彈性力學(xué)讀書

1、彈塑性力學(xué)學(xué)習(xí)報(bào)告指導(dǎo)老師：王建偉學(xué) 生：李佳偉學(xué) 號(hào);20159200彈塑性力學(xué)學(xué)習(xí)報(bào)告緒論：經(jīng)過(guò)幾月的學(xué)習(xí)我對(duì)彈性力學(xué)有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，對(duì)它研究的對(duì)象也有了一個(gè)概括性的認(rèn)識(shí)。彈性力學(xué)是高等的材料力學(xué)，不同于材料力學(xué)只能解決形狀非常固定的細(xì)長(zhǎng)桿件，它可以解決任意形狀的材料性能計(jì)算問(wèn)題。對(duì)于很多情況都可以分析出力學(xué)模型，然后得到方程組，但是大部分情況下解方程組卻是非常困難的。下面給出一個(gè)典型的模型對(duì)彈性力學(xué)做一個(gè)形象的表示：這個(gè)模型就是最普通的一個(gè)計(jì)算模型，它有分布力，集中力，約束，重力等作用。在這些條件下我們可以根據(jù)受力平衡列出方程組，從而求出各處的位移和形變。報(bào)告正文一、彈性力學(xué)的發(fā)展及

2、基本假設(shè)彈性力學(xué)是伴隨著工程問(wèn)題不斷發(fā)展起來(lái)的，它是固體力學(xué)的一個(gè)分支，是研究彈性體由于外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的一門學(xué)科。最早可以追溯到伽利略研究梁的彎曲問(wèn)題、胡克的胡克定律。之后牛頓三定律的形成以及數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，后經(jīng)納維、柯西、圣維南、艾瑞、基爾、里茨、迦遼金等人的不斷努力。使得彈性力學(xué)具有了嚴(yán)密的理論體系并且能都求解各種復(fù)雜的問(wèn)題，能夠解決強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等問(wèn)題。目前彈性力學(xué)的相關(guān)理論在土木工程、水文地質(zhì)工程、石油工程、航空航天工程、礦業(yè)工程、環(huán)境工程以及農(nóng)業(yè)工程等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。彈性力學(xué)的幾個(gè)基本假設(shè)。1 、連續(xù)體假設(shè)：假設(shè)無(wú)題是連續(xù)的，沒(méi)有任何空

3、隙。因此，物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移一般都是逐點(diǎn)變化的，它們都是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。2、  彈性假設(shè)：假設(shè)物體是完全彈性的。在溫度不變時(shí)，物體任一瞬間的形狀完全取決于在該瞬間時(shí)所受的外力。而與它過(guò)去的受力狀況無(wú)關(guān)。當(dāng)外力消除后，它能夠恢復(fù)原來(lái)的形狀。彈性假設(shè)就是假設(shè)物體服從虎克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系。3、 均勻性假設(shè)：假設(shè)物體是均勻的，各部分都具有相同的物理性質(zhì)，其彈性模量和泊松系數(shù)是一常數(shù)。4、各向同性假設(shè)：假設(shè)物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)方向的物理和機(jī)械性質(zhì)都相同。 5、小變形假設(shè)：假設(shè)物體的變形是微小的，即物體受力后，所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，應(yīng)變都很小。這樣，在考慮物體變形

4、后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來(lái)代替變形后的尺寸。二、三維方程2.1三維應(yīng)力狀態(tài)下的平衡微分方程物體處在平衡狀態(tài)，其內(nèi)部的每一點(diǎn)都處于平衡狀態(tài)。使用一個(gè)微六面體代表物體內(nèi)的一點(diǎn)，則作用在該微六面體上的所有力應(yīng)滿足平衡條件，由此可以導(dǎo)出平衡微分方程。如圖一所示，取直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸和邊重合，各邊的長(zhǎng)度分別為dx，dy，dz。在微六面體x=0面上，應(yīng)力是xxyxz；在x=dx面上的應(yīng)力，圖一根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的連續(xù)性并按泰勒級(jí)數(shù)對(duì)x=0的面展開(kāi)，略去高階項(xiàng)，可得同理，可由y=0，z=0面上的應(yīng)力表示y=dy，z=dz面上的應(yīng)力。最后，所有各面上的應(yīng)力如圖一示。當(dāng)彈性體平衡時(shí)，P點(diǎn)的平衡就以微元體平衡

