數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展- 羅增儒

1、數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展“行動(dòng)成才、崗位成家”的一二三陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 羅增儒 郵編：710062電話13609297766E-mail：我將要與大家交流的話題是“數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展”，采用的方式是“講故事”（故事也就是案例，講故事也就是教學(xué)聊天, 方言亦叫擺龍門陣、侃大山、神吹、嘮嗑（東北）, 片閑傳（陜西），傾計(jì)（廣東）我真誠希望，我們今天的交流，既不辜負(fù)這個(gè)美好的金秋、更不辜負(fù)你們更加金色、美好的未來教師發(fā)展的途徑很多（有的崗位成才、有的行政成官、有的讀學(xué)位成家），崗位成才教師的發(fā)展也會(huì)有自己的個(gè)性化軌跡，切入點(diǎn)各有不同：有的在職業(yè)理想中學(xué)習(xí)；（從小就有當(dāng)教師的理

2、想）有的在教學(xué)實(shí)踐中研究；（在教學(xué)第一線摸爬滾打，勤奮努力）有的在案例分析中前進(jìn)；（不停頓的反思課怎么上、題怎么解）有的在同伴互助中提升；有的在論文寫作中發(fā)展；（愛寫教學(xué)筆記，投稿發(fā)表文章）有的得益于名師的指點(diǎn)；（或提攜）有的由于在某個(gè)公開課上一炮打響；有的在在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、寫作小論文上獲得成功；所有這些，你們都可以根據(jù)自己的實(shí)際加以選擇和借鑒下面，我想說一些基于個(gè)人體驗(yàn)的、“行動(dòng)成才、崗位成家”的建議：一個(gè)機(jī)遇，兩條途徑，三重境界一個(gè)機(jī)遇：課程改革兩條途徑：在“校本教研”中“行動(dòng)成才”，在“教育數(shù)學(xué)”中“崗位成家”提高數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)解題兩個(gè)核心競爭力，占領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)解題兩個(gè)專業(yè)制高點(diǎn)，成

3、為數(shù)學(xué)教育家或教育數(shù)學(xué)家三重境界：第一境界是經(jīng)驗(yàn)型教師（站上講臺(tái)），第二境界是技術(shù)型教師（站穩(wěn)講臺(tái)），第三境界是研究型教師（站好講臺(tái)）1 課程改革的歷史機(jī)遇（建議1）隨著新世紀(jì)課程改革的開展，我國數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化取向、活動(dòng)化取向、個(gè)性化取向正在熱情地展開（體現(xiàn)了人本主義、大眾數(shù)學(xué)、建構(gòu)主義），同時(shí)也面臨許多始料未及、而又缺乏現(xiàn)成解決方案的問題，向我們提出了從理論到實(shí)踐的挑戰(zhàn)、從教學(xué)到數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)，這是教師發(fā)展的歷史機(jī)遇（參見鄭毓信數(shù)學(xué)教育改革十五誡數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，6）需要研究的問題很多比如，一方面對(duì)所有的課程都有“三維目標(biāo)”（知識(shí)與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀），另方面，義務(wù)教育

4、階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)（2011）對(duì)數(shù)學(xué)課程分為總目標(biāo)和學(xué)段目標(biāo)，從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等四個(gè)方面加以闡述（有的學(xué)科還從五個(gè)、六個(gè)方面加以闡述）；此外還有“四基”（通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），它們之間是什么關(guān)系？標(biāo)目容內(nèi)各門課程數(shù)學(xué)課程每學(xué)期數(shù)學(xué)課程每一章數(shù)學(xué)內(nèi)容每一節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容課程或課堂目標(biāo)知識(shí)與技能知識(shí)技能數(shù)學(xué)思考過程與方法問題解決情感、態(tài)度與價(jià)值觀情感態(tài)度過程與方法是否對(duì)應(yīng)“數(shù)學(xué)思考”與“問題解決”？“是”的原因是什么？“不是”的理由又是什么？繼續(xù)展開，可思考的問題就更多了.（下面，

5、先看具體的例子） 1-1 教學(xué)中遇到的一些案例故事1：線面垂直的引進(jìn)在課堂引入時(shí)，有老師創(chuàng)設(shè)如下教學(xué)情境（學(xué)生起立、問好之后） 教師：剛才你們起立時(shí)，身體是怎樣的？ 學(xué)生：是站立的教師：“站立”是什么意思？如果同學(xué)們?cè)诓賵?chǎng)上集合，當(dāng)體育老師喊“立正！”時(shí)，你們應(yīng)該怎么做？ 學(xué)生：站直身子 教師：如何判斷你們的身子是否站直了？ 學(xué)生：與地面垂直 教師：那么怎樣才叫做與地面垂直呢？與地面垂直的意義又是什么呢？ 學(xué)生：教師：請(qǐng)你們先在小組中討論一下，再回答老師好嗎？也可以結(jié)合一些例子說明，譬如體操運(yùn)動(dòng)員在平衡木上怎樣才不會(huì)摔下來；幻燈投影時(shí)，如果要使圖像的大小和形狀都不改變，那么光線與屏幕應(yīng)該是什么

6、關(guān)系等等經(jīng)過一番討論后，教師再引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中熟悉的例子，如旗桿、電線桿、橋墩、樓房的立柱、樹木生長的方向這樣自然而然地得到了直線與平面垂直的概念，學(xué)生便有了數(shù)學(xué)就在身邊的感覺(摘自刊物文章) 評(píng)析：這位老師接著上課起立、自然地創(chuàng)設(shè)“線面垂直”的情景是值得肯定的，但學(xué)生是否獲得了直線與平面垂直的概念呢？是否獲得了直線與平面垂直的判別方法呢？值得考慮另外，立正、運(yùn)動(dòng)員在平衡木上不摔下來、幻燈投影、旗桿、電線桿、橋墩、樓房的立柱、樹木生長的方向等等不加以提煉是數(shù)學(xué)嗎？是學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)嗎？至于重心投影不離支面就不會(huì)摔下來，它與“線面垂直”有關(guān)系嗎？幻燈投影能不改變圖像的大小嗎？我們說，有效的情景應(yīng)

7、該起始于精細(xì)的數(shù)學(xué)認(rèn)知分析，使情境具有數(shù)學(xué)對(duì)象的必要因素和必要形式（這是一個(gè)創(chuàng)作與創(chuàng)造的過程），只注意情景的形式，缺失數(shù)學(xué)及其本質(zhì)（去數(shù)學(xué)化），會(huì)好心辦壞事并且，未加提煉的生活現(xiàn)實(shí)還不是數(shù)學(xué)！生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能給我們提供太多的理性承諾，學(xué)校教育恰恰應(yīng)該著眼于社會(huì)生活中無法獲得、而必須經(jīng)由學(xué)校教育才能獲得的經(jīng)驗(yàn)如何防止“去數(shù)學(xué)化”，既是教學(xué)的挑戰(zhàn)，又是數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)故事2：勾股定理與正弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)（1）勾股定理的設(shè)計(jì)測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊長度，并將各邊的長度填入下表：根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長度之間的關(guān)系評(píng)析：這個(gè)活動(dòng)的設(shè)計(jì)值得商榷，一塊任意的三角板，它的三邊

