D8_3 多變量函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù)

1、整理ppt1第八章第三節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)三三 、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 多變量函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù) 第八章 一、一、 多變量函數(shù)的微分多變量函數(shù)的微分整理ppt2一、一、 多變量函數(shù)的微分多變量函數(shù)的微分定義定義8.3.1 設(shè)設(shè) 在在 的鄰域中有定的鄰域中有定義，記義，記 ，如果存在常數(shù)，如果存在常數(shù)A, B使得當(dāng)使得當(dāng)( , )zf x y 22xy 000(,)Mxy0 時，有時，有0000(,)(,)( )f xx yyf xyA xB yo 則稱則稱 在在 M0 處可微，并稱處可微，并稱( , )zf x y A xB y

2、 為為 在在M0的微分，記成的微分，記成( , )zf x y 00(,)dzdf xyA xB y 整理ppt3A xB y 0000(,)(,)( )zf xx yyf xyA xB yo 是是的線性主部。的線性主部。定理定理8.3.1 如果如果f (x, y)在在M0(x0, y0)處可微，則處可微，則f (x, y)在在M0(x0, y0)處連續(xù)。處連續(xù)。整理ppt4定義定義8.3.1.),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為

3、函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:二、二、 多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)整理ppt50),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfy

4、xfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz整理ppt6例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt7例例2. 設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求2

5、22zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt8偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整體記號,整理ppt9若若 在在 (x, y) 處可微，則處可微，則( , )zf x y ( , )ffdzdf x yxyxx ffdzdxdyxx偏導(dǎo)數(shù)也叫偏

6、微商，這種叫法源于其本質(zhì)上是一個偏導(dǎo)數(shù)也叫偏微商，這種叫法源于其本質(zhì)上是一個一元函數(shù)微商，但對于二元函數(shù)而言不具有商的性一元函數(shù)微商，但對于二元函數(shù)而言不具有商的性質(zhì)，只是一種記號。質(zhì)，只是一種記號。整理ppt10二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對 y 軸的整理ppt11函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯

7、然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt12二元函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在。但偏導(dǎo)數(shù)存在，函二元函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在。但偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定可微。數(shù)不一定可微。定理定理8.3.2 如果如果 z=f (x, y) 的兩個偏導(dǎo)數(shù)在的兩個偏導(dǎo)數(shù)在M0(x0, y0)處處都是連續(xù)的，則都是連續(xù)的，則 f (x, y) 在在M0(x0, y0)處可微。處可微。整理ppt13),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù)

8、u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對 x 的可微與偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)可微的定義為整理ppt14例例5 . 求xyzue 在（在（1 1，2 2，3 3）處的偏導(dǎo)數(shù)。）處的偏導(dǎo)數(shù)。整理ppt15三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxf

9、yzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù):整理ppt16類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz整理ppt17yxe22例例6. 求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz)

10、( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 整理ppt180,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxy

11、xyxyx0, 022 yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt19例例7. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt20,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: :令),(),(),(0000yxxfy

12、yxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxF),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)()(00 xxx令)()(00yyy定理定理.8.3.3.整理ppt21xxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010)10(1)1,0(2100()()yyy )()(00 xxx同樣同樣yxyyxxfxy),(4030) 1,0(43整理ppt22),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點(diǎn))(00yx

13、，連續(xù),得0y整理ppt23例如例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時, 有而初等整理ppt24( )()nCD把區(qū)域把區(qū)域 D 中有中有 n 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)全體記作階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)全體記作( )( )nCI把區(qū)間把區(qū)間 I 中有中

14、有 n 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的一元函數(shù)全體記作階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的一元函數(shù)全體記作整理ppt25作業(yè)作業(yè)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P6668 1（3）,2（9）,9（1）；）； 11； 13；17。整理ppt26第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 復(fù)合函數(shù)的微分法 第八章 整理ppt27本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二二*、Jacobi矩陣矩陣三、方向?qū)?shù)和梯度三、方向?qū)?shù)和梯度四、全微分的不變性四、全微分的不變性五、例題五、例題整理ppt28xz1

15、211ff2221ffyzxuuzxvvzyuuzyvvz一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t( , )vx y 定理定理8.4.1. 若函數(shù)若函數(shù) 可微，可微， 和和( , )zf u v ( , )ux y 有一階偏導(dǎo)數(shù)，則有一階偏導(dǎo)數(shù)，則 z 對對 x 和和 y 有偏導(dǎo)數(shù)，有偏導(dǎo)數(shù)，并有并有zvuyxyx寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：zuvzxxxuzuvzyyyv 整理ppt29一般地，設(shè)一般地，設(shè) 可微，而可微，而12(,)nzf u uu 12(,)1,2, .iimuxxxin ，1211111122222212nnnnnmmmuuuzzxxxxuuuuzzxuxx

16、xzzuuuxuxxx 整理ppt30例例1. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt31例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezy

17、fyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt32例例3. 證明函數(shù)證明函數(shù) u=1/r 滿足方程滿足方程2222220uuuxyz其中其中 。222rxyz Laplace方程，調(diào)和函數(shù)方程，調(diào)和函數(shù)整理ppt33)(),(ttfz 若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點(diǎn)在點(diǎn) t 可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)證證: 設(shè) t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有增量u ,v ,整理ppt34

18、,0t令,0,0vu則有to)( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前加“”號)tvtvtutudd,dd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tvvztuuztzdddddd整理ppt35若定理中 說明說明: ),(),(vuvuf在點(diǎn)例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但復(fù)合函數(shù)),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則定理結(jié)論不一定成立.整理ppt36 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz tzdd321fffzwvuttttu