導數專題復習(配詳細答案)

1、導數專題復習（配詳細答案）體型一 :關于二次函數的不等式恒成立 的主要解法：1、分離變量；2 變更主元； 3 根分布； 4 判別式法5、二次函數區(qū)間最值求法：（ 1）對稱軸（重視單調區(qū)間）與定義域的關系（ 2）端點處和頂點是最值所在其次， 分析每種題型的本質，你會發(fā)現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創(chuàng)建不等關系求出取值范圍。注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數的單調區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令f ' (x)0 得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中 不等式恒成立問題

2、的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值- 用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0 ）第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數）- （已知誰的范圍就把誰作為主元）；例 1：設函數yf (x) 在區(qū)間D 上的導數為f (x) ，f ( x) 在區(qū)間D 上的導數為g( x)，若在區(qū)間D上 ，g( x )0恒成立，則稱函數yf ( x)在 區(qū) 間D上為“凸函數”，已知實數m是 常 數 ，x4mx33x2f (x)1262（ 1）若yf ( x) 在區(qū)間0,3上為“凸函數” ，求m 的取值范圍；（ 2）若對滿足m2 的任何一個實數m ，函數f

3、(x) 在區(qū)間a,b上都為“凸函數” ，求 ba 的最大值 .解 :由函數x4mx33x2x3mx2f ( x)62得 f ( x)3x1232g (x)x2mx 3（ 1）yf (x)在區(qū)間0,3上為“凸函數” ，則g (x)x2mx30在區(qū)間0,3 上恒成立解法一：從 二次函數的區(qū)間最值入手：等價于gmax (x)0g(0)030m 2g(3)093m30解法二： 分離變量法： 當 x0時,g( x)x2mx 330恒成立 ,當 0x3 時 , g( x)x2mx30 恒成立x23x30x 3 ）恒成立，等價于 mx的最大值（x而 h( x)3x3 ）是增函數，則 hmax ( x)h(3

4、)2x（ 0xm2(2) 當 m2 時 f (x) 在區(qū)間a, b 上都為“凸函數”則等價于當 m2 時 g(x)x2mx 30恒成立變更主元法再等價于 F (m)mxx230 在 m2 恒成立 （視為關于 m 的一次函數最值問題）F (2)02xx230F (2)02x x231 x 10ba2-22例 2：設函數 f ( x)1x32ax 23a2 xb(0a1,b R)3（）求函數 f（ x）的單調區(qū)間和極值；（）若對任意的x a1, a2, 不等式 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范圍 .（二次函數區(qū)間最值的例子）解：（） f ( x)x24ax3a2x3ax a0 a 1f (x)

5、a3a3aa令 f ( x)0, 得 f (x) 的單調遞增區(qū)間為（a,3a）令 f ( x)0, 得 f (x) 的單調遞減區(qū)間為（， a）和（ 3a， +）當 x=a 時， f ( x) 極小值 =3a3b;當 x=3a 時， f ( x) 極大值 =b.4（）由 | f ( x) | a，得：對任意的xa 1, a2, ax24ax3a2a 恒成立則 等 價 于 g(x)這個二次函數gmax (x)ax24ax3a2 的 對 稱 軸 x 2agmin ( x)g ( x)a0 a 1,a 1a a2a （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，g(x) 這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問

6、題。g( x)x24ax3a2在 a1,a2 上是增函數 .g( x)maxg (a2)2a1.g( x)ming( a 1)4a4.a 1, a 2于是，對任意 x a1, a2 ，不等式恒成立，等價于x 2ag(a2)4a4a, 解得 4a 1.g(a1)2a1a5又 0 a1,4a1.5點評：重視二次函數區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調區(qū)間）與定義域的關系第三種：構造函數求最值題型特征：f (x)g( x) 恒成立h( x)f ( x)g (x)0 恒成立；從而轉化為第一、二種題型例 3；已知函數 f ( x)x3ax2 圖象上一點 P(1,b) 處的切線斜率為3 ，g (x) x3t 6

7、 x2(t 1)x 3(t 0)2（）求 a, b 的值；（）當 x 1,4 時，求 f ( x) 的值域；（）當 x1,4 時，不等式 f (x)g( x) 恒成立，求實數t 的取值范圍。解：（） f / ( x)3x22ax f / (1)3 ，解得a3b1 ab2（）由（）知，f ( x) 在 1,0上單調遞增，在0,2上單調遞減，在2,4 上單調遞減又 f ( 1)4, f (0)0, f (2)4, f (4)16 f ( x) 的值域是 4,16（）令 h( x)f (x) g (x)t x2(t1)x 3 x1,42思路 1：要使 f ( x)g( x) 恒成立，只需 h(x)0