5、表示。這樣，就有6個(gè)平衡方程考慮微單元體沿x方向的平衡，可得整理上式并除以微單元體的體積dxdydz，得（2-1.1）同理，建立y、z方向的平衡條件，可得（2-1.2）這就是彈性力學(xué)的平衡微分方程，其中X，Y，Z是單位體積里的體積力沿x，y，z方向上的分量?？紤]圖一中微單元體的力矩平衡。對(duì)通過(guò)點(diǎn)C平衡于x方向的軸取力矩平衡得于是力矩平衡方程在略去高階項(xiàng)之后只剩兩項(xiàng)由此可得同理可得這既是剪應(yīng)力互等定理。它表明：在兩個(gè)互相垂直的平面上，與兩個(gè)平面的交線垂直的剪應(yīng)力分量的大小相等，方向指向或者背離這條交線。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，式（1-1）中包含的九個(gè)應(yīng)力分量中只有6個(gè)是獨(dú)立的，這6個(gè)應(yīng)力描述了物體內(nèi)

6、部的任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2.2三維應(yīng)力狀態(tài)下的幾何方程2.3三維應(yīng)力狀態(tài)下的物理方程物理方程的矩陣形式其中矩陣D稱為三維應(yīng)力狀態(tài)下的彈性矩陣三、在極坐標(biāo)系下的基本方程3.1應(yīng)力坐標(biāo)變換我們知道，直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系變量之間的關(guān)系為彈性體在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，可以在已知直角坐標(biāo)系中求解應(yīng)力分量，也可以在極坐標(biāo)中求解。因而應(yīng)力分量在兩種坐標(biāo)系中的表達(dá)式就有一定的聯(lián)系，稱為應(yīng)力的坐標(biāo)變化。在直角坐標(biāo)系中求出三角微元體的應(yīng)力分量為在直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量表示可在極坐標(biāo)系下表示，變換后可得方程3.2極坐標(biāo)下的平衡方程3.3極坐標(biāo)下的幾何方程為四、彈性力學(xué)解題的主要方法4.1位移解法位移解法是以位移分量作為

7、基本未知量的解法。把平衡方程、本構(gòu)方程和幾何方程簡(jiǎn)化為三個(gè)用位移分量表示的平衡方程，從中解出位移分量。然后再代回幾何方程和本構(gòu)方程，進(jìn)而求出應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。4.2應(yīng)力解法應(yīng)力解法是以應(yīng)力分量作為基本的未知數(shù)的解法。由協(xié)調(diào)方程、本構(gòu)方程和平衡方程簡(jiǎn)化出六個(gè)用應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程，再加上平衡方程和力邊界條件解出六個(gè)應(yīng)力分量。然后由本構(gòu)方程求出應(yīng)變分量，再對(duì)幾何方程積分即可得到位移分量。由于應(yīng)力與應(yīng)變間的胡克定律是代數(shù)方程，應(yīng)變解法的求解難度不會(huì)比應(yīng)力解法有實(shí)質(zhì)性的改善，而邊界條件用應(yīng)力表示則方便很多，所以很少采用應(yīng)變解法。4.3應(yīng)力函數(shù)解法在位移解法中，引進(jìn)三個(gè)單值連續(xù)的位移函數(shù)，使協(xié)調(diào)方程

8、自動(dòng)滿足，問(wèn)題被歸結(jié)為求解三個(gè)用位移表示的位移方程。應(yīng)變分量可由位移偏導(dǎo)數(shù)的組合來(lái)確定。與此類似，在應(yīng)力解法中也有可以引進(jìn)某些自動(dòng)滿足平衡方程的函數(shù)，稱之為應(yīng)力函數(shù)，把問(wèn)題歸結(jié)為求解用應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力分量可由應(yīng)力函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的組合來(lái)確定。應(yīng)力函數(shù)解法既保留了應(yīng)力解法的優(yōu)點(diǎn)（能直接求出應(yīng)力分量），又吸收了位移解法的思想（能自動(dòng)滿足平衡方程，基本未知數(shù)降為三個(gè)），所以是彈性力學(xué)理論中最常用的解法之一。五、彈性力學(xué)的應(yīng)用舉例例一：懸臂梁（1） 確定應(yīng)力函數(shù)的邊界條件圖二以A（0，h/2）為起始點(diǎn)，調(diào)整中的任意常數(shù)使（a）選左手坐標(biāo)系且M以逆時(shí)針為正，應(yīng)力函數(shù)在邊界條件上滿足逆時(shí)鐘向：（b）

9、順時(shí)鐘向：（c）其中，為流動(dòng)邊界點(diǎn)。Rx，Ry和M分別是從A點(diǎn)起算的邊界載荷對(duì)點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矢量和逆時(shí)鐘向主距。在下邊界AB上，載荷處處為零。由（b）式得：（d）左邊界AC是放松邊界，不必逐點(diǎn)給定及其偏導(dǎo)數(shù)值。在邊界CD上，按順時(shí)鐘向公式（c）得（e）（2）選擇域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力函數(shù)沿主要邊界的分布規(guī)律可看出，沿x方向按二次多項(xiàng)式規(guī)律變化，沿y方向的規(guī)律未知，由此可選（f）帶入邊界條件（d（e）可以定出待定函數(shù)的邊界條件當(dāng)y=h/2時(shí)，f0=f1= f2=0（g）當(dāng)y=2時(shí)，f0=M；f1=P；f2=q（h）（3）求待定函數(shù)由邊界條件（g）可得出各待定常數(shù)：（i）進(jìn)而可得（j）最后帶回到公式（f）

