名師推薦精版圓錐曲線題型歸類總結(jié)輔導(dǎo)專用

1、 高考圓錐曲線的常見題型典型例題題型一：定義的應(yīng)用例1、動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。例2、方程表示的曲線是 題型二：圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）： 1、 橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。2、 雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；3、 拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。典型例題例1、已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 例2、例 翰k為何值時(shí),方程的曲線：(1)是橢圓;(2)是雙曲線.題型三：圓錐曲線焦點(diǎn)三角形（

2、橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題1、 橢圓焦點(diǎn)三角形面積 ；雙曲線焦點(diǎn)三角形面積2、 常利用第一定義和正弦、余弦定理求解3、 四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用；典型例題例1、 橢圓上一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)的張角，求證：F1PF2的面積為。 例2、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法1、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的值；2、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的范圍；3、注重?cái)?shù)形結(jié)合思想不等式解法;典型例題例1、已知、是雙曲線（）的兩焦點(diǎn)

3、，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 例2、 雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 例3、橢圓：的兩焦點(diǎn)為，橢圓上存在點(diǎn)使. 求橢圓離心率的取值范圍；例4、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 題型五：點(diǎn)、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷1、 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)在橢圓內(nèi) ；點(diǎn)在橢圓上；點(diǎn)在橢圓外;2、直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題：>0相交=0相切 （需要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況）<0相離3、弦長(zhǎng)公

4、式： 4、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：1、 韋達(dá)定理：2、 點(diǎn)差法：（1） 帶點(diǎn)進(jìn)圓錐曲線方程，做差化簡(jiǎn)（2） 得到中點(diǎn)坐標(biāo)比值與直線斜率的等式關(guān)系典型例題例1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點(diǎn)M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例2、已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線L:x+y=1交于A,B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為/2，求橢圓的方程。題型六：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍； 2、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；例1、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等

5、于4，求P的軌跡方程（2） 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例2、如線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為                 (3) 定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；例3、由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，

6、切點(diǎn)分別為A、B，APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為                    例4、點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_ 例5、一動(dòng)圓與兩圓M：和N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為          (4) 代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示

7、，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程:例6、如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。例7、過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是 直線與圓錐曲線的常規(guī)解題方法總結(jié)：一、設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別）二、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?即“設(shè)而不求”）三、聯(lián)立方程組；四、消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代

8、入直線方程反而簡(jiǎn)單）五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： “以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)0”（提醒：需討論K是否存在） “點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0； “等角、角平分、角互補(bǔ)問題” 斜率關(guān)系（或）； “共線問題”（如： 數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如：A、O、B三點(diǎn)共線直線OA與OB斜率相等）； “點(diǎn)、線對(duì)稱問題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系； “弦長(zhǎng)、面積問題”坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問題（提醒：注意兩個(gè)面積公式的合理選擇）；六、化簡(jiǎn)與計(jì)算；七、細(xì)節(jié)問題不忽略：判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線問題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0.直線與圓

9、錐曲線的基本解題思想總結(jié)：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無解；3、證明定值問題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點(diǎn)問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明5、求最值問題時(shí)：將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成

10、，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。典例1、已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知圓過定點(diǎn)，圓心在軌跡上運(yùn)動(dòng)，且圓與軸交于、兩點(diǎn)，設(shè)，求的最大值例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且ODAB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；(2)過D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，

11、且M在D、N之間，設(shè)=，求的取值范圍.例3、設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)。（1）設(shè)橢圓上點(diǎn)到點(diǎn)、距離和等于，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線 ， 的斜率都存在，并記為， ，試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān)，并證明你的結(jié)論。例4、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)例5、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸

12、長(zhǎng)為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且，過P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題：例1、由、解得， 不妨設(shè)， 當(dāng)時(shí)，由得， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，由得， 故當(dāng)時(shí)，的最大值為 例2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4.曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,a=,c=2,b=1.曲線C的方程為+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2, 代入+y

13、2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.=(20k)24×15(1+5k2)0,得k2.由圖可知= 由韋達(dá)定理得將x1=x2代入得兩式相除得 M在D、N中間，1又當(dāng)k不存在時(shí)，顯然= (此時(shí)直線l與y軸重合)綜合得：1/3 1.例3、解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，得2=4, 橢圓C的方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 4分（2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn) 5分把K的坐標(biāo)代入橢圓中得7分線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為 8分（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 設(shè), 在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得 = 故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān).例4、解：（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)，聯(lián)立得，又，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右焦點(diǎn)，即，解得：，且均滿