8、 ，即 t( x22x)2x 6 分離變量思路 2：二次函數區(qū)間最值二、參數問題題型一： 已知函數在某個區(qū)間上的單調性求參數的范圍解法 1：轉化為f ' (x)0或 f ' (x)0 在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎題型解法 2：利用子區(qū)間（即子集思想） ；首先求出函數的單調增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數”與“函數的單調減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例 4：已知 aR，函數 f ( x)1x 3a 1 x 2(4a 1) x 122（）如果函數g( x)f ( x) 是偶函數，求f (x)

9、的極大值和極小值；（）如果函數f (x) 是 (,) 上的單調函數，求a 的取值范圍解： f ( x)1x 2(a1) x(4a1).411 x 2（）f (x) 是偶函數，a1.此時 f ( x)x33x ， f( x)3，124令 f ( x)0，解得： x23 .列表如下：x( , 23 ) 23( 23 ,23 )23(23,+)f (x)+00+f (x)遞增極大值遞減極小值遞增可知： f (x) 的極大值為f (23)43 ，f ( x) 的極小值為f (23)43 .（）函數f (x) 是 (,) 上的單調函數， f(x)1 x2( a1)x(4 a1)0 ，在給定區(qū)間 R 上恒

10、成立 判別式法4則(a1)241(4a1)a22a0，解得： 0a2 .4綜上， a 的取值范圍是 a 0a2 .例 5、已知函數f ( x)1 x3 1 (2 a)x2 (1 a)x(a 0).3 2（ I）求 f ( x) 的單調區(qū)間；（ II ）若 f (x) 在 0， 1上單調遞增， 求 a 的取值范圍。 子集思想（ I） f (x)x2(2 a) x 1 a ( x 1)(x 1 a).1、 當 a0時, f(x) (x 1)20恒成立 ,當且僅當x1時取“ =”號，f ( x)在 (, ) 單調遞增。2、 當 a0時,由 f (x) 0, 得 x11, x2a 1,且 x1x2 ,

11、單調增區(qū)間： (, 1),( a 1, )f (x)單調增區(qū)間：( 1,a1)-1a-1（II ）當f ( x)在0,1 上單調遞增,則 0,1是上述增區(qū)間的子集：1、 a0 時，f ( x)在 (,) 單調遞增符合題意2、0,1a1,，a10a1綜上， a 的取值范圍是0，1。三、題型二：根的個數問題題 1 函數 f(x) 與 g(x) （或與 x 軸）的交點 = 即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖” （即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減” ；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0

12、 的關系；第三步：解不等式（組）即可；例 6、已知函數 f ( x)1 x 3(k1) x 2 ， g( x)1kx ，且 f ( x) 在區(qū)間 (2,) 上為增函數323（ 1）求實數 k 的取值范圍；（ 2）若函數 f ( x) 與 g( x) 的圖象有三個不同的交點，求實數k 的取值范圍解：（ 1）由題意 f( x)x 2(k1)x f ( x) 在區(qū)間 (2,) 上為增函數， f (x)x2( k 1) x0 在區(qū)間 (2,) 上恒成立 （分離變量法）即 k 1x 恒成立，又 x2， k 12 ，故 k 1 k 的取值范圍為 k1（ 2）設 h(x)f (x) g( x)x 3( k

13、1) x 2kx1 ，323h ( x)x 2(k1)x k( xk)( x 1)令 h ( x)0 得 xk 或 x1 由（ 1）知 k1 ，當 k1時， h (x) (x1) 20 ， h(x) 在 R上遞增，顯然不合題意 當 k1時， h( x) ， h ( x) 隨 x 的變化情況如下表：x(, k)k(k,1)1(1,)h ( x)00h( x)極大值極小值k 3k 21k16232由于 k10，欲使 f ( x) 與 g(x) 的圖象有三個不同的交點，即方程 h( x)0有三個不同的實根，故232k1需kk10，即 ( k1)(k 22k2)0，解得 k1322k2623k0綜上，

14、所求k 的取值范圍為 k13根的個數知道，部分根可求或已知。例 7、已知函數 f ( x)ax 31 x22xc2（ 1）若 x1 是 f (x) 的極值點且f ( x) 的圖像過原點，求f ( x) 的極值；（ 2）若 g (x)1 bx 2xd ，在（ 1）的條件下，是否存在實數b ，使得函數 g (x) 的圖像與函數f ( x) 的2圖像恒有含 x1 的三個不同交點？若存在，求出實數b 的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網解：（ 1） f (x) 的圖像過原點，則f (0)0c0f (x)3ax2x 2 ，又 x1 是 f (x) 的極值點，則f ( 1)3a120a1f (x)

