí)刻的體積，側(cè)面積。其中體積，半徑與側(cè)面積S均為時(shí)間的函數(shù)。由題意，有. 。即， ，又時(shí)，, ，即 .而，即 .，。當(dāng)雪堆全部融化時(shí)，令 ，得（小時(shí)）。【例7.6】在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的，設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為，在時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為，在任意時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為（將視為連續(xù)可微變

6、量），其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例系數(shù)，求?！驹斀狻渴紫纫鶕?jù)題中所給條件，建立的微分方程。由于題中條件很明確，即：的變化率與成正比，容易得出的微分方程，再求出特解即得。由已知得 , 分離變量，得 .積分得即 , . , 又 代入得 ，故 ?！究键c(diǎn)八十四】形如的微分方程稱為齊次方程。其解法是固定的：令，則，代入得 .分離變量，得 。兩端積分，得，求出積分后，將換成，即得齊次方程的通解?！纠?.7】求初值問題的解?！驹斀狻抗蚀朔匠虨辇R次方程，其解法是固定的。令，故，積分得 代入，得 即，由已知，代入得 ， 所求初值問題的解為 ，化簡得 .【例7.8】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)

7、。若由曲線，直線與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為 試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解?！驹斀狻坑尚D(zhuǎn)體體積計(jì)算公式得于是，依題意得 .兩邊對t求導(dǎo)得 將上式改寫為 ，即 令，則有 當(dāng)時(shí)，由. 兩邊積分得.從而方程的通解為為任意常數(shù)）。由已知條件，求得從而所求的解為 或【例7.9】求微分方程的通解.【詳解】將微分方程進(jìn)行恒等變形，化為 設(shè)，有，則 .積分得 【考點(diǎn)八十五】1. 形如的微分方程稱為一階線性非齊次微分方程，其通解公式為： .【評注】由于一階微分方程的通解只包含一個(gè)任意常數(shù)c,因此通解公式中的積分，只表示其中一個(gè)任意的原函數(shù)，不含任意常數(shù)c。2. 求

8、通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推導(dǎo)公式的方法求解。3. 通解公式的記憶方法：一階線性非齊次微分方程等價(jià)于即兩邊積分得即 【例7.10】微分方程滿足的解為 .【分析】直接套用一階線性微分方程的通解公式： ，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價(jià)為 ，于是通解為 =，由得C=0，故所求解為【評注】 本題雖屬基本題型，但在用相關(guān)公式時(shí)應(yīng)注意先化為標(biāo)準(zhǔn)型. 另外，本題也可如下求解：原方程可化為 ，即 ，兩邊積分得 ，再代入初始條件即可得所求解為【例7.11】設(shè)求此微分方程滿足條件的特解?！驹斀狻肯惹?是方程的解，代入方程得解出，即 這是一階線性非齊次微分方程，而：對應(yīng)地，又

9、由，得，即，?！纠?.12】設(shè)為連續(xù)函數(shù)，（1）求初值問題的解，其中是正常數(shù)；（2）若（為常數(shù)）。證明：當(dāng)時(shí)，有【詳解】原方程的通解為由于在本題中未給出函數(shù)的具體表達(dá)式，在上式中想利用初始條件來確定常數(shù)C很困難。而通解中的式子實(shí)為的一個(gè)原函數(shù)，因此改寫為，于是通解為。令，由，得即.故所求的解是。（2）由題設(shè)及知，當(dāng)時(shí)， 【例7.13】設(shè)有微分方程，其中 試求在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，使之在和內(nèi)都滿足所給方程，且滿足條件?！驹斀狻烤€性方程中的非齊次項(xiàng)有間斷點(diǎn)。在點(diǎn)處無定義，且為的第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)。當(dāng)及時(shí)均可求出方程的解，二者相等。又因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)，故，從而可以確定中的任意常數(shù)，得到解。當(dāng)時(shí)方程為

10、，其通解是。將初始條件代入通解中，得到 得特解 .又當(dāng)時(shí)方程為，即，兩端積分得 ，即 .因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)，所以有 ，.故當(dāng)時(shí)，特解為。補(bǔ)充在處的函數(shù)值，則得到在上的連續(xù)函數(shù)，即所求解為 .【例7.14】設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件：，且f(0)=0, (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(2) 求出F(x)的表達(dá)式.【分析】 F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.【詳解】 (1) 由 = =(2-2F(x),可見F(x)所滿足的一階微分方

