超構(gòu)材料中的光學(xué)拓?fù)鋺B(tài)

1、超構(gòu)材料中的光學(xué)拓?fù)鋺B(tài)1 引言 拓?fù)鋺B(tài)是一種由于整體拓?fù)湫?yīng)所導(dǎo)致的全新電子態(tài)。在傳 統(tǒng)的凝聚態(tài)理論中，物質(zhì)的相態(tài)可以通過對(duì)稱性及其破缺方 式來進(jìn)行分類。而拓?fù)鋺B(tài)則不然，不同的拓?fù)鋺B(tài)可以具有完 全相同的對(duì)稱性。因此需要引入新的序參量來描述，稱為拓 撲不變量或拓?fù)湫?，體現(xiàn)的是局部形變下的不變性。自旋霍 爾效應(yīng)和量子自旋霍爾效應(yīng)中的邊界態(tài)都屬于拓?fù)鋺B(tài)，而最 為熟知的例子還是拓?fù)浣^緣體，其典型特征是材料內(nèi)部是絕 緣體，而表面具有受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)。2008 年 Haldane 等人提出此類具有拓?fù)湫再|(zhì)的邊界態(tài)本質(zhì) 上是一種單粒子行為，因此可以與麥克斯韋方程組描述的光 子行為建立類比關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)邊界

2、態(tài)的光學(xué)模擬，或稱為 光學(xué)拓?fù)鋺B(tài)。作者從理論上證明了在具有 Dirac 點(diǎn)能帶結(jié)構(gòu) 的光子晶體中，引入磁光材料打破時(shí)間反演對(duì)稱性，可以獲 得單向傳輸?shù)墓鈱W(xué)邊界態(tài)，其具有非零的拓?fù)洳蛔兞?。該預(yù) 測(cè)很快便得到微波實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。不同的是，微波實(shí)驗(yàn)將六角 晶格的光子晶體替換成了正方晶格，但同樣可以通過磁光效 應(yīng)在能帶的交會(huì)點(diǎn)附近打開帶隙從而產(chǎn)生邊界態(tài)。進(jìn)一步的 實(shí)驗(yàn)表明，該邊界態(tài)在遇到散射體時(shí)會(huì)沿著邊緣繞過散射 體，而不會(huì)發(fā)生背向散射，證實(shí)了單向傳輸特性。此后，光 學(xué)拓?fù)鋺B(tài)迅速成為新的研究熱點(diǎn)，不同光學(xué)結(jié)構(gòu)中的拓?fù)鋺B(tài) 行為陸續(xù)得到發(fā)現(xiàn)與證實(shí)。例如，在二維耦合腔陣列中引入 特殊設(shè)計(jì)的耦合相位，可以獲得光子

3、的等效磁場(chǎng)和等效自旋 軌道耦合相互作用，從而模擬量子霍爾效應(yīng)中的邊界態(tài)。 上述這類邊界態(tài)不具有時(shí)間反演對(duì)稱性，因此同一個(gè)帶隙中 只允許一個(gè)方向傳播的邊界態(tài)出現(xiàn)。與之相對(duì)的，還有另一種類型的邊界態(tài)，滿足時(shí)間反演對(duì)稱 性，其典型代表是量子自旋霍爾效應(yīng)的邊界態(tài) (圖 1) 和二維拓 撲絕緣體的邊界態(tài)。最直觀的理解可以認(rèn)為該類型的邊界態(tài) 是兩支具有相反自旋的邊界態(tài)，在邊界處向相反的方向傳 播。 2012 年 Khanikaev 等人在理論上首次給出了拓?fù)浣^緣 體的光學(xué)類比。 其設(shè)計(jì)思想是， 用 TE TM 和 TETM 兩種 模式分別等效自旋相反的兩種狀態(tài)，通過在具有 Dirac 點(diǎn)的 光子晶體中引入