8、長很可能并非整數(shù)讓學(xué)生猜想三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系，就已經(jīng)不是容易的事，比如，學(xué)生可以由和，猜想（還可能有學(xué)生得出整除；并且，當(dāng)時(shí)有無窮個(gè)直角三角形滿足），更何況要猜想三個(gè)非整數(shù)之間的平方關(guān)系這樣處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的猜想和虛假的探究，在這“盲目”和“虛假”中知識(shí)夾生、變相填鴨和浪費(fèi)時(shí)間（2）正弦定理的設(shè)計(jì)測(cè)量三角形的三邊長度、三個(gè)角度，填表計(jì)算結(jié)果，并作小組交流，會(huì)得出有什么結(jié)論？小組一二三評(píng)析：說四點(diǎn)看法（1）與“勾股定理的設(shè)計(jì)”一樣，這樣處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的猜想和虛假的探究，在這“盲目”和“虛假”中知識(shí)夾生、變相填鴨和浪費(fèi)時(shí)間（2）關(guān)于數(shù)學(xué)探究

9、 “為什么要計(jì)算與的比”缺少交待探究不是把學(xué)生送上公共汽車，美其名曰：學(xué)生自己走到了目的地（3）這種探究沒有反映定理的本質(zhì)正弦定理的一個(gè)本質(zhì)含義是:平面幾何中“大邊對(duì)大角”的精確數(shù)量化，也就是找出“三角形的邊與角的具體關(guān)系”清對(duì)比下面的處理：另一方案：由“大邊對(duì)大角”考慮所學(xué)過的增函數(shù)（1）（2）（3）（4）（5）這是在找三角形的邊與角的具體關(guān)系，是在真探究，但會(huì)不會(huì)太發(fā)散還可以研究.（4）這種探究也沒有反映定理的另一個(gè)本質(zhì)：“三角形”的代數(shù)刻畫（怎樣用代數(shù)式刻畫三角形？）我有一次聽完課后問：“能寫出正弦定理的條件和結(jié)論嗎？能寫出正弦定理的逆命題嗎？能證明正弦定理逆命題的真假嗎？”結(jié)果是：全軍

10、覆沒！逆定理 若為正實(shí)數(shù)，且， ，則對(duì)應(yīng)的線段構(gòu)成一個(gè)三角形，且邊的對(duì)角為，邊的對(duì)角為，邊的對(duì)角為證明：由已知知中最多有一個(gè)不是銳角，因而，以，為兩角夾邊可以作，使，由，得再由正弦定理，有 ，得 ，所以對(duì)應(yīng)的線段構(gòu)成一個(gè)三角形，邊的對(duì)角為，邊的對(duì)角為，邊的對(duì)角為故事3 他們需要什么幫助？（1）化簡他需要什么幫助？這位學(xué)生既懂二倍角公式，又懂點(diǎn)英語這是應(yīng)該肯定的，但存在兩個(gè)混淆：把作為數(shù)學(xué)整體符號(hào)的英文與作為數(shù)學(xué)個(gè)體符號(hào)混為一談了（約掉了分子分母的），把作為數(shù)學(xué)符號(hào)的英文與作為英語單詞的英文混為一談了（2）在一次公開課上，教師講完“負(fù)負(fù)得正”的法則后，有一道題（3）（4）？學(xué)生除得出12外，還有

11、得出15，9，12的教師請(qǐng)這些學(xué)生解釋答案的由來學(xué)生1：在數(shù)軸上，從3出發(fā)，反方向移動(dòng)4次，每次移動(dòng)3格，恰好到15的地方，故得 圖1 學(xué)生2：在數(shù)軸上，從3出發(fā)，反方向移動(dòng)4次，每次移動(dòng)3格，恰好到9的地方，故得圖2 （兩個(gè)學(xué)生說法一樣，但圖示不同，結(jié)果也就不同）學(xué)生3：在數(shù)軸上，從原點(diǎn)出發(fā)，反方向移動(dòng)4次，每次移動(dòng)3格，恰好到12的地方，故得 圖3 他們需要什么幫助？這個(gè)案例以“在數(shù)軸上如何自然地說明負(fù)負(fù)得正規(guī)定的合理性”的方式，又一次把傳統(tǒng)的教學(xué)難點(diǎn)提到了議事日程上來我們認(rèn)為，恐怕首先要在數(shù)學(xué)上搞透徹，然后才能在教學(xué)設(shè)計(jì)上說清楚、講明白（數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)?。┮粋€(gè)顯而易見的問題是：在數(shù)軸上如何顯

12、示與的區(qū)別？1-2 問題涉及的關(guān)系所涉及的關(guān)系主要有：（1）關(guān)注過程和關(guān)注結(jié)果的關(guān)系（過程與結(jié)果，預(yù)設(shè)與生成）沒有過程的結(jié)果是沒有體驗(yàn)、沒有深刻理解的結(jié)果，是事實(shí)的外在灌輸，不追述結(jié)果的過程是缺乏價(jià)值、缺乏意義的過程，是時(shí)間的低效消費(fèi)過程與結(jié)果并重精心預(yù)設(shè)是精彩生成的基礎(chǔ)，精彩生成是教學(xué)觀念、教學(xué)能力和精心預(yù)設(shè)的升華預(yù)設(shè)與生成并重（2）學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師講授的關(guān)系（教師與學(xué)生，講授與探究）在課堂教學(xué)中，教師是主導(dǎo)性主體，其對(duì)象性活動(dòng)指向?qū)W生；學(xué)生是發(fā)展性主體，其對(duì)象性活動(dòng)指向自身發(fā)展，教學(xué)應(yīng)該是在這種師生雙主體的關(guān)系下開展的主體性活動(dòng)（形式主義：必須撤講臺(tái)擺桌子，必須先學(xué)后講，教師講不得超過1

13、0分鐘，）誤解接受學(xué)習(xí)是舊的，探究學(xué)習(xí)是新的，其實(shí)，歷史上是先有探究學(xué)習(xí)后有接受學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)各有優(yōu)勢(shì)與局限性；講授法不是萬能的，沒有講授法是萬萬不能的；應(yīng)該講授與探究結(jié)合（數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只講“學(xué)生自主探究”，卻完全不提“教師的必要指導(dǎo)”） （3）合情推理和演繹推理的關(guān)系（歸納與演繹）數(shù)學(xué)上有兩種類方法，一類是發(fā)現(xiàn)的方法，一類是論證的方法直覺用于發(fā)現(xiàn)（有利于創(chuàng)新但未必可靠），邏輯用于證明（可靠但不利于創(chuàng)新）應(yīng)既教猜想又教論證（4）生活情境和知識(shí)系統(tǒng)性的關(guān)系（生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)體系）生活中只有數(shù)學(xué)的原型和數(shù)學(xué)的應(yīng)用，誰見過數(shù)學(xué)上的“1”、幾何上的“點(diǎn)”？ 缺乏直觀的概念是盲目的，缺乏概念的直