11、程為 (2) =將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是 【例7.15】f (u , v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.【分析】本題綜合了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)與微分方程。先求，利用已知關(guān)系，可得到關(guān)于y的一階微分方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所求的一階微分方程為.解得 (C為任意常數(shù)).【例7.16】設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程?！驹斀狻?代入原方程，得。特征方程為，特征根為r=1,-1, 故【例7.17】設(shè)f(x)是可微函數(shù)且對任何x,y 恒有 又，求f(x)所滿足的一階微分方程，并求f(x)【詳解】 令x=y=0,

12、得f(0)=2f(0)， 故f(0)=0。在方程兩邊對y求偏導(dǎo)數(shù)，有 。令y=0，得 。于是求f(x)，歸法為求解下列初值問題：解得 = 。由f(0)=0，得C=0，故 ?！纠?.18】求的通解?！驹斀狻炕癁闃?biāo)準(zhǔn)型：，對比公式：，通解為得新公式：，通解為而本題：,，,通解為，即【例7.19】設(shè)連續(xù)，求解方程 .【詳解】因?yàn)樵匠讨?，均可?dǎo)，故可導(dǎo)。對方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，將積分方程轉(zhuǎn)化為微分方程： ，即 .根據(jù)一階線性微分方程通解公式，得又 , 當(dāng)時(shí)， .代入得 . 【例7.20】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且滿足方程，且，求?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，由已知條件 ，即. 兩邊對求導(dǎo)得, 即 .這是一階線性微分方程，

13、代入通解公式，得 .令，得，故?！纠?.21】過點(diǎn)且滿足關(guān)系式的曲線方程為.【詳解】方程化為設(shè) 于是 通解由【例7.22】求微分方程，使得由曲線軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小?！驹斀狻款}設(shè)方程可化為利用求解公式，得通解旋轉(zhuǎn)體體積由解得由于故為惟一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，于是得【考點(diǎn)八十六】可降階的高階微分方程：1.大綱要求：會用降階法解下列高階微分方程：； （缺）； （缺）。2方程：直接求次積分，即可求解。3方程：這類方程的特點(diǎn)是不顯含未知函數(shù)。令，則化為關(guān)于的一階微分方程，然后再用解一階微分方程的解法解之。4方程：這類方程的特點(diǎn)是不顯含自變量。令，則 .因而原方程化為關(guān)于的一

14、階微分方程： .【例7.23】求初值問題的解?！驹斀狻糠匠滩伙@含，令，。代入原方程得，即。分離變量，得。兩邊積分，得，由初始條件：時(shí)，故， .，（不合題意舍去）.，即.兩邊積分得，再由，得.所求特解為，即.【例7.24】微分方程的通解為_?！驹斀狻吭O(shè)，則 .方程化為 。分離變量，得 。兩端積分，得，即， .積分得 . 因此應(yīng)填 .【例7.25】設(shè)對任意，曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于，求的一般表達(dá)式?！驹斀狻壳€在點(diǎn)處的切線為。令，得切線在軸上的截距為。由已知 ，即。兩端對求導(dǎo)，得 。令，則。代入得，分離變量，得 。 即 。積分得?！纠?.26】求微分方程滿足條件，的特解?！驹斀狻吭O(shè)，于是

15、. 代入原方程，得，即. 。這是關(guān)于和的一階線性方程，其通解為.解出，則或（不合題意舍去）。又， ，即 ，分離變量，得. 兩邊積分得，代入，得. .【例7.27】函數(shù)且滿足等式（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）證明：當(dāng)【詳解】（1）原方程兩邊乘后再求導(dǎo)，得設(shè)則方程化為，故 ，.由及，知，從而，故.（2）對兩端積分，得，即 當(dāng)于是，所以 【考點(diǎn)八十七】二階常系數(shù)齊次線性微分方程:1標(biāo)準(zhǔn)形式：，均為常數(shù)。2通解公式：特征方程為；若特征方程有互異實(shí)根，則通解為；若特征方程有相等實(shí)根，則通解為；若特征根為共軛復(fù)根（為常數(shù)，），則通解為【例7.28】求下列微分方程的特解：，當(dāng)時(shí)，?！驹斀狻繉?yīng)的特征方程為 ，有二重特征實(shí)根. 所以微分方程的通解為。求導(dǎo)得 .由已知，當(dāng)時(shí)，。代入得， 即 ，故所求特解為?！纠?.29】設(shè)二階線性常系數(shù)齊