4、雙各向異性的相互作用項(xiàng)，在 Dirac 點(diǎn)附近 打開帶隙，形成具有時(shí)間反演對(duì)稱性的兩支邊界態(tài)。隨后， 此類比也在不同的光學(xué)體系中得以實(shí)現(xiàn)。 此外， 光學(xué) Floquet 拓?fù)浣^緣體也受到了研究者們的關(guān)注。圖 1 (a)量子霍爾效應(yīng)中的邊界態(tài)； (b) 量子霍爾邊界態(tài)在能帶 中的體現(xiàn)，不具備時(shí)間反演對(duì)稱性； (c)量子自旋霍爾效應(yīng)中 的邊界態(tài)； (d) 量子自旋霍爾效應(yīng)邊界態(tài)在能帶中的體現(xiàn)，具 備時(shí)間反演對(duì)稱性 總的來說，上述光學(xué)拓?fù)鋺B(tài)的研究主要基于兩種思路：一種 是在光子晶體能帶結(jié)構(gòu)中的交匯點(diǎn) (以 Dirac 點(diǎn)為代表 )引入 特殊的相互作用，以拓?fù)涞姆绞酱蜷_帶隙；另一種是在耦合 腔體系中模

5、擬自旋軌道耦合相互作用。這兩種方式在物理 圖像上都非常清晰，然而其數(shù)學(xué)形式卻較為復(fù)雜。那么，是 否能夠直接從麥克斯韋方程組出發(fā)建立參數(shù)一一對(duì)應(yīng)的類 比關(guān)系，并通過靈活的參數(shù)調(diào)整從而系統(tǒng)地模擬拓?fù)鋺B(tài)行 為？超構(gòu)材料為此提供了一個(gè)便利的平臺(tái)。超構(gòu)材料 (metamaterials，又稱超材料、特異材料，有時(shí)也叫美特材料 ) 是一種人工微結(jié)構(gòu)，利用亞波長(zhǎng)的電磁共振單元來實(shí)現(xiàn)任意 調(diào)節(jié)材料有效介電系數(shù) 和有效磁導(dǎo)率 的目的。其中最典 型的是左手材料 (又稱負(fù)折射率材料 )，其 和 同時(shí)為負(fù)值， 從而具有負(fù)折射率， n = - ( )2 一維 Dirac 體系的光學(xué)類比Dirac 方程是描述自旋為 1/

6、2 的粒子的相對(duì)論量子力學(xué)方 程，它也預(yù)測(cè)了正電子的存在。近年來，研究表明 Dirac 方 程對(duì)于理解拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體中的拓?fù)湎嗑哂兄匾?意義。通過建立麥克斯韋方程組與 Dirac 方程的類比，即可 在光學(xué)體系中系統(tǒng)研究拓?fù)鋺B(tài)的性質(zhì)。 一維平面波的麥克斯韋方程組可表述為其中， 0 和 0( r 和r )分別為真空 (相對(duì) )介電系數(shù)和磁導(dǎo)率。 引入波函 數(shù)描述：則 (1)式和 (2)式可以改寫為其中 m(x) = r(x) - r(x)/2c 為有效質(zhì)量， U(x) = r(x) + r(x) -r(x) + r(x)>/2c 為等效勢(shì)場(chǎng)， E =- r(x) + r(x)>

7、/2c 為等效本征 能量， c 是真空中光速， x，y，z 為泡利矩陣。 可以看出， (3) 式呈現(xiàn)出了標(biāo)準(zhǔn)的 Dirac 方程形式，而且其中的每一個(gè) 參數(shù)都可以由 r 和 r 來調(diào)控。超構(gòu)材料原則上可以實(shí)現(xiàn) 任意 r 和r 的組合方式，因此可以模擬一維 Dirac 方程 描述的各種拓?fù)湫袨椤?.1 能帶翻轉(zhuǎn) 一維 Dirac 方程描繪了兩支能帶：一支電子的能帶和一支正 電子的能帶。 正電子是電子的反粒子， 具有負(fù)的質(zhì)量和能量。 兩支能帶間的帶隙寬度為 2mc2( 其中 m 是電子的質(zhì)量 )。通 常情況下，正能量的能帶對(duì)應(yīng)正質(zhì)量。然而，一旦發(fā)生能帶 翻轉(zhuǎn)，即正能量能帶對(duì)應(yīng)負(fù)質(zhì)量的情況，則會(huì)產(chǎn)生