14、觀是空虛的，數(shù)學(xué)教學(xué)既要有“引進(jìn)的情景化”，又要有“提煉的去情景化”（數(shù)學(xué)化）沒有加以“數(shù)學(xué)化”提煉的情境、不恰當(dāng)?shù)那榫呈秦?fù)情境、比理解內(nèi)容還難的情境、形式主義與繁瑣哲學(xué)的情景實(shí)際上都是一種“負(fù)情景”，它既增加教學(xué)夾生的風(fēng)險(xiǎn)，又進(jìn)行了生命的奢侈消費(fèi) （5）改革與繼承的關(guān)系（傳統(tǒng)與創(chuàng)新）用一句話來概括中國數(shù)學(xué)教育的特色，那就是：“在良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上謀求學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展”這里的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”， 其內(nèi)涵就是三大數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力、 邏輯思維能力；這里的“數(shù)學(xué)發(fā)展”是指：提高用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生在德智體各方面的全面發(fā)展與此相應(yīng)的教學(xué)方式，則是貫徹辯證唯物主義精

15、神，進(jìn)行“啟發(fā)式”教學(xué)，關(guān)注課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)本質(zhì)， 倡導(dǎo)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，運(yùn)用“變式”進(jìn)行練習(xí)，加強(qiáng)解題規(guī)律的研究（參見張奠宙關(guān)于中國數(shù)學(xué)教育的特色與國際上相應(yīng)概念的對(duì)照人民教育，2010，2） 如何繼承而又促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展？ 應(yīng)該把教學(xué)的主動(dòng)權(quán)交給教師，有關(guān)部門可以提出指導(dǎo)性意見（如提出四種方式學(xué)習(xí)方式：除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式），具體實(shí)施由教師決定以前，行政決定農(nóng)民怎樣種地，糧食不夠吃，后來，農(nóng)民決定怎樣種地，糧食吃不完課程改革與教師專業(yè)發(fā)展之間存在著良性循環(huán)：一方面，課程改革為教師專業(yè)發(fā)展提供機(jī)會(huì)，并促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展；另一方面，教師的專業(yè)發(fā)展是課

16、程改革的重要支撐，課程改革也因教師活躍的身影和創(chuàng)造的激情而充滿活力課程改革使得中國成為最需要教育家的時(shí)候，也成為最可能產(chǎn)生教育家的時(shí)候2 教學(xué)發(fā)展的兩條途徑2-1 在“校本教研”中“行動(dòng)成才”（建議2）校本教研是一種行動(dòng)研究，行動(dòng)研究是實(shí)踐者在行動(dòng)中為解決自身問題而參與進(jìn)行的研究教師結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際進(jìn)行校本教研，就是一種行動(dòng)研究（1）什么是校本教研？校本教研是教師在教學(xué)過程中以問題為中心開展的研究活動(dòng); 校本教研體現(xiàn)了行動(dòng)研究，并被認(rèn)為是教師專業(yè)發(fā)展的必由之路學(xué)校是校本教研的主陣地；教師是校本教研的主體；教學(xué)問題是校本教研的核心；案例分析是校本教研的具體形式 （2）校本教研的核心要素 實(shí)踐與

17、反思，自我反思：是教師個(gè)人以自己的教學(xué)活動(dòng)為對(duì)象，對(duì)其中的教學(xué)行為、教學(xué)現(xiàn)象和教學(xué)問題進(jìn)行審視、分析、探討、研究，從而最終解決問題并促進(jìn)自身的專業(yè)發(fā)展;自我反思是教師與自我的對(duì)話; 自我反思是校本教研的基礎(chǔ)教學(xué)前反思：運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)對(duì)教學(xué)進(jìn)行“精心設(shè)計(jì)”，提高教學(xué)的預(yù)測(cè)和分析能力教學(xué)中反思：邊教學(xué)、邊反思，具有監(jiān)控性教學(xué)后反思：對(duì)教學(xué)過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象、問題及時(shí)進(jìn)行分析、研究、總結(jié)、提煉，使教學(xué)經(jīng)驗(yàn)理論化交流與合作 交流與合作是指教師之間針對(duì)某些教學(xué)問題進(jìn)行相互切磋，合作研討，彼此分享，共同成長；它是教師與教師之間的對(duì)話；它是校本教研的主要標(biāo)志包括優(yōu)秀教師幫助和指導(dǎo)青年教師 引領(lǐng)與創(chuàng)新 專

18、業(yè)引領(lǐng)是專業(yè)研究人員參與校本教研，在其中發(fā)揮引領(lǐng)作用，使研究不斷發(fā)展（防止蘿卜煮蘿卜還是蘿卜）專業(yè)引領(lǐng)的實(shí)質(zhì)是理論對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)，其中一個(gè)有效的方式是“案例分析”教師要讀書：教育家的書，學(xué)科專業(yè)書：學(xué)習(xí)方法書，心理學(xué)的書，訂閱專業(yè)報(bào)刊等 教學(xué)研究的一些案例故事4：“二分法”生活情景的提煉第1、教學(xué)情況的呈現(xiàn)如所周知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若，則存在，使作為連續(xù)函數(shù)的一個(gè)應(yīng)用，高中新課程介紹了“二分法”求方程的近似解在這個(gè)課題的的教學(xué)中，常常見到教師創(chuàng)設(shè)商品“猜價(jià)格”游戲，每次猜后老師都會(huì)給出“多了”還是“少了”的提示，說高了的往低猜，說低了的往高猜，不斷調(diào)整，逐步接近商品的真正價(jià)格，由此引入“二分

19、法”然后，以求一個(gè)具體方程（如）的近似解為例，經(jīng)歷求近似解的過程，總結(jié)出“二分法”的一般程序但是，學(xué)生學(xué)完這節(jié)課之后，感到“猜價(jià)格”與“二分法”之間，現(xiàn)實(shí)情景與數(shù)學(xué)內(nèi)容是兩張皮比如，除了“一半、一半又一半”類似之外，在“猜價(jià)格”情景里，學(xué)生見不到“連續(xù)函數(shù)”，見不到“區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)”，見不到“函數(shù)零點(diǎn)”，見不到“方程”，見不到“方程的解”等等到底是：“猜價(jià)格”游戲不具有“二分法”的必要因素與必要形式（所以，現(xiàn)實(shí)情景與數(shù)學(xué)內(nèi)容必然是兩張皮），還是教學(xué)沒有組織學(xué)生去建立聯(lián)系，教師沒有發(fā)揮出主導(dǎo)作用？報(bào)刊上存在專家的不同聲音，你是什么意見？（討論發(fā)言）第2、數(shù)學(xué)化的提練“猜價(jià)格”游戲與“二分法

20、”的聯(lián)系，不僅是“一半、一半又一半”類似，下面是一個(gè)數(shù)學(xué)化的提練過程： （1）設(shè)商品的價(jià)格為元，它在元與元之間（），人猜的價(jià)格為元，得連續(xù)函數(shù)，定義域?yàn)椋徊⑶摇叭瞬聦?duì)”對(duì)應(yīng)著方程的根（2）取中點(diǎn)，若猜得高了，表明，則在區(qū)間上再取中點(diǎn)；若猜得低了，表明，則在區(qū)間上再取中點(diǎn)（3）余此類推，區(qū)間長度越來越小，也就是猜的價(jià)格越來越接近真實(shí)價(jià)格，所猜的價(jià)格就是方程根的近似值猜對(duì)時(shí)就是方程的準(zhǔn)確解（4）于是，我們可以用不斷取中點(diǎn)的方法來求方程的近似根“二分法”第3、對(duì)案例分析（校本教研）的啟示（1）如何由“猜價(jià)格游戲”（ 生活化情景）提煉出連續(xù)函數(shù)和它的應(yīng)用二分法？就是一道題下來，設(shè)商品的價(jià)格為元，它在元