15、f (x)3x2x2(3x2)( x 1)0f極大值 (x) f (1)32)2 22f 極小值 ( x ) f (73-123（ 2）設函數 g(x) 的圖像與函數f (x) 的圖像恒存在含x1的三個不同交點，等價于 f ( x)g( x) 有含 x1 的三個根，即：f (1)g (1) d1 (b 1)1 x21 bx 21 (b2x32xx1) 整理得：222即： x31 (b1)x2x1 (b1)0 恒有含 x1 的三個不等實根22（計算難點來了： ） h( x)x31 (b1)x2x1 (b1)0 有含 x1 的根，22則 h(x) 必可分解為 ( x1)(二次式 )0 ，故用 添項

16、配湊法因式分解，x3x2x21 (b 1)x2x1 (b 1) 022x2 (x 1)1 (b 1)x2x1 (b 1)022x2 ( x1)1(b 1)x22 x(b1)012十字相乘法分解：x2 ( x1)(b1)x(b1)x102(x1)x21 (b1)x1 (b1)022x3 1 (b1)x2x1 (b1)0 恒有含 x1的三個不等實根22等價于 x21 (b1)x1 (b1)0 有兩個不等于 -1的不等實根。221 (b1)241 (b1)042b(,1)(1,3)(3,)11( 1)2(b1)(b1)022題 2：切線的條數問題= 以切點 x0 為未知數的方程的根的個數例 7、已知

17、函數 f (x)ax3bx2cx 在點 x0 處取得極小值4，使其導數f '( x) 0 的 x 的取值范圍為 (1,3) ，求：（ 1） f ( x) 的解析式；（ 2）若過點 P(1,m) 可作曲線 yf ( x) 的三條切線，求實數m 的取值范圍（ 1）由題意得： f '( x) 3ax 22bxc3a(x1)(x3),( a0)在 (,1) 上 f'( x)0 ；在 (1,3) 上 f '( x)0 ；在 (3,) 上 f '( x)0因此 f (x) 在 x01處取得極小值4 ab c4， f '(1)3a2bc0 ， f '(

18、3)27 a6bc 0 a1由聯(lián)立得：b6 ， f ( x)x36x29xc9（ 2）設切點 Q (t, f (t ) ， yf (t )f , (t )( x t )y( 3t212t 9)( xt )(t 36t 29t)(3t 212t9) xt (3t 212t 9)t(t 26t 9)(3t 212t9) xt (2t 26t ) 過 ( 1,m)m (3t 212t9)(1)2t 36t 2g (t )2t32t 212t9m0令 g '(t )6t26t126(t 2t 2)0 ，求得： t1,t2 ，方程 g(t)0 有三個根。g( 1)023129m0m16需：016

19、12249m0m11g(2)故：11m16 ；因此所求實數m 的范圍為： ( 11,16)題 3：已知f ( x) 在給定區(qū)間上的極值點個數則有 導函數 =0 的根的個數解法：根分布或判別式法例 8、解：函數的定義域為 R （）當1 37 2，m 4 時， f (x) 3x 2x 10xf ( x) x2 7x 10，令 f ( x)0 ， 解得 x 5, 或 x 2 .令 f ( x)0 ， 解得 2 x5可知函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(,2) 和（ 5，），單調遞減區(qū)間為 2,5 （）f ( x) x2 (m 3)xm 6,要使函數y f (x) 在（ 1，）有兩個極值點,f ( x)

20、x2 ( m 3)x m 6=0 的根在（ 1，）根分布問題：1(m3)24(m6)0;則 f (1) 1( m3)m 60; ， 解得 m 3m321.例 9、已知函數 f ( x)a x31 x 2 ， (aR, a 0)（ 1）求f (x) 的單調區(qū)間；（2）令 g( x) 1x4 f（ x）324（ x R）有且僅有3 個極值點，求a 的取值范圍解：（ 1） f ' ( x)ax 2xx(ax1)當 a0 時，令 f ' ( x)0 解得 x1 或 x0 ，令 f '(x) 0 解得1x0 ，1 )a1,0).a所以 f ( x) 的遞增區(qū)間為 (,(0,) ，