8、拓?fù)湎唷?普通相到拓?fù)湎嗟淖兓療o法通過連續(xù)變化得到，必定會(huì)經(jīng)過 一個(gè)帶隙閉合的過程，即對(duì)應(yīng) m=0 的情形。 利用超構(gòu)材料可以很好地模擬相變過程，如圖2(a)所示。這里考慮 r 和 r 由 Drude 模型描述的超構(gòu)材料，其中 pe 和 pm 分別為電和磁的等離子體振蕩頻率，e 和 m分別對(duì)應(yīng)電和磁的損耗。 其能帶表現(xiàn)為一支右手能帶 (上能帶 ) 與一支左手能帶 (下能帶 ) 。在圖 2(a) 的情形 (i) 中， 上能帶 的帶邊由 r = 0 的條件決定，下能帶的帶邊由 r = 0 的條 件決定，根據(jù) (3)式，其對(duì)應(yīng) m> 0 的相。通過調(diào)節(jié) r 和 r的參數(shù)，能帶逐漸閉合，對(duì)應(yīng) m

9、= 0 ，見情形 (ii) ；此后帶隙再一次打開，見情形 (iii) 。從帶邊的條件可以看出，能帶完 成了翻轉(zhuǎn)， 此時(shí)對(duì)應(yīng) m 圖 2 (a)超構(gòu)材料能帶翻轉(zhuǎn)與參數(shù)對(duì)應(yīng) 關(guān)系； (b)能帶翻轉(zhuǎn)的物理圖像； (c)微帶線結(jié)構(gòu)的仿真結(jié)果； (d)微帶線結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 一組經(jīng)過特定設(shè)計(jì)的左右手復(fù)合微帶線結(jié)構(gòu)從實(shí)驗(yàn)上很好 地演示了能帶翻轉(zhuǎn)的過程。這組結(jié)構(gòu)采用相同的集總元件， 僅通過改變微帶線的寬度來調(diào)節(jié)參數(shù)。實(shí)驗(yàn)樣品與其對(duì)應(yīng)的 介電系數(shù)與磁導(dǎo)率隨頻率的變化關(guān)系如圖 3 所示，通過 (3) 式中有效質(zhì)量 m 的定義，可以清楚地看到 m 的正負(fù)值變化。 圖 2(c)和 (d)分別給出了實(shí)驗(yàn)樣品仿真和實(shí)驗(yàn)的

10、結(jié)果。值得注 意的是，這里通過以下參數(shù)演算關(guān)系，將測(cè)量的群延時(shí) g轉(zhuǎn)換成了態(tài)密度 (DOS) ，其中 D 為微帶線長(zhǎng)度?？梢钥闯?， 微帶線寬度 w 從 10 mm 向 2 mm 變化過程中完成了能帶翻 轉(zhuǎn)的過程，其中 w=4.5 mm 時(shí)，帶隙關(guān)閉，對(duì)應(yīng)相變的臨界 點(diǎn)。圖 3 (a)左右手復(fù)合微帶線結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)樣品； (b) (d) 為介電系 數(shù)和磁導(dǎo)率隨頻率的變化，其中 (b)w=10 mm ，對(duì)應(yīng) m>0； (c)w=4.5 mm ，對(duì)應(yīng) m=0； (d)w=2 mm ，對(duì)應(yīng) m 根據(jù) Dirac 方程的描述， m 的正負(fù)值對(duì)應(yīng)著不同的拓?fù)湎唷?盡管在無限周期的結(jié)構(gòu)中都只體現(xiàn)出帶隙的特

11、征，但是在有 限周期的結(jié)構(gòu)中則會(huì)體現(xiàn)不同的拓?fù)湫袨?。這里以開放邊界 條件為例，對(duì)應(yīng)于凝聚態(tài)體系中的真空邊界，m + 。 其仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖 4。對(duì)于 m>0 的結(jié)構(gòu)，其表現(xiàn)為一個(gè) 普通的帶隙，當(dāng)位于帶隙頻率的入射波從一端入射時(shí)，呈現(xiàn) 出反射特性，電場(chǎng)只聚集在入射端邊界的趨膚深度范圍內(nèi)， 見圖 4(a) (c)；而對(duì)于 m圖 4 m>0 微帶線結(jié)構(gòu)的態(tài)密度譜 (a)，三維電場(chǎng)分布的仿真結(jié) 果(b)以及一維電壓分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果 (c)； m2.2 疇壁現(xiàn)象 (Domain wall)Jackiw Rebbi 解描繪了這樣一個(gè)現(xiàn)象：在正質(zhì)量和負(fù)質(zhì)量 的材料界面會(huì)形成束縛態(tài)，也被稱為疇