21、與元之間，人猜的價(jià)格為元，得連續(xù)函數(shù)，定義域?yàn)?；并且“人猜?duì)”對(duì)應(yīng)著方程的根，就是解了一道數(shù)學(xué)題.學(xué)生在這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)到了二分法，看到連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用，感悟了“函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想”，“近似逼近的數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想”，“特殊與一般的數(shù)學(xué)思想”，“程序化地處理問題的算法思想”等，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的提煉過程，就是在學(xué)習(xí)解題，就是在通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去學(xué)會(huì)思維（不要誤解，上課的前半段講概念、證定理沒有解題，后半段才有解題）（2）我們通過這個(gè)案例和反思，來啟引大家認(rèn)識(shí)案例，關(guān)注案例分析，體會(huì)案例分析的過程，感悟“我要進(jìn)行案例分析，我能進(jìn)行案例分析”的理念，實(shí)際上是在進(jìn)行“案例教學(xué)”（3）以上我們

22、共同經(jīng)歷一個(gè)“案例”，共同進(jìn)行了一次“案例研究”可以從中獲得很多收獲，如，創(chuàng)設(shè)情境問題的一些理論認(rèn)識(shí)：認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)情境可以成為學(xué)生認(rèn)識(shí)抽象數(shù)學(xué)模式的“認(rèn)知基礎(chǔ)” 強(qiáng)調(diào)從具體情景到抽象數(shù)學(xué)模式之間有一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的提煉過程 提出一些注意事項(xiàng)如，創(chuàng)設(shè)的情境應(yīng)具有相應(yīng)數(shù)學(xué)對(duì)象的必要因素與必要形式；要注意情景的局限性等教學(xué)處處有創(chuàng)造的空間我們的認(rèn)識(shí)不要封閉，要廣開思路，面對(duì)教材、專家我們的認(rèn)識(shí)也不要封閉 故事5：“二分法”中數(shù)學(xué)思想的提煉人們認(rèn)為，在“二分法”課題中有豐富的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，近似逼近的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，程序化地處理問題的算法思想等等請(qǐng)研討

23、“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)（研討）到底“二分法”課題中是怎樣“數(shù)形結(jié)合”的？常常只聽到“由數(shù)到形”的描述：把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)（太籠統(tǒng)，學(xué)生掌握不了）其實(shí)，這里既有“由數(shù)到形”、又有“由形到數(shù)”，是一個(gè)雙流向的“數(shù)形結(jié)合”第1、由數(shù)到形的操作化落實(shí)“由數(shù)到形”經(jīng)歷了4個(gè)操作步驟：方程的解方程組的解函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)數(shù)式逐漸演變?yōu)樾蜗螅瑤缀挝对絹碓街?、越來越?（1）方程的解.首先是求一元方程的近似解這是一個(gè)純代數(shù)的問題，一維的、靜態(tài)的（2）方程組的解.令為，問題轉(zhuǎn)化為求二元方程組的解這還是一個(gè)純代數(shù)的問題，保持靜態(tài)特征，但已經(jīng)是二維的了，便于向坐標(biāo)系過度（3）函數(shù)的

24、零點(diǎn).把方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，把方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)值為零這雖然還是一個(gè)純代數(shù)的問題，但已經(jīng)是二維、動(dòng)態(tài)的了函數(shù)的零點(diǎn)雙兼幾何與代數(shù).（4）函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn).通過坐標(biāo)系把函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象，把轉(zhuǎn)化為圖象與軸的交點(diǎn)（零點(diǎn)）這就把數(shù)變成了形，零點(diǎn)在軸上的2與3之間（如圖4）這一過程的基本線索是把方程的解（數(shù)）轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的零點(diǎn)（形）第2、由形到數(shù)的操作化落實(shí)“由形到數(shù)”經(jīng)歷了4個(gè)操作步驟：坐標(biāo)系數(shù)軸表格二分法形象逐漸演變?yōu)閿?shù)式，代數(shù)味越來越重、越來越濃 （1）坐標(biāo)系在二維坐標(biāo)系上可以看到函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)（零點(diǎn)），這個(gè)交點(diǎn)（零點(diǎn)）在軸的2與3之間這是二維坐標(biāo)系的形象（如圖4） （2）數(shù)軸因?yàn)槭钦逸S上的零點(diǎn)，

25、所以考慮一維數(shù)軸上的區(qū)間就夠了，取區(qū)間的中點(diǎn)，用區(qū)間套逐步逼近零點(diǎn)這是一維數(shù)軸上的形象，零點(diǎn)在區(qū)間上被逼近（參見圖4中的軸） 圖4（3）表格，把逼近的形象用數(shù)值反映出來，計(jì)算端點(diǎn)的函數(shù)值，填寫在表格上，區(qū)間兩端點(diǎn)的數(shù)值越來越接近零點(diǎn)這就把一維形象通過表格呈現(xiàn)為“數(shù)”（4）得出“二分法”的一般程序這是一維的純代數(shù)表達(dá)，也是從特殊到一般的歸納這一過程的基本線索是把找函數(shù)零點(diǎn)（形）的方法直觀地提煉為“二分法”程序（數(shù)）學(xué)生在這個(gè)雙流向“數(shù)形結(jié)合”的活動(dòng)中，從特殊到一般提煉出了“二分法”，看到了“函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想”、體驗(yàn)了“近似與逼近的數(shù)學(xué)思想”，積累了“程序化地處理問題的算法思想”沒有行動(dòng)支撐的

26、思想會(huì)是空洞而生硬的，沒有思想指導(dǎo)的行動(dòng)會(huì)是盲目而膚淺的數(shù)學(xué)教學(xué)既要用數(shù)學(xué)思想去指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)，又要用教學(xué)操作去落實(shí)數(shù)學(xué)思想故事6 直線與平面垂直的判定的探究活動(dòng)第1、探究活動(dòng)的呈現(xiàn)講授“直線與平面垂直的判定”時(shí)，有這樣一個(gè)探究活動(dòng)（人民教育出版社A版數(shù)學(xué)（必修2）2-3-1） 如圖5，請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形紙片，我們一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：過的頂點(diǎn)翻折紙片，得到折痕，將翻折后的紙片豎起放置 在桌面上（與桌面接觸） （1）折痕與桌面垂直嗎？ 圖5（2）如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕是邊上的高時(shí)，所在的直線與桌面所在的平面垂直（圖6） 圖6 思考（1），有人說，折痕所在的

27、直線與桌面所在的平面上一條直線垂直，就可以判斷垂直平面你同意他的說法嗎？（一般不行，在的垂面上可以）思考（2），如圖6，由折痕，翻折后垂直關(guān)系不變，即，由此你能得到什么結(jié)論？一般地，我們有下面的判定定理定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直第2、探究活動(dòng)的改進(jìn) 我們說，這個(gè)活動(dòng)有淪為“低效教學(xué)”的危險(xiǎn)，照本宣科的教師會(huì)將學(xué)生的“容易發(fā)現(xiàn)”代替他（她）應(yīng)該發(fā)揮的主導(dǎo)作用有兩個(gè)值得思考的問題：（1）為什么要考慮兩條相交直線？（故事2中“為什么要計(jì)算與的比”）（2）沒有把活動(dòng)結(jié)果與“線面垂直的定義”相對(duì)照為什么圖5的折痕與桌面不垂直？為什么圖6的折痕與桌面垂直？判別的標(biāo)

