有心力場(chǎng)中圓形軌道穩(wěn)定性的線性分析

1、有心力場(chǎng)中圓形軌道穩(wěn)定性非線性近似分析摘 要本文利用微擾法研究質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下圓形軌道的穩(wěn)定性問(wèn)題。通過(guò)對(duì)比分析了一階與二階兩種微擾近似條件下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的相圖。在引力與距離n次方成反比的有心力場(chǎng)中,影響圓形軌道穩(wěn)定性的因素有冪次n、軌道初始半徑及微擾強(qiáng)度。當(dāng)n趨近于2時(shí),圓形軌道抗擾動(dòng)能力比較強(qiáng); 當(dāng)n確定時(shí),軌道半徑越大的圓形軌道,所能承受的微擾越小。并從粒子的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā),利用非線性動(dòng)力學(xué)的方法分析了行星在有心力場(chǎng)中運(yùn)行軌道的穩(wěn)定性。并指出，當(dāng)粒子在與位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其運(yùn)行軌道的穩(wěn)定條件是n小于三。關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性；微擾法；相圖；運(yùn)行軌道NONLINEAR ANAL

2、YSIS ON STABILITY OF A CIRCULAR ORBIT IN THE CENTRAL FORCE FIELDABSTRACTIn this paper，the perturbation method is used to study the stability problem of a mass particle forced by a central force in a circular orbit. By comparative analysis, phase diagram of the perturbation orbit of mass is performed

3、 under the conditions for the first-order and second-order perturbation approximations. In the central force field where the gravity is in inverse proportion to nth power of the modulus of situation vector, Influence factors on the stability of circular orbit are power index n，initial orbit radius a

4、nd the strength of the perturbation. When power index n tends to 2, the anti-disturbance capability of the circular orbit is strong. The larger the circular orbit radius is, for the same power index, the smaller perturbation the orbit can endure. Based on the basic motion equation, the stability of

5、the planet orbits in central force field is studied by using nonlinear dynamics method. It is indicated that the stability condition of planet orbits in the central force field is that n is smaller than three when particle is forced by the central force which is in inverse proportion to nth power of

6、 situation vector. Key words: stability; perturbation method; phase diagram; orbit stability目 錄1前言-12線性穩(wěn)定性分析和奇點(diǎn)的分類(lèi)-221非線性方程的線性化和線性穩(wěn)定性定理-2 22線性方程的解及其穩(wěn)定性-3 23奇點(diǎn)（定點(diǎn)）的分類(lèi)-43圓形軌道的穩(wěn)定性-5 31圓形軌道的微擾微分方程-5 311取一階微擾近似-5 312取二階微擾近似-6 32有心力場(chǎng)中圓形軌道的穩(wěn)定性分析-7 321當(dāng)時(shí)的穩(wěn)定性分析-7 322當(dāng)時(shí)的穩(wěn)定性分析-74行星軌道的穩(wěn)定性分析-125結(jié)論-15參考文獻(xiàn)-16致謝-17

7、1 前 言對(duì)于現(xiàn)行通用的理論力學(xué)教材中關(guān)于有心力場(chǎng)中圓形軌道穩(wěn)定性的討論，方法一般分為兩類(lèi)：第一類(lèi)用有效勢(shì)能法；第二類(lèi)用比耐公式，然后歸結(jié)為用線性近似方程判別穩(wěn)定性。不管方法如何，這些文獻(xiàn)都未涉及微擾大小對(duì)穩(wěn)定性的影響。一般認(rèn)為，當(dāng)初始擾動(dòng)過(guò)大，軌道不可能保持穩(wěn)定。如果當(dāng)圓形軌道取一階微擾近似時(shí)的穩(wěn)定性條件是什么？若當(dāng)存在二階微擾時(shí)，情況又如何呢？有心力場(chǎng)中圓形軌道穩(wěn)定性又與哪些因素有關(guān)呢？這些結(jié)論又是否適用于行星軌道呢？本文將利用微擾法研究有心力場(chǎng)中圓形軌道穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，采用非線性近似，結(jié)合微擾相圖，討論了微擾大小對(duì)穩(wěn)定性的影響，并從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)驗(yàn)證了此結(jié)論適用于行星軌道。彌補(bǔ)了其他文獻(xiàn)討