12、壁，是 Dirac 方程在 零能量位置的解。后續(xù)研究表明這是一種一維拓?fù)鋺B(tài)，且對(duì) 界面兩側(cè)材料質(zhì)量的無序分布不敏感。其典型例子是有機(jī)聚 合物導(dǎo)體中的孤子 (soliton) 。然而，這一現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)上的觀測(cè) 并不容易。在超構(gòu)材料體系中，研究者在超構(gòu)材料概念初期就發(fā)現(xiàn)了在 兩種不同單負(fù)材料 ( 和 其中之一為負(fù)值 )的界面處存 在界面態(tài)，然而人們尚未意識(shí)到其內(nèi)在的拓?fù)鋵傩?。文獻(xiàn)首 次揭示了單負(fù)材料的界面態(tài)滿足 Jackiw Rebbi 解，本質(zhì)上 是一種拓?fù)鋺B(tài)， 即疇壁。 利用上一小節(jié)中的微帶線結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)， 將能帶翻轉(zhuǎn)前后的兩種結(jié)構(gòu) (分別為 w=8.5 mm 和 w=2.5 mm) 組合在一起，即

13、觀測(cè)到了界面態(tài)，體現(xiàn)為帶隙中的態(tài)密度峰 (其對(duì)應(yīng)頻率為 0 = 11.05 GHz) ，見圖 5(a)。進(jìn)一步，空間位置的電壓測(cè)量也顯示了電場(chǎng)確實(shí)在界面處聚集，與仿真結(jié)果 相一致，見圖 5(b)和 (c)。通過提取參數(shù)，得到兩種結(jié)構(gòu)體現(xiàn) 的參數(shù)分別為 m1 = -11.83 ，U1 = 0.26 + 0.80i ，m2 = -16.65 ， U2 = -0.26 + 0.80i ，其對(duì)應(yīng)的本征能量 E 接近于零，證明了 該界面態(tài)是 Jackiw Rebbi 解對(duì)應(yīng)的零能態(tài)。此外，相關(guān)實(shí) 驗(yàn)研究也發(fā)現(xiàn)了該界面態(tài)確實(shí)對(duì)單負(fù)材料層的無序分布不 敏感，說明其受到了拓?fù)浔Ｗo(hù)。圖 5 (a)界面態(tài) (疇壁

14、)的態(tài)密度譜 (其中(i)為計(jì)算結(jié)果， (ii)為實(shí) 驗(yàn)結(jié)果 )； (b)微帶線結(jié)構(gòu)空間場(chǎng)分布的仿真結(jié)果； (c)電場(chǎng) /電 壓隨位置的分布2.3 一維晶格的拓?fù)湎?在上述研究的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步研究一維晶格的拓?fù)湎唷?在凝聚態(tài)體系中，最簡(jiǎn)單的二能帶模型是Su Schrieffer Heeger(SSH)模型一種由 AB 格點(diǎn)組成的二聚物周期性 晶格。 當(dāng)元胞內(nèi)與元胞間的躍遷幅度 (hopping amplitude) 不相 等時(shí)，兩支能帶會(huì)被帶隙分隔開。然而，該結(jié)構(gòu)在一維周期 鏈被斷開時(shí)，會(huì)呈現(xiàn)非常有趣的現(xiàn)象：從元胞內(nèi)切斷的結(jié)構(gòu) 與從元胞間切斷的結(jié)構(gòu)在邊界處的 Berry 相相差了 ，于是