21、遞減區(qū)間為 (aa當 a0 時，同理可得f ( x) 的遞增區(qū)間為 (0，1 ) ，遞減區(qū)間為 (,0)(1,) .1 x4a x31 x2 有且僅有aa（ 2） g(x)3 個極值點432g (x) x3ax2xx(x2ax 1)=0 有 3 個根，則 x0 或 x2ax10 ， a2方程 x2ax10 有兩個非零實根，所以a24 0,a2或 a2而當 a2 或 a2 時可證函數 yg(x) 有且僅有3 個極值點其它例題：1、（最值問題與主元變更法的例子）. 已知定義在R 上的函數f ( x)ax32ax 2b（a0）在區(qū)間2,1上的最大值是5，最小值是11.（）求函數f (x) 的解析式；

22、（）若 t1,1 時，f ( x）tx0 恒成立，求實數x 的取值范圍.解：（）f (x)ax32ax2b,f ' (x)3ax 24axax(3x4)令 f ' (x) =0, 得 x10, x2432,1因為a0 ，所以可得下表：x2,000,1f ' ( x)+0-f ( x)極大因此 f (0)必為最大值, f（0） 5因此b5 ，f ( 2) 16a 5,f (1)a 5,f(1) f ( 2)，即 f (2)16a511， a1，f (x） x 32x 25.（） f (x)3x24x ， f ( x） tx0 等價于 3x 24xtx0 ，令 g (t)x

23、t3x 24x ，則問題就是 g(t )0 在 t 1,1 上恒成立時，求實數x 的取值范圍，為此只需g(1)0，即3x 25x0，g（0x2x01)解得 0x1，所以所求實數x 的取值范圍是 0 ， 1.2、（根分布與線性規(guī)劃例子）（ 1）已知函數 f ( x)2 x3ax2bxc3( ) 若函數 f (x) 在 x1 時有極值且在函數圖象上的點(0,1) 處的切線與直線3xy0平行, 求f (x) 的解析式；( ) 當 f ( x) 在 x(0,1) 取得極大值且在 x (1, 2) 取得極小值時 , 設點 M (b2,a1) 所在平面區(qū)域為 S,經過原點的直線L 將 S 分為面積比為1:

24、3 的兩部分 , 求直線 L 的方程 .解： ( ). 由 f (x)2x22axb ,函數 f ( x) 在 x 1時有極值 ,2ab20f (0)1c 1又f ( x) 在 (0,1) 處的切線與直線3xy0平行,f (0)b3故a122 x31 x2f ( x)3x1. 7 分32( ) 解法一 : 由 f (x)2x22axb及 f ( x) 在 x(0,1) 取得極大值且在x(1,2) 取得極小值 ,f(0)0b0xb2f(1)0即2ab20令 M ( x,y) ,則ya1f(2)04ab80ay1x202 yx20故點 M 所在平面區(qū)域 S 為如圖 ABC,x2b4 yx60易得

25、A(2,0) ,B(2,1) ,C (2,2) ,D (0,1) ,E(0,3) ,S ABC22同時 DE 為 ABC 的中位線 ,S DEC1S四邊形 ABED3所求一條直線L 的方程為 :x0另一種情況設不垂直于x 軸的直線L 也將 S 分為面積比為1:3 的兩部分 , 設直線 L 方程為 ykx ,它與AC,BC 分別交于F、 G,則k0, S四邊形 DEGF1由由ykx22yx2得點 F 的橫坐標為 : xF102kykx得點 G 的橫坐標為 :64yx6xG104k S四邊形 DEGFS OGES OFD13611121即 16k 22k 5 0224k22k1解得 : k1或k5

26、(舍去 )故這時直線方程為 :y1 x282綜上 ,所求直線方程為 :x0 或 y1 x.12分2() 解法二 :由 f (x)2x22axb及 f ( x) 在 x(0,1) 取得極大值且在 x(1,2) 取得極小值 ,f (0)0b 0xb2f (1)02ab20令 M ( x,即y) ,則a1f (2)04ab80yay1x202 yx20故點 M 所在平面區(qū)域S 為如圖 ABC,x2b4 yx60易得 A(2, 0),B( 2,1) ,C (2,2) ,D (0,1) ,E(0,3), SABC22同時 DE 為 ABC的中位線 ,S DEC1 S四邊形 ABED所求一條直線L 的方程為 : x03另一種情況由于直線BO 方程為 :y1 x , 設直線 BO 與 AC 交于 H ,2y1 x得直線 L與AC 交點為:H( 1,1 )由22yx202 SABC 2,S DEC1121,S ABHS ABOS AOH12 1 12112222222 所求直線方程為 : x 0或 y1 x23、（根的個數問題）已知函數 f(x)ax 3bx 2(c 3a2b)xd (a0) 的圖象如圖所示。（）求 c、d 的值；（）若