8、論上的不足。2 線性穩(wěn)定性分析和奇點(diǎn)分類(lèi)2.1 非線性方程的線性化和線性穩(wěn)定性定理設(shè)為非線性方程的一個(gè)解。為研究此解的穩(wěn)定性，令表示此解附近的另一解： （2.1） 稱(chēng)為參考點(diǎn)或參考解，相應(yīng)的狀態(tài)稱(chēng)為參考態(tài)，就是狀態(tài)對(duì)參考態(tài)的偏離。為了分析定點(diǎn)（定態(tài)）的穩(wěn)定性及在其鄰域解的表現(xiàn)，通常都是取定點(diǎn)為參考點(diǎn)。 將式（2.1）代入方程 （2.2）并實(shí)行泰勒展開(kāi)： （2.3）表示的二次和二次以上無(wú)窮小項(xiàng)，下標(biāo)0表示在參考點(diǎn)處取值。由此得： （2.4）方程（2.4）也可寫(xiě)成矢量形式： （2.5）式（2.4）中： （2.6）式（2.5）中的系數(shù)矩陣（雅克比矩陣）是： （2.7）方程（2.4）或（2.5）就是非

9、線性方程（2.2）在參考點(diǎn)鄰域的線性化方程。 線性穩(wěn)定性定：如果非線性方程（2.2）的線性化方程（2.4）的定點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則參考點(diǎn)（態(tài))是非線性方程的漸進(jìn)穩(wěn)定解；如果線性化方程的定點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則參考態(tài)也是非線性方程的不穩(wěn)定解。2.2 線性方程的解及其穩(wěn)定性為求線性方程（2.4）并分析其解的穩(wěn)定性，先就簡(jiǎn)單而形象的n=2情形進(jìn)行研究其結(jié)果不能推廣到多變量的情形。當(dāng)n=2時(shí)，方程（2.4）簡(jiǎn)化為： （2.8）通常方程（2.8）有如下形式的解： （2.9）是下述特征值方程的解： = 0 （2.10）或 T + = 0 （2.11）用和T分別表示方程(2.8)系數(shù)矩陣的行列式和跡 （2.12）T

10、 = + （2.13）方程（2.10）有兩個(gè)解： = ， = （2.14）2.3 奇點(diǎn)（定點(diǎn)）的分類(lèi)還可以根據(jù)和T取值不同從而特征跟取值也不同進(jìn)一步對(duì)線性方程（2.4）的解和非線性方程的參考態(tài)定態(tài)或定點(diǎn)（奇點(diǎn)）進(jìn)行分類(lèi)：（1）情形 這時(shí)兩個(gè)特征根和都是實(shí)的，而且符號(hào)相同。這樣的定點(diǎn)（奇點(diǎn)）稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)。T>0時(shí)它是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，T<0時(shí)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。凡是和小于零的奇點(diǎn)，因?yàn)橹笖?shù)為負(fù)的，導(dǎo)致趨于零（t），都是穩(wěn)定的，反之是不穩(wěn)定的。（2） 情形 這時(shí)兩個(gè)特征根都是復(fù)數(shù)（），其虛部表示振蕩過(guò)程（），實(shí)部（）則表示振蕩的振幅。 時(shí)， ，振幅按指數(shù)形式增長(zhǎng)，解或定點(diǎn)（奇點(diǎn)）便是不穩(wěn)定的； 時(shí)， ，

11、振幅按指數(shù)形式衰減，解或定點(diǎn)便是穩(wěn)定的。這樣的定點(diǎn)稱(chēng)為焦點(diǎn)或螺線極點(diǎn)。因此焦點(diǎn)也有不穩(wěn)定焦點(diǎn)和穩(wěn)定焦點(diǎn)之分：（從而）時(shí)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)，（從而 ）時(shí)是穩(wěn)定焦點(diǎn).（3）情形 這時(shí)兩特征根都是虛的，從而解是振蕩的，其在相平面上的軌線是一些閉曲線，這時(shí)的定點(diǎn)（奇點(diǎn)）稱(chēng)為中心。（4）情形 這時(shí)兩特征根都是實(shí)的，其中之一是正的，另一是負(fù)的，從而這種奇點(diǎn)在相平面上一個(gè)方向是不穩(wěn)定的，另一方向是穩(wěn)定的，相應(yīng)的定點(diǎn)（奇點(diǎn)）稱(chēng)為鞍點(diǎn)。3 圓軌道的穩(wěn)定性3.1 圓形軌道的微擾微分方程3.1.1 取一階微擾近似地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是接近于圓形的橢圓。我們知道，對(duì)圓形軌道來(lái)講，r或?yàn)槌?shù)。由比耐公示可知，在有心力作用下，