28、準(zhǔn)只有一個(gè)：線面垂直的定義就是看直線是否與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直 但是，既不作嚴(yán)格的證明，又要有直觀上的說服力，能做到嗎？追求高效課堂的教師給出了有出息的回答方案：垂直于一條直線不行，直線可以轉(zhuǎn)動(dòng)；垂直于兩條平行直線也不行，直線也可以轉(zhuǎn)動(dòng)但垂直于兩條相交直線就不同了，直線一轉(zhuǎn)動(dòng)就不能保持與兩條相交直線都垂直對(duì)圖6，在桌面上放置一面鏡子，看折痕的影子是否與共線，若不共線（對(duì)應(yīng)圖5）則容易找到鏡子上的一條直線與折痕不垂直（比如折痕與倒影所成角的平分線）；若折痕與倒影共線（對(duì)應(yīng)圖6），這時(shí)可以讓圖6右邊的圖形繞旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中可以看到：（1）折痕所在的直線不動(dòng)；（不變性）（2）保持不變；（不變性

29、）（3）可以取遍平面上所有方向的直線；根據(jù)線面垂直的定義，折痕與鏡子上的任意一條直線都垂直旋轉(zhuǎn)過程可以先一圈，明白了，減為半圈，最后不旋轉(zhuǎn)也明白由此可得判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（既不作嚴(yán)格的證明，又要有直觀上的說服力）這體現(xiàn)了結(jié)合教學(xué)進(jìn)行研究行動(dòng)研究（成為數(shù)學(xué)教育家的前景）2-2 在“教育數(shù)學(xué)”中“崗位成家”（建議3）“教育數(shù)學(xué)”是張景中院士首先提出的一個(gè)新概念（數(shù)學(xué)教師，1989年第2期，署名井中），它的任務(wù)是：為了數(shù)學(xué)教育的需要，對(duì)數(shù)學(xué)成果進(jìn)行再創(chuàng)造；承擔(dān)這一任務(wù)的是教育（數(shù)學(xué)家歐幾里得的幾何原本、希爾伯特的幾何基礎(chǔ)、柯西的分析教程、布爾巴基

30、的數(shù)學(xué)原理等都是教育數(shù)學(xué)在中國數(shù)學(xué)的歷史上，優(yōu)質(zhì)小叢書的創(chuàng)作、“初等數(shù)學(xué)”的研究、競賽數(shù)學(xué)與高考數(shù)學(xué)的構(gòu)建等，都是“教育數(shù)學(xué)”的組成部分如果說，面對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難有人用“學(xué)少一些、學(xué)淺一些”來解決的話，那么，“教育數(shù)學(xué)”則著眼于提供“新的結(jié)構(gòu)、新的方法、新的體系”,使學(xué)習(xí)更容易而又更豐富（我國的課程標(biāo)準(zhǔn)好像是:由數(shù)學(xué)教育家發(fā)布，然后由教育數(shù)學(xué)家修訂）進(jìn)行“教育數(shù)學(xué)”的研究可以繼續(xù)搜尋初等數(shù)學(xué)的新結(jié)論，為初等數(shù)學(xué)的理論寶庫增添新的資源；也可以闡發(fā)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供深刻的背景；還可以既作為解題理論提煉的基本素材、又作為解題理論檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)園地這些工作能使解題研究不再是

31、一株只開花不結(jié)果的綠樹當(dāng)前，抓住下面3個(gè)基本方向進(jìn)行“教育數(shù)學(xué)”研究是有益的，既便于開展工作，又能夠出成果（有成為教育數(shù)學(xué)家的前景） （1）從高等數(shù)學(xué)出發(fā)，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)和能力，去高觀點(diǎn)處理初等問題，取得初等問題的高統(tǒng)一，新推廣、深發(fā)展.容易理解：初等數(shù)學(xué)中的好些已知部分，由于采用的觀點(diǎn)高了，方法先進(jìn)了，是會(huì)得到升華的；其中的一些內(nèi)容，也唯有采用高觀點(diǎn)，新方法，才能完成理論上的體系，才能達(dá)到結(jié)構(gòu)上的完整，才能獲得方法論上的統(tǒng)一數(shù)系、函數(shù)等概念和理論，僅限于中學(xué)范圍，只能作比較粗糙的、有點(diǎn)松散的處理；而不等式證明、極值求解、解析幾何的運(yùn)動(dòng)以及更廣泛的解題方法，除非從高等數(shù)學(xué)的思想方法中吸取營

32、養(yǎng)，否則將永遠(yuǎn)是解題者的個(gè)人機(jī)智和因題而異的一招一式，因此，用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)去統(tǒng)一初等數(shù)學(xué)的概念和理論；用高等數(shù)學(xué)的思想方法去總結(jié)初等數(shù)學(xué)的解題規(guī)律；用高等數(shù)學(xué)的能力去推廣初等數(shù)學(xué)的已知結(jié)論和增補(bǔ)初等數(shù)學(xué)的未知空擋等等，都是既有理論水平又有實(shí)際價(jià)值的課題初等數(shù)學(xué)中的一些空擋，也會(huì)由于現(xiàn)代思想的高能量幅射和現(xiàn)代化技術(shù)的高效率開發(fā)而顯現(xiàn)出來如所周知，波利亞以初等數(shù)學(xué)為題材，進(jìn)行解題方法和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的研究，獲得了世界公認(rèn)的成果吳文俊教授研究計(jì)算機(jī)證明平面幾何題，不斷涌出新的定理 （2）從初等數(shù)學(xué)出發(fā)，應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法，去尋找高等問題的初等處理或?qū)嶋H應(yīng)用.應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，高等數(shù)學(xué)的許多基礎(chǔ)部分

33、都植根于初等數(shù)學(xué)，至今，初等數(shù)學(xué)的各種方法、原理、公式，模型還不斷被高等數(shù)學(xué)所吸收、改造、運(yùn)用和發(fā)展另一方面，高等數(shù)學(xué)的許多專題，又是完全可以初等化、通俗化的比如，循環(huán)數(shù)列、函數(shù)方程、母函數(shù)、圖論、組合數(shù)學(xué)等不是已經(jīng)源源涌進(jìn)中學(xué)校園、特別是第二課堂了嗎? （3）對(duì)初等數(shù)學(xué)進(jìn)行橫斷面的綜合研究.截取初等數(shù)學(xué)中的某些橫斷面，并盡可能與其他相關(guān)學(xué)科作交叉，將有可能產(chǎn)生新課題、新領(lǐng)域或新學(xué)科筆者在這方面主要做了三件互有聯(lián)系的工作：進(jìn)行“數(shù)學(xué)解題學(xué)”的建設(shè)這是截取“解題”這一橫斷面，進(jìn)行解題過程的理論分析，主要是從解題活動(dòng)本身提煉理論價(jià)值，探索“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會(huì)解題”的規(guī)律，努力總結(jié)人們發(fā)現(xiàn)解法、