15、導(dǎo)致了兩者完全不同的拓?fù)湫再|(zhì) 一種是拓?fù)淦椒矐B(tài)， 而另一種是拓?fù)浞瞧椒矐B(tài)，或簡(jiǎn)稱為拓?fù)鋺B(tài)，其表現(xiàn)為在一 維鏈的兩端邊界處出現(xiàn)了零能的束縛態(tài)，即一維邊界態(tài)。然 而，該現(xiàn)象在凝聚態(tài)體系中的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)并非易事。圖 6 (a)一維 AB 格點(diǎn)周期鏈?zhǔn)疽鈭D； (b) 一維周期鏈的態(tài)密度譜；(c)拿掉一個(gè) B 組分?jǐn)嚅_的周期鏈的態(tài)密度譜； (d)拿掉一 個(gè) A 組分?jǐn)嚅_的周期鏈的態(tài)密度譜 超構(gòu)材料為此提供了一個(gè)非常方便的模擬平臺(tái)。利用有效質(zhì) 量分別為 mA > 0 (w=7 mm) 和 mB A|> |mB| ，確保了其能帶 結(jié)構(gòu)存在帶隙，見圖 6(a)和 (b)，對(duì)應(yīng)于 SSH 模型的一維周

16、期鏈。當(dāng)拿掉一個(gè) B 組分?jǐn)嚅_周期鏈時(shí)，其變?yōu)橛邢藿Y(jié)構(gòu)， 仍采用測(cè)量群延時(shí)的方法將其轉(zhuǎn)化為態(tài)密度譜，如圖6(c) 所示?？梢钥吹?，其仍然呈現(xiàn)出帶隙的特征。然而，當(dāng)拿掉一 個(gè) A 組分?jǐn)嚅_周期鏈時(shí)， 其帶隙內(nèi)出現(xiàn)了一個(gè)態(tài)密度峰， 如 圖 6(d) 所示。通過進(jìn)一步的仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量，實(shí)驗(yàn)樣品 如圖 7(a)所示，可以看到對(duì)應(yīng)于態(tài)密度峰的頻率，結(jié)構(gòu)中的 電場(chǎng)主要集中在結(jié)構(gòu)的兩端，體現(xiàn)出了邊界態(tài)的特征，見圖 7(b)和 (c)。這組對(duì)比實(shí)驗(yàn)很好地驗(yàn)證了 SSH 模型預(yù)測(cè)的拓?fù)?態(tài)行為。圖 7 (a)兩種斷開的周期鏈結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)樣品； (b) 三維空間場(chǎng)分布 仿真結(jié)果； (c) 一維電壓分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)

17、果3 二維 p 波超導(dǎo)體系的光學(xué)類比 拓?fù)涑瑢?dǎo)體是另一類備受關(guān)注的拓?fù)洳牧?，它除了具有邊?態(tài)之外，還可以產(chǎn)生渦旋零能態(tài) (zero-energy mode at a vortex) 。理論表明，這種零能態(tài)的渦旋中心可以找到 Majorana 費(fèi)米子，因此引起了廣泛的關(guān)注。拓?fù)涑瑢?dǎo)體最簡(jiǎn)單的模型 為 p 波超導(dǎo)，其哈密頓量形式為其中 p 為動(dòng)量， U 為化學(xué)勢(shì)，對(duì)角元分別表示電子和空穴的哈密頓量，具有粒子 空穴對(duì)稱性 (particle-hole symmetry) ，非對(duì)角元表示 px+ipy 形 式的配對(duì)勢(shì)。當(dāng) U> 0 時(shí)，在不考慮配對(duì)勢(shì)的情況下，電 子和空穴的能帶會(huì)發(fā)生交疊，如圖

18、 8(b) 所示； px+ipy 配對(duì)勢(shì) 的引入會(huì)打開帶隙，并呈現(xiàn)出拓?fù)湎?，如圖8(c) 所示。本文從麥克斯韋方程組出發(fā)，在理論上建立了超構(gòu)材料與 p 波超導(dǎo)體系的直接類比。此類比有兩個(gè)關(guān)鍵問題：一是如何 實(shí)現(xiàn)等效的粒子空穴對(duì)稱性？二是如何模擬 px+ipy 配對(duì) 勢(shì)？3.1 p 波超導(dǎo)哈密頓量的光學(xué)類比 對(duì)于第一個(gè)問題，本文提出利用 TE 波與 TM 的電磁對(duì)稱性 以及上個(gè)章節(jié)用到的手性翻轉(zhuǎn)兩項(xiàng)操作的疊加來類比超導(dǎo) 體系中的粒子空穴對(duì)稱性，如圖 8(a)所示。下面以 TE 波 為例，給出相應(yīng)的二維麥克斯韋方程組形式其中 z 和 分別滿足 (4)式和(5)式的 Drude 模型描述。通過與 (