12、對(duì)任何質(zhì)點(diǎn)（或星體）來(lái)講，如投擲（起始）速度的方向垂直于位矢，且滿(mǎn)足 （3.1）的關(guān)系，則不論其半徑為何，都將作圓形軌道的運(yùn)動(dòng)，式中為單位質(zhì)量上所受的吸引力。現(xiàn)在我們要問(wèn)，這種圓形軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的？這個(gè)問(wèn)題在物理上是很重要的。因?yàn)樽匀唤缰形⑿_動(dòng)是經(jīng)常存在的，它將破壞不穩(wěn)定的圓形軌道，只有穩(wěn)定的圓形軌道，才有機(jī)會(huì)繼續(xù)下去。令及為某一圓形軌道的之值，顯然 （3.2）為了研究擾動(dòng)，我們令，式中及其微商均認(rèn)為是很小的微量，把代入比耐公示中，得+ = （3.3）即引入微擾后軌道偏差的微分方程把式（3.3）的右邊展為的冪級(jí)數(shù)，得= = = （3.4）又因?yàn)椋?，則整理后為 （3.5）式中，下標(biāo)0

13、表示當(dāng)時(shí)所算出來(lái)的值。令，則 （3.6）取一階微擾近似決定穩(wěn)定性的方法，線性部分的特征方程 （3.7）當(dāng)即時(shí)，解得為純虛數(shù)，這表明奇點(diǎn)為中心。所以取一階微擾近似可以得出時(shí)軌道是穩(wěn)定的。3.1.2 取二階微擾近似現(xiàn)對(duì)式（3.5）取二階微擾近似，考慮引力與距離次方成反比的情況，即，則。則式（3.3）變?yōu)?=0 （3.8）式中，3.2 有心力場(chǎng)中圓形軌道的穩(wěn)定性分析根據(jù)方程（3.8）進(jìn)行如下兩種情況的分析討論.3.2.1 當(dāng)時(shí)的穩(wěn)定性分析當(dāng)時(shí)，或.方程（3.8）退化為一階微量下的方程.由第求解可知當(dāng)時(shí)給出穩(wěn)定軌道，當(dāng)時(shí)給出不穩(wěn)定軌道.若僅考慮在平方反比引力作用下，即，則時(shí)，微擾偏差的微分方程變?yōu)?+

14、=0 （3.9）做出此時(shí)的相圖，如圖1所示. 從相圖可以看到每條軌線都是封閉的，這表明相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)具有周而復(fù)始的周期性，即在平方反比引力作用下，圓形軌道具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性.（圖1） 微擾相圖3.2.2 當(dāng)時(shí)的穩(wěn)定性分析當(dāng)時(shí)，令，式（3.8）可化為 （3.10）令，則有,代入上式，有 （3.11）其中. 對(duì)式（3.11）積分，得 （3.12）其中為積分常數(shù). 對(duì)式（3.12）分離變量，可得到通積分 （3.13）原則上通過(guò)對(duì)式（3.13）的分析可以得到軌道穩(wěn)定性條件. 考慮引力與距離次方成反比的情況，即. 令 （3.14）則由 （3.15）得的駐點(diǎn)為，由 （3.16）得，. （1）當(dāng)2時(shí)的微擾相圖分析

15、當(dāng)2時(shí)，0，0，根據(jù)極值的判定法則知在處取得極大值，在處取得極小值. 作出此時(shí)式（3.12）的相圖如圖2所示. （圖2） 的相圖圖中A點(diǎn)所在的臨界封閉軌道滿(mǎn)足，則；由得A點(diǎn)坐標(biāo). 可以看到，在該軌線內(nèi)部的軌線是封閉的，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定軌道；而該軌線以外的軌線都是開(kāi)放的，對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定軌道. 即只有當(dāng)時(shí)軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到.（2） 當(dāng)23時(shí)的微擾相圖分析當(dāng)23時(shí)，0，0，根據(jù)極值的判定法則知在處取得極大值，在處取得極小值.作出此時(shí)式（3.12）的相圖如圖3所示 （圖3）時(shí)的相圖圖中點(diǎn)所在的臨界封閉軌道滿(mǎn)足，;由得點(diǎn)坐標(biāo). 可以看到，在該封閉軌線內(nèi)部，軌道一直是穩(wěn)定的，而該封閉軌線以外的軌道都不再穩(wěn)定