34、找到思路、學(xué)會(huì)解題的思維模式由于理論構(gòu)架的不同，可以有百花齊放的解題觀點(diǎn)，如解題推理論，解題化歸論，解題化簡論，解題信息論，解題系統(tǒng)論，解題差異論，解題坐標(biāo)系等等最重要的是，我們要了解已有的觀點(diǎn)，并形成之際的觀點(diǎn)附：數(shù)學(xué)解題新概念的13個(gè)要點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)學(xué)題、數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)解題教學(xué)作出了初步的界定（特別提示:如何構(gòu)建概念、怎樣發(fā)現(xiàn)和論證定理也是題?。?）認(rèn)為：回答“怎樣解題”“怎樣學(xué)會(huì)解題”的學(xué)說叫做“數(shù)學(xué)解題學(xué)”（“數(shù)學(xué)解題學(xué)”研究的對(duì)象是“解題活動(dòng)”（是從“解題活動(dòng)”本身提煉理論價(jià)值），提出了“數(shù)學(xué)解題學(xué)”建設(shè)工作中的基本矛盾和主要標(biāo)志，給出了支撐解題理論的一批名詞：解題思想、解題觀點(diǎn)、

35、解題目的、解題過程、解題程序、解題方法、解題原則、解題策略、解題分析、解題力量等）（3）認(rèn)為成功解題有四個(gè)基本要素：知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維能力、經(jīng)驗(yàn)題感、情感態(tài)度，從而不成功或失敗的解題也與這些因素缺失有關(guān)，總結(jié)為四類錯(cuò)誤：知識(shí)性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤、策略性錯(cuò)誤、心理性錯(cuò)誤（4）總結(jié)了解題推理論、解題化歸論、解題化簡論、解題信息論、解題系統(tǒng)論、解題差異論、解題坐標(biāo)系等解題觀點(diǎn)認(rèn)為，出現(xiàn)百花齊放的解題觀點(diǎn)是一個(gè)學(xué)說走向成熟的必經(jīng)階段，贊成先了解各種解題觀點(diǎn)并最終形成自己的解題觀點(diǎn) （5）認(rèn)為數(shù)學(xué)家解題是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，教學(xué)解題是師生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程教學(xué)是一種學(xué)術(shù)活動(dòng)，解題教學(xué)中的數(shù)學(xué)題可以是一個(gè)微型的

36、學(xué)術(shù)課題，解答數(shù)學(xué)題應(yīng)該是探索與發(fā)現(xiàn)的研究活動(dòng)，解題不僅僅是熟練和鞏固，它也是獲取數(shù)學(xué)新知識(shí)和數(shù)學(xué)新技能的學(xué)習(xí)過程 （6）認(rèn)為數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題的思維實(shí)質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)去學(xué)數(shù)學(xué)（7）認(rèn)為數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的實(shí)質(zhì)活動(dòng)，解題活動(dòng)的核心價(jià)值是掌握數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)活動(dòng)去學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)（8）認(rèn)為數(shù)學(xué)解題是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)時(shí)不可削弱的基本構(gòu)成，解題測(cè)試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)內(nèi)容去測(cè)試數(shù)學(xué)水平（9）提出了數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)的四種形態(tài)和數(shù)學(xué)教學(xué)的三個(gè)世界數(shù)學(xué)的四種形態(tài)是：數(shù)學(xué)的生成形態(tài)、數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)、數(shù)學(xué)的教育形態(tài)、數(shù)學(xué)的再生成形態(tài)；數(shù)學(xué)教學(xué)的三個(gè)世界是：生活世界、數(shù)

37、學(xué)世界、教學(xué)世界，解放教學(xué)世界、從而解放學(xué)生世界的一個(gè)途徑是：教學(xué)世界與生活世界的融通（10）認(rèn)為解題教學(xué)是解題活動(dòng)的教學(xué)解題活動(dòng)是一種思維活動(dòng)，解題教學(xué)不僅要教解題活動(dòng)的結(jié)果（答案），而且要呈現(xiàn)解題活動(dòng)的必要過程暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動(dòng)沒有過程的結(jié)果是現(xiàn)成事實(shí)的外在灌輸，沒有結(jié)果的過程是學(xué)習(xí)時(shí)間的奢侈消費(fèi)，解題教學(xué)不僅要獲得答案，而且要從獲得答案的過程中學(xué)會(huì)怎樣解題，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，把過程與結(jié)果結(jié)合起來（僅僅滿足于獲得答案意味著理解的死亡）（11）認(rèn)為暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動(dòng)有兩個(gè)關(guān)鍵的過程第一過程是“從沒有思路到獲得初步思路”的認(rèn)知過程，第二過程是對(duì)初步思路反思的元認(rèn)知過程，解題教學(xué)不僅要有第

38、一過程的暴露（已引起重視），而且還要有第二過程的暴露（想知道很多又有很多不知道）（12）認(rèn)為科學(xué)的解題習(xí)慣有四個(gè)步驟：理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思每個(gè)人的完整解題都會(huì)進(jìn)行“看題、想題、寫題、回題”四個(gè)基本操作，并可提煉為科學(xué)解題的四個(gè)步驟，問題是能不能將這個(gè)感性的認(rèn)識(shí)上升到理性的高度（比如：大家都知道解題的首要前提是理解題意（審題），但審題“審什么、怎么審”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道解題的思維核心是思路探求，但探求“探什么、怎么探”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道解題的最終呈現(xiàn)是書寫表達(dá)，但書寫“寫什么、怎么寫”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道學(xué)會(huì)解題的

39、好途徑是回顧反思，但反思“思什么、怎么思”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？）（13）認(rèn)為學(xué)會(huì)解題要經(jīng)歷四個(gè)階段：記憶模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析,而自覺分析通常要經(jīng)歷整體分解與信息交合兩個(gè)階段進(jìn)行“數(shù)學(xué)競賽學(xué)”的建設(shè)這是截取“競賽”橫斷面進(jìn)行綜合研究可以毫不夸張地說，中國初等數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)代繁榮，得益于數(shù)學(xué)競賽的先鋒突破與后盾依托作用如今，作為數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)競賽已經(jīng)形成一個(gè)教育數(shù)學(xué)的新層面，作為教育的數(shù)學(xué)競賽也誕生了一個(gè)數(shù)學(xué)教育的新分支，“數(shù)學(xué)競賽學(xué)”正呼之欲出 （對(duì)于數(shù)學(xué)競賽，我們有這樣的比喻：在一片荒蕪空白的土地上，老一輩數(shù)學(xué)工作者開疆拓土、引水澆肥，終于種起了莊稼，獲得了豐收，同時(shí)也長起了

40、雜草，甚至毒草于是有人叫喊，長雜草、長毒草是由于數(shù)學(xué)工作者種莊稼造成的；也有好心人來清理土地，結(jié)果首先砍掉的不是雜草、毒草，而是莊稼比如，大量的小學(xué)“奧數(shù)”或“奧校”，明明是為“擇?！狈?wù)的“應(yīng)試教育”，明明是為了賺錢的加重負(fù)擔(dān)，明明是與中國數(shù)學(xué)會(huì)、與“數(shù)學(xué)競賽”毫無關(guān)系的“冒牌奧數(shù)”（雜草、毒草），但卻生長至今裘宗滬研究員的近作數(shù)學(xué)奧林匹克我愿意做的事，能幫助我們理解這個(gè)比喻下面是兩個(gè)例子：（1）在敘述完“奧校”停辦、初中聯(lián)賽被取消之后，書中說：“因此，對(duì)競賽的這種所謂限制也跟停辦奧校的政策一樣，把正常的莊稼砍掉，卻不去根除野草，不正規(guī)的競賽反而更容易生存，想來真是不無滑稽”（2）關(guān)于高校招