19、3) 式相似 的操作， (8)式也可以改寫成由有效質(zhì)量和化學(xué)勢(shì)的描述形式 其中 m 與 U 和(3)式的描述相對(duì)應(yīng)， Ez' = 0 Ez ，Hx， y' = 0 Hx，y 。這里將 (9) 式左邊的矩陣定義為等效哈 密頓量 h(k) -U 。其能帶結(jié)構(gòu)如圖 8(b)的藍(lán)色曲面所示，當(dāng) m 不為零時(shí)，呈現(xiàn)出由帶隙隔開的上下兩支能帶。與之相應(yīng) 地，根據(jù)電磁對(duì)稱性， TM 波的等效哈密頓量可以寫為-h*(-k) +U 。其能帶結(jié)構(gòu)如圖 8(b)的紅色曲面所示，亦表現(xiàn) 為上下兩支能帶。通過調(diào)節(jié)參數(shù) U，可以改變 TE 波與 TM 波能帶的相對(duì)位置。當(dāng) U>m 時(shí)， TE 波的上

20、能帶 ( 右手能帶 ) 與 TM 波的下能帶 ( 左手能帶 )會(huì)發(fā)生交疊。這兩支能帶滿足 電磁對(duì)稱性與手性翻轉(zhuǎn)的條件，可以認(rèn)為具有等效的粒子 空穴對(duì)稱性，分別對(duì)應(yīng)于超導(dǎo)體中電子的能帶與空穴的能 帶。兩者的頻率交點(diǎn)標(biāo)記為 0 ，等效于超導(dǎo)體中的零能量 位置。圖 8 (a) 通過電磁對(duì)稱性與手性翻轉(zhuǎn)的疊加操作來等效超導(dǎo) 體系中的粒子空穴對(duì)稱性操作； (b) 不含配對(duì)勢(shì)的粒子空 穴能帶結(jié)構(gòu)； (c) 含 px+ipy 配對(duì)勢(shì)的粒子空穴能帶結(jié)構(gòu) 對(duì)于解決 px+ipy 配對(duì)勢(shì)的問題， 這里采用了較為特殊的介電 系數(shù)和磁導(dǎo)率的張量設(shè)計(jì)：這里考慮最為簡(jiǎn)單的情況， 1= 2 = 3 = 4 = ，使整個(gè)系統(tǒng)

21、滿足 xy 平面的旋轉(zhuǎn) 對(duì)稱性。 將其代入麥克斯韋方程組， 并引入 (9)式的變換形式， 可以得到一個(gè) 6× 6的等效哈密頓量形式： 其中可以證明， (11) 式描述的等效哈密頓量滿足粒子空穴對(duì)稱性。從圖8(c) 可以看出， 由于等效 px+ipy 配對(duì)勢(shì)的引入， 原本交疊的兩支能 帶在 0 處打開了一個(gè)有限的帶隙。接下來需要證明這個(gè)帶 隙具有拓?fù)湎嗟奶攸c(diǎn)?？紤]到所有的拓?fù)湎嗵卣鞫及l(fā)生在以 0 為中心的兩支能 帶，利用這兩支能帶的波函數(shù)對(duì) 6× 6 的等效哈密頓量進(jìn)行 約化操作，最終得到僅包含這兩支能帶信息的2×2 哈密頓 量：可以看到， (13)式與 (7)式具