16、. 即只有當(dāng)時(shí)軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到.（3）當(dāng)3時(shí)的微擾相圖分析當(dāng)3時(shí)，0，0，根據(jù)極值的判定法則知在處取得極小值，在處取得極大值.作出式（3.12）的相圖如圖4所示. （圖4）的相圖圖中點(diǎn)所在的臨界封閉軌線滿(mǎn)足，則；由得點(diǎn)坐標(biāo). 可以看到，在該封閉軌線內(nèi)部，軌道一直是穩(wěn)定的，而該封閉軌線以外的軌道都不再穩(wěn)定. 即只有當(dāng)時(shí)軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到0綜合考慮時(shí)的情況，可以定量的得出微擾大小對(duì)圓形軌道穩(wěn)定性的影響. 即當(dāng) （3.19）時(shí)軌道才可能是穩(wěn)定的.根據(jù)式(3.19)可以作出微擾臨界值與圓形軌道初始半徑和n的關(guān)系大致如圖5所示,圖中上下兩曲線間的微擾值范圍即是該圓形軌道穩(wěn)定的必要條

17、件. 從圖中可以很容易的看出,當(dāng)n2時(shí),圓形軌道抗擾動(dòng)能力比較強(qiáng);當(dāng)n背離2時(shí),圓形軌道抗擾動(dòng)能力逐漸減弱,但在n = 3時(shí)軌道穩(wěn)定性存在突變;對(duì)一定的有心力場(chǎng),即n確定時(shí),一般軌道半徑越大的圓形軌道,所能承受的微擾越小. （圖5）微擾與值關(guān)系曲線4 行星軌道的穩(wěn)定性分析行星在有心力的作用下繞太陽(yáng)作穩(wěn)定的軌道運(yùn)動(dòng). 所謂軌道的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)的初始條件發(fā)生微小變化或系統(tǒng)受到一個(gè)短暫擾動(dòng)時(shí),使系統(tǒng)偏離原軌道 變?yōu)閞 ,如果r 始終保持在 附近作微小振動(dòng),則這種軌道是穩(wěn)定的.也可從數(shù)學(xué)上證明行星軌道的穩(wěn)定性。接著我們將從粒子的基本運(yùn)動(dòng)方程出發(fā),利用非線性動(dòng)力學(xué)的方法,證明行星在有心力的作用下運(yùn)行軌道

18、的穩(wěn)定性.設(shè)質(zhì)量為m 的粒子,在有心力場(chǎng)中所受的力為F = F( r) ,其中F 的大小只依賴(lài)于r ,它的方向與矢徑 的方向一致或相反. 若取平面極坐標(biāo), 粒子的運(yùn)動(dòng)方程為 （4.1） （4.2）其中（4.2）式可以寫(xiě)為 （4.3）因粒子的質(zhì)量m 為常量,故上式積分得 （4.4）式中h 為積分常數(shù). 將式(4.4) 代入式(3.1) 得 （4.5）顯然, 式(4.5) 是一個(gè)二階非線性方程. 令, 則式(4.5) 可化為 ， （4.6）若令 ，則系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為 ， （4.7）所謂系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是相圖上的一些特殊點(diǎn), 在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為奇點(diǎn). 通過(guò)對(duì)奇點(diǎn)性質(zhì)的討論,可以了解系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近相軌線的結(jié)構(gòu).

19、在平衡點(diǎn),系統(tǒng)方程的雅可比矩陣是 （4.8） 式中設(shè)雅可比矩陣的本征值和本征函數(shù)分別為和，則有 （4.9） 即 （4.10）由此可解得 （4.11）根據(jù)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的定義,只有當(dāng) 時(shí),與平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相軌道才是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的, 對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)才是實(shí)際可觀測(cè)的. 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的相空間軌道對(duì)初值和參量的擾動(dòng)是不敏感的. 這樣的平衡點(diǎn)稱(chēng)為中心點(diǎn),系統(tǒng)將繞中心點(diǎn)作周期運(yùn)動(dòng)。設(shè)，由此可得 （4.12）我們考慮引力與距離的次方成反比的情況，即設(shè) （4.13）由式（4.12）得 （4.14）在平衡點(diǎn)處滿(mǎn)足，于是得 （4.15）將（4.15）代入（4.14）得時(shí)才是穩(wěn)定的。故粒子在引力式(4.13)的作用下作軌道運(yùn)動(dòng),只有當(dāng)n < 3 時(shí)才是穩(wěn)定的. 這與本文第二部分的結(jié)果是一致的.萬(wàn)有引力是平方反比引力( n = 2) , 因此, 行星在萬(wàn)有引力作用下的軌道運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的. 5 結(jié) 論通過(guò)上述分析討論,可得出：(1) 在引力與距離n次方成反比的有心力場(chǎng)中,影響圓形軌道穩(wěn)定性的因素有n、軌道初始半徑及微擾大小；(2) 當(dāng)n2時(shí),圓形軌道抗擾動(dòng)能力比較強(qiáng); n確定時(shí),一般軌道半徑越大的圓形軌道,所能承受的微擾越小；(3)有心力場(chǎng)中行星