10、中得（k）（4）求應(yīng)力把（k）式代入應(yīng)力公式可以得到（l）例二：圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫D三設(shè)一軸向長(zhǎng)度很長(zhǎng)的圓環(huán)或者圓筒的截面如圖三示，起內(nèi)外徑分別為a，b，內(nèi)徑表面受內(nèi)壓力qa和外壓力qb作用?？紤]邊界條件（a）將式（b）代入后得到（c）式中有三個(gè)未知數(shù)，連個(gè)方程不能確定。對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件，即要使其單值，必須有B=0，由式（c）得將其代回應(yīng)力分量式（b）得應(yīng)力分量為上述應(yīng)力表達(dá)式中（1） 若a=0，qa=0，圓筒受兩向等壓的情況則有。（2） 若qb=0（而qa0），則徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別為可見(jiàn)，總是壓應(yīng)力，總是拉應(yīng)力。（3） 若qa=0（qb0），徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別

11、為可見(jiàn)，總是壓應(yīng)力。（4）若，則轉(zhuǎn)化為具有圓形孔道的無(wú)限大彈性問(wèn)題，則有例三：矩形薄板的位移圖四取坐標(biāo)軸如圖所示，把位移函數(shù)設(shè)為所以不論各系數(shù)如何取值，上式都滿足固定邊的位移邊界條件：按瑞利-里茲法求解。板的應(yīng)力邊界條件為板上邊界：板下邊界：板右邊界：將位移試函數(shù)代入式得將位移試函數(shù)代入應(yīng)變勢(shì)能表達(dá)式，通過(guò)積分運(yùn)算，將結(jié)果代入上面六個(gè)方程可確定6個(gè)待定系數(shù)。其結(jié)果是：所得的位移分量為：結(jié)論： 彈性力學(xué)也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機(jī)械設(shè)計(jì)中所提出的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題。在研究對(duì)象上，彈性力學(xué)同材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)之間有一定的分工。材

12、料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件；結(jié)構(gòu)力學(xué)主要是在材料力學(xué)的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學(xué)研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。  彈性力學(xué)是固體力學(xué)的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力，也稱為彈性理論。它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械、化工、航天等工程領(lǐng)域。彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過(guò)某一限度時(shí)，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。絕對(duì)彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時(shí)，一般就把它當(dāng)作彈性體處理。 彈性力學(xué)的發(fā)展大體分為四個(gè)時(shí)期。

13、人類從很早時(shí)就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當(dāng)時(shí)人們還是不自覺(jué)的運(yùn)用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學(xué)，是從17世紀(jì)開(kāi)始的。發(fā)展初期的工作是通過(guò)實(shí)踐，探索彈性力學(xué)的基本規(guī)律。這個(gè)時(shí)期的主要成就是R.胡克于1678年發(fā)表的彈性體的變形與外力成正比的定律，后來(lái)被稱為胡克定律。第二個(gè)時(shí)期是理論基礎(chǔ)的建立時(shí)期。這個(gè)時(shí)期的主要成就是，從 18221828年間，在A.-L·柯西發(fā)表的一系列論文中明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、平衡(運(yùn)動(dòng))微分方程，各向同性和各向異性材料的廣義胡克定律，從而為彈性力學(xué)奠

14、定了理論基礎(chǔ)。彈性力學(xué)的發(fā)展初期主要是通過(guò)實(shí)踐，尤其是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探索彈性力學(xué)的基本規(guī)律。英國(guó)的胡克和法國(guó)的馬略特于1680年分別獨(dú)立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。牛頓于1687年確立了力學(xué)三定律。同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得建立彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的條件已大體具備，從而推動(dòng)彈性力學(xué)進(jìn)入第二個(gè)時(shí)期。在這個(gè)階段除實(shí)驗(yàn)外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來(lái)處理一些簡(jiǎn)單構(gòu)件的力學(xué)問(wèn)題。這些理論在后來(lái)都被指出有或多或少的缺點(diǎn)，有些甚至是完全錯(cuò)誤的。在17世紀(jì)末第二個(gè)時(shí)期開(kāi)始時(shí)，人們主要研究梁的理論。到19世紀(jì)20年代法國(guó)的納維和柯西才基本上建立了彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)理論?？挛髟?8221828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量的概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運(yùn)動(dòng)(平衡)方程、各向