41、生的介入、“高考保送、加分”，書中說：“其實(shí)數(shù)學(xué)會(huì)從來就沒有贊成過推薦保送的事情”1986年，有關(guān)部門曾表示“給我們100個(gè)保送上大學(xué)的名額”，裘先生說：“我當(dāng)時(shí)就表示我沒有能力出一份考卷保證100個(gè)學(xué)生都是合格保送的，因此拒絕了這件事情”）進(jìn)行“數(shù)學(xué)高考學(xué)”的建設(shè)這是截取“高考”橫斷面，并進(jìn)行數(shù)學(xué)與考試學(xué)相結(jié)合的分析不管人們?cè)趺纯矗呖己蛯?duì)高考的研究已經(jīng)構(gòu)成了一個(gè)具有中國特色的文化現(xiàn)象，它是考試文化的一部分，也是數(shù)學(xué)文化的一部分涉及高考的性質(zhì)、高考的復(fù)習(xí)、高考的解題、高考的命題和高考臨場(chǎng)的技術(shù)等很多方面，有的屬于教育，有的屬于數(shù)學(xué)其中的高考解題正與競賽解題形成“雙龍出?！敝畡?shì)，堪稱中國初等數(shù)

42、學(xué)研究大地上的長江與黃河 此外，如何命題、如何考試、如何進(jìn)行錯(cuò)例分析等都可以展開研究，并形成專門學(xué)問故事7 （2011年高考數(shù)學(xué)山東卷理科第15題）設(shè)函數(shù)，觀察：根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)， （歸納（類比）猜想題）答案：思路1 設(shè)，由已知有（歸納）思路2 （歸納）說明：由數(shù)列的前四項(xiàng)為2，4，8，16，能否得出？不能！如又如圖15，圓周上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，其連線將圓分為兩部分，記為；圓周上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，其兩兩連線將圓分為4部分，記作；圓周上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，其兩兩連線將圓分為8部分，記作；圓周上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，其兩兩連線將圓分為16部分，記作由此，作歸納，圓周上個(gè)點(diǎn)兩兩連線將圓分為部分但，而不是 圖7

43、思路3 用矩陣計(jì)算（邏輯）故事22：某幾何題的三視圖如圖8所示，求則該幾何題的體積（或表面積）講解 由圖8可知，三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為 圖8 表面積為 但是，這個(gè)題目的編擬有兩個(gè)“潛在假設(shè)”： （1）“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形.其實(shí)，對(duì)球面，過點(diǎn)分別作三個(gè)平行于坐標(biāo) 平面的截面，取所截得的第一個(gè)卦限部分（記為幾何體），則由 知幾何體的三視圖形如圖8，但體積不是單位球在第一卦限部分（2）其二，“潛在假設(shè)”三視圖（如圖8所示）均為四分之一全等扇形的幾何體必為單位球在第一卦限部分其實(shí)，曲面 所圍成的幾何體不是單位球，但它“同時(shí)成

44、立”，分別取，都得出單位圓，并且對(duì)任意的，都有；從而，三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體未必為球的一部分故事9：線性規(guī)劃問題的新思路.題目 （2014 年高考數(shù)學(xué)廣東卷（理科）第3題）若變量滿足約束條件 且的最大值和最小值分別為和，則（A）8 （B）7 （C）6 （D）5講解 本題源于課本的練習(xí)（教材第91頁）：求的最大值，使?jié)M足約束條件 新的高考題在保留練習(xí)原型的同時(shí)，增加了兩步運(yùn)算：求最小值，求最大值與最小值的差這可以在“回歸教材”的導(dǎo)向中，防止“死記硬背”，思維強(qiáng)度與教材要求大體持平，解法是現(xiàn)成的解法1 根據(jù)約束條件作出“可行域”如圖9中的陰影，然后平移直線，并觀察在軸上 的截距：當(dāng)通過

45、點(diǎn)時(shí)取到最小值，；當(dāng)通過點(diǎn)時(shí)取到最大值，所以選（C） 圖9 這個(gè)截距解法的基本步驟是：步驟1 （由數(shù)到形的溝通）將“線性約束條件”（代數(shù)不等式組）轉(zhuǎn)化為“可行域”（圖形）；還用到了聯(lián)立方程求邊界角頂點(diǎn)的坐標(biāo)步驟2 （由數(shù)到形的溝通）將“目標(biāo)函數(shù)”（代數(shù)等式）轉(zhuǎn)化為通過可行域的“直線”步驟3 （數(shù)形結(jié)合的尋找）在“可行域”內(nèi)平移“直線”（目標(biāo)函數(shù)），通過直線的“截距”找出“最優(yōu)解”（通常在邊界角頂點(diǎn)達(dá)到）可見，這主要是“數(shù)形結(jié)合”中一個(gè)“由數(shù)到形”的過程，也是一個(gè)“由條件到結(jié)論”的綜合法過程，許多教師的解題教學(xué)大多滿足于這樣一種常規(guī)現(xiàn)狀然而，對(duì)這兩個(gè)基本過程作反思可以導(dǎo)致更多思路的解放（1）反思

46、由數(shù)式到圖形的單向性如所周知，數(shù)形結(jié)合是“由數(shù)到形”與“由形到數(shù)”的雙流向溝通，當(dāng)線性規(guī)劃的截距解法把數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形的同時(shí)，圖形也必定會(huì)同步反饋出相應(yīng)的代數(shù)信息，因而，線性規(guī)劃問題的圖形解法，通常都會(huì)有相對(duì)應(yīng)的代數(shù)解法表現(xiàn)為不等式的放大縮小事實(shí)上，“當(dāng)直線通過點(diǎn)時(shí)取到最小值”就等于告訴我們，取到最小值在不等式的公共端點(diǎn)處取到，把表示為不等式中相應(yīng)代數(shù)式，的線性組合，則的最小值就可以通過不等式的縮小而求得 同樣，“當(dāng)直線通過點(diǎn)時(shí)取到最大值”就等于告訴我們，取到最大值在不等式的公共端點(diǎn)處取到，把表示為不等式中相應(yīng)代數(shù)式，的線性組合，則的最大值就可以通過不等式的放大而求得把幾何信息還原回代數(shù)信息，有