22、有完全一致的形式，因此也 具有相同的拓?fù)洳蛔兞浚f明利用超構(gòu)材料可以實(shí)現(xiàn) p 波超 導(dǎo)體系中的各種拓?fù)湫袨椤?.2 p 波超導(dǎo)邊界態(tài)的光學(xué)類比 由于 p 波超導(dǎo)體的帶隙呈現(xiàn)出拓?fù)湎啵?因此在邊界處會(huì)產(chǎn)生 受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)。該邊界態(tài)不具備時(shí)間反演對(duì)稱性， 只有一支單向傳播的模式，被稱為手征邊界態(tài) (chiral edge state)。對(duì)于光學(xué)體系，本文從最簡(jiǎn)單的單界面的情形出發(fā)， 來展示光學(xué)手征邊界態(tài)。假設(shè)界面位于 x=0 的位置，左邊是 一種對(duì)電磁波不透明的材料，等效為真空， 右邊是特殊設(shè) 計(jì)的超構(gòu)材料， 0 = 0.8 ， z0 = 1.1 ， 0 = 1.2 ， z0 = 0.9 ，

23、 p = 89 ， = 0.04 。該超構(gòu)材料的整體能 帶結(jié)構(gòu)平面投影如圖 9(a)中陰影區(qū)域所示。在考慮 x=0 處的 邊界時(shí)，會(huì)在帶隙中出現(xiàn)一支單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài)。圖9(b) 給出了具有 4 個(gè)邊界的超構(gòu)材料的空間電場(chǎng)分布情況， 可以清 楚地看到電場(chǎng)局域在 4 個(gè)邊界上。 這類邊界態(tài)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)，對(duì)局部擾動(dòng)不敏感，因此在遇到 障礙物時(shí)，光會(huì)沿著邊緣繞過障礙物繼續(xù)單向傳輸，前人的 工作都證明了這一點(diǎn)。本文從另一個(gè)角度來討論拓?fù)浔Ｗo(hù)帶 來的好處。 從 (10) 式可以看出， 要實(shí)現(xiàn) p 波超導(dǎo)的完美類比， 需要的電磁張量形式特別復(fù)雜，這會(huì)給實(shí)驗(yàn)帶來較大的困 難。這里提出充分利用拓?fù)浔Ｗo(hù)的性質(zhì)，來

24、簡(jiǎn)化電磁張量。 例如，令 (10)式中的 2 = 3 = 0 且2 4 ，這樣便 大大簡(jiǎn)化了材料設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。圖 9(c) 給出了簡(jiǎn)化參數(shù)后的 能帶結(jié)構(gòu)平面投影?？梢钥闯觯捎诤?jiǎn)化了兩個(gè)電磁張量的 非對(duì)角元， 帶隙寬度明顯減小， 但仍能觀測(cè)到邊界態(tài)的存在。 圖 9(d) 顯示了實(shí)空間電場(chǎng)分布情況， 可以觀察到 x 軸方向與 y 軸方向的波長(zhǎng)明顯不同，這是由于 1 4 所致，使 得結(jié)構(gòu)不再具有 xy 平面的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，但仍然體現(xiàn)出了邊 界態(tài)的典型特征。根據(jù)以上結(jié)果可以得出結(jié)論，這類邊界態(tài) 由于受到拓?fù)浔Ｗo(hù)，對(duì)材料參數(shù)的簡(jiǎn)化或擾動(dòng)不敏感，只要 帶隙不經(jīng)歷關(guān)閉的過程，就始終具有拓?fù)湎?。圖9 (a)和

25、(b)為具有完美對(duì)稱性的 p 波超導(dǎo)光學(xué)類比， 其中(a) 為能帶結(jié)構(gòu)平面投影， (b)為實(shí)空間場(chǎng)分布； (c)和 (d) 為不具備 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的簡(jiǎn)化版拓?fù)湎?，?(10)式中的 2 = 3 = 0 且 1 4 ，其中 (c)為能帶結(jié)構(gòu)平面投影， (d)為實(shí)空 間場(chǎng)分布3.3 渦旋零能態(tài)的光學(xué)類比p 波超導(dǎo)的另一種重要拓?fù)鋺B(tài)形式是渦旋零能態(tài)。它是 Bogoliubov de Gennes (BdG)方程在極坐標(biāo)體系滿足 (r，) = 0(r) exp( ± i ) 條件下的解，該條件表示配對(duì)勢(shì)隨極角 有著空間相位變化。非常有趣的是，該條件在極點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn) 一個(gè)奇點(diǎn)，可以粗略地認(rèn)為這是一個(gè)直徑極小的環(huán)形邊界， 其導(dǎo)致的結(jié)果是在極點(diǎn)處會(huì)形成一個(gè)