47、代數(shù)解法：解法2 將表示為“約束條件” 中及的相應(yīng)代數(shù)式的線性組合（待定系數(shù)法），有，當(dāng)時(shí)取到最小值，；將表示為“約束條件”中及的相應(yīng)代數(shù)式的線性組合（待定系數(shù)法），有，當(dāng)時(shí)取到最大值，；所以選（C）這個(gè)不等式解法的基本步驟是：步驟1 將“目標(biāo)函數(shù)”表示為“約束條件”中的相應(yīng)代數(shù)式的線性組合（通常用待定系數(shù)法）步驟2 將相應(yīng)不等式放縮為常數(shù)；步驟3 驗(yàn)證常數(shù)可以取到，找出“最優(yōu)解”可見，這個(gè)解法無非是在定義域內(nèi)（代數(shù)不等式組）求二元函數(shù)的值域（當(dāng)然，中學(xué)教材不出現(xiàn)二元函數(shù)），這只不過是代數(shù)題的本義我們認(rèn)為，對(duì)“數(shù)形結(jié)合”只說“由數(shù)到形”會(huì)給學(xué)生造成單流向的誤解，選擇時(shí)機(jī)補(bǔ)上對(duì)應(yīng)的“代數(shù)解法”有

48、助于學(xué)生獲得“數(shù)形結(jié)合”的完整認(rèn)識(shí)、形成優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)值得注意的是，學(xué)生常常會(huì)由約束條件像解方程一樣“解出”的范圍（結(jié)果不惟一，如，），然后計(jì)算的范圍（誤得）這時(shí)，由于不等式的“加減消元”只是一個(gè)必要條件過程，不能保證同時(shí)取到端點(diǎn)值（不能取到），所以，得到的常常只是“估值范圍”而非“取值范圍”（是“必要條件”而非“充要條件”）同時(shí)呈現(xiàn)解法1、解法2，可以幫助學(xué)生認(rèn)清出錯(cuò)的原因、又找到糾錯(cuò)的辦法（2）反思由條件到結(jié)論的單一性如所周知，解題方法既有綜合法（由因索果）又有分析法（執(zhí)果索因），只要有可能，我們都應(yīng)該提供綜合與分析的雙向溝通在線性規(guī)劃問題上，如果我們著眼于“執(zhí)果索因”，那么目標(biāo)函數(shù)就會(huì)向

49、我們呈現(xiàn)兩個(gè)前景：其一是“數(shù)形結(jié)合”的，即把轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，然后在“可行域”上找數(shù)量積的最值（參見解法3）；其二是純代數(shù)的，即把改寫為參數(shù)式（其中滿足），代入的約束條件得關(guān)于的不等式（組），由此可以確定的范圍，進(jìn)而求出的最值（參見解法4）解法3 作向量，記向量的夾角為（），則向量在向量上的投影為由于，所以，求的最值只需計(jì)算動(dòng)向量在定向量上投影的最值根據(jù)約束條件作出可行域如圖10中的陰影，在可行域上旋轉(zhuǎn)動(dòng)向量，可見：當(dāng)位于處時(shí)投影取到最小值， 圖10 ；當(dāng)位于處時(shí)投影取到最大值， 所以選（C） 這個(gè)向量解法的基本步驟是：步驟1 （由數(shù)到形的溝通）將“線性約束條件”（代數(shù)不等式組）轉(zhuǎn)化為“可行

50、域”（圖形）；還用到了聯(lián)立方程求邊界角頂點(diǎn)的坐標(biāo)步驟2 （由數(shù)到形的溝通）將“目標(biāo)函數(shù)”（代數(shù)等式）改寫成“兩向量的數(shù)量積”，再轉(zhuǎn)化為一向量在另一向量上的投影步驟3 （數(shù)形結(jié)合的尋找）在“可行域”內(nèi)找動(dòng)向量在定向量上投影的最值（有正負(fù)），乘以的模得出的最值可見，這個(gè)解法與解法1中“數(shù)形結(jié)合”的基本過程是一樣的，不同在于第2步把直線變?yōu)閿?shù)量積，相當(dāng)于作出了直線的垂直向量，相應(yīng)的，第3步把直線的平移變?yōu)閯?dòng)向量的垂直投影把圖9與圖10合并得圖11，可見，直線平移到，與位于是同一個(gè)位置 圖11解法4 把化為代入約束條件（消去），有 得 由、有， 可解得，計(jì)及得 把代入（或、）分別有，當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，所

51、以選（C）這個(gè)參數(shù)解法的基本步驟是：步驟1 將“目標(biāo)函數(shù)”改寫為參數(shù)式（不惟一），當(dāng)時(shí)，可取當(dāng)時(shí)，可取步驟2 代入“約束條件”（消去）得關(guān)于的不等式步驟3 確定的范圍，進(jìn)而求出的最值 可見，這個(gè)解法與解法2一樣，都是用代數(shù)方法求二元函數(shù)的值域，不同在于解法2用定義域的數(shù)式來整體表示函數(shù)，直接對(duì)二元變量進(jìn)行放縮，而解法4卻把函數(shù)式代入定義域的數(shù)式中去，消元后對(duì)一元變量進(jìn)行放縮（仿佛回到初中求一元一次不等式的范圍），與此相適應(yīng)，解法2用了待定系數(shù)法，解法4用了參數(shù)方程與消元法以上，呈現(xiàn)了線性規(guī)劃問題的四個(gè)思路，它們各有自己的優(yōu)勢(shì)與局限，其中截距解法是最基本的，不等式解法是一點(diǎn)就通的，它與向量解法都

52、可以看成截距解法的“變式練習(xí)”，而參數(shù)解法則更適于放進(jìn)選修層次大家在解題教學(xué)中可以根據(jù)自己的教學(xué)風(fēng)格，既提供知識(shí)的橫向溝通，又根據(jù)學(xué)生的具體實(shí)際而靈活滲透3 教師的教學(xué)發(fā)展3-1 教學(xué)應(yīng)是一種學(xué)術(shù)活動(dòng)（1）學(xué)術(shù)是一種有系統(tǒng)、較專門的學(xué)問，學(xué)術(shù)研究是一種探索未知的創(chuàng)新活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)就是一種有系統(tǒng)、較專門的學(xué)問，怎樣教數(shù)學(xué)、怎樣教得學(xué)生都能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，是充滿挑戰(zhàn)性的課題，是一個(gè)無限廣闊的創(chuàng)新探索空間我們說“應(yīng)是”一種學(xué)術(shù)活動(dòng)，包含著當(dāng)前的大量事實(shí)“還不是”一種學(xué)術(shù)活動(dòng)（存在低層次的簡單重復(fù)），包含著“提升為學(xué)術(shù)活動(dòng)”的渴望與鼓動(dòng)（2）教師專業(yè)化應(yīng)成長研究型教師，意味著教師職業(yè)的本質(zhì)是創(chuàng)造（3）教師的課前準(zhǔn)備是把數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖逃螒B(tài)”的創(chuàng)造過程，是把“形式化”數(shù)學(xué)先“情景化”、然后“去情景化”提煉為“抽象性”數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)化）的一種學(xué)術(shù)活動(dòng)（4）課堂教學(xué)是學(xué)術(shù)研究的實(shí)踐活動(dòng)，既像科學(xué)家進(jìn)入實(shí)驗(yàn)園地，又像藝術(shù)家登上表演舞臺(tái)，教學(xué)是一種創(chuàng)造的藝術(shù)，一種遺憾的藝術(shù) （5）學(xué)生的學(xué)習(xí)是在教師的參與下共同進(jìn)行的數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)，是一種學(xué)術(shù)活動(dòng)（6）改作業(yè)也是一種教學(xué)效果分析、歸因分析、認(rèn)知負(fù)荷分析的一種學(xué)術(shù)活動(dòng)“照亮