四邊形知識(shí)點(diǎn)和題型歸納

1、四邊形知識(shí)與題型總結(jié)一.本章知識(shí)要求和結(jié)構(gòu)（1）演變關(guān)系圖:1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、邊梯形的概念，了解它們之間的內(nèi)在關(guān)系.（2）從屬關(guān)系（依據(jù)演變關(guān)系圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關(guān)系圖中，其中每一個(gè)圓代表 一種圖形）2.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法，并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算性角質(zhì)線平行四邊形的四邊形是平行四邊形矩形菱形正方形的平行四邊形是矩形的平行四邊形是菱形的平行四邊形是正方形邊判角定對(duì)角線13.(1)平行四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積如圖 1, Sab

2、cd =bc- ae=cd bf ADBE圖1圖2正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等（3）面積：正方形的面積等于邊長的平方；等于兩條對(duì)角線的乘積的一半（2）同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.如圖2,S ABCD = S BCFE4. 三角形中位線定理定義：叫做三角形中位線（與中線的區(qū)分）；定理：作用:可以證明兩條直線平行；線段的相等或倍分.拓展:三角形共有三條中位線，并且它們將原三角形分割成四個(gè) 的小三角形，其面積和周長分別為原三角形面積和周長的 和一（4）直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線 5. 正方形：（1）對(duì)角線：若正方形的邊長為 a,則對(duì)

3、角線的長為 2a ;周長相等的四邊形中，正方形的面積最大6.梯形的中位線（1）定義:連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線（2）梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半（3）梯形的面積S=2 x（上底+下底）X高=中位線X高7.幾種特殊四邊形的對(duì)角線矩形對(duì)角線交角為60等邊三角形和含30 角直角三角形圖） 菱形有一個(gè)角為60 時(shí)，可得:含30 角的四個(gè)全等直角三角形角形（正方形中可得：四大四小等腰直角三（圖）對(duì)角線互相垂直的梯形梯形平移腰可得：雙垂圖（圖）對(duì)角線互相垂直的等腰等腰直角三角形 順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連

4、結(jié)菱形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 二.典型題型歸納（一）概念題1. Q ABCD中，/A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，則Q ABCD的周長為.（圖）（圖）8.中點(diǎn)四邊形：（頂點(diǎn)為各邊的中點(diǎn)，需討論對(duì)角線 &中位線）（1）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 （2）順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形是(1)則/ EDF=;/yA(2)如圖，若 AE=4 CF=7EB則Q ABCD周長=；2. 在Q ABCD 中，/ C=6G0,DE丄 AB于DE，DF丄 BC于 F. 若AE=3 C

5、F=7請(qǐng)作出對(duì)應(yīng)圖形，并求 Q ABCD周長.（3）順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是3. (1)在平行四邊形 ABC沖，若/ C二/ B+Z D,則/ A= .(2) 已知在 Q ABCD, Z A比Z B小200,則Z C的度數(shù)是(3) 在Q ABCD 中，周長為 100cm AB-BC=20cm 則 AB= , BC= .（4）在Q ABCD中，周長為30cm且：BC=：2,則 AB cm.（5）（2007河北?。┤鐖D，若口ABCD!B EBC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，CFZAB圧 90°，則Z FC. 等腰梯形的兩條對(duì)角線相等D. 等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰

6、的距離相等5. （2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（）A. 組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形B. 有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C. 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形6. （2007甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）A.平行四邊形 B .菱形 C .矩形 D .正方形7. （2007四川眉山）下列命題中的假命題是（）A .一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B .一組鄰邊相等的矩形是正方形C . 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形f4. （2007福建福州）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A.矩形的對(duì)角線互相平分且相等B.對(duì)角線互相垂直的

7、四邊形是菱形DCD. 組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形8. （2007四川成都）下列命題中，真命題是（A.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形E.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形9. （2007浙江嘉興）如圖，在菱形 ABC呼，不一定成立的（）A. QABCD B. ACLBD C.等邊 ABD D.Z CAB=Z CAD（二）圖形的性質(zhì)和判定方法10. 如圖，已知四邊形 ABCD是正方形，分別過 A C兩點(diǎn)作 ，作BML <2于M DNL !：2于N,直線MB ND分別交fi、£ 2于Q P

8、,試判斷四邊形PQM的形狀.12.如圖，在矩形ABCD中E是CD邊上一點(diǎn),AE=AB AB=2AD 求/ EBC的度數(shù)AC11. 如圖，在正方形 ABCD中E、F、G H分別為正方形邊上的點(diǎn)，而且AE=BF=CG=DH求證：四邊形 EFGH為正方形.(三)轉(zhuǎn)化的思想一一將梯形問題通過化歸、分割、拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形問題.如圖所示：13.填空(1)等腰梯形上底長為腰長是，高是，面積是.(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰長 5cm上底長3cm,另一腰與下底 的夾角為30o，則另一腰長為 ，下底長為 .(4) 等腰梯形兩對(duì)角線互相垂直，一條對(duì)角線長為6,則高為,面積為.(5) 已知在梯形 A

9、BCDK AD/BC,若兩底AD BC的長分別為2、8,兩條對(duì)角線BD=6 AC=8則梯形的面積為 .(四)推理論證的進(jìn)一步鞏固14. (2007恩施自治州)如圖，平行四邊形 ABCD勺對(duì)角線AG BD相交 于點(diǎn)0,E、F是直線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF求證：四邊形BFDE 是平行四邊形.3cm腰長為4cm,其中銳角等于60o ,則下底長是 .(2)等腰梯形一個(gè)底角是60o，它的上、下底分別是8和18,則這梯形的四邊形AECF是平行四邊形.17 .求證：正方形的兩條對(duì)角線將之分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.16.平行四邊形ABC沖，點(diǎn)E、F分別在BC AD上，且AF=CE ,求證:ACE15.

10、如圖，在平行四邊形ABCD中, E、F分別是直線AB CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G, CE BF交于點(diǎn)H.求證：四邊形GEHF是平行四邊形19. （2007浙江金華）國家級(jí)歷史文化名城一- 華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫F C6種顏色的花.如果有AB / EF / DC ,BC / GH / AD，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）A. 紅花、綠花種植面積一定相等B. 紫花、橙花種植面積一定相等18.已知點(diǎn)E、F在正方形ABCD勺邊BG CD上，（1）若 BE=CF 如圖 13（1）.求證：AE=BF并且 AE! BF;C.紅花

11、、藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等20. （06鹽城）已知Q ABCD的面積為4,對(duì)角線交于O,21. 若A,B,C三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（）A . 1個(gè) B . 2個(gè) C . 3個(gè) D . 4個(gè)22. 平行四邊形一邊長為10, 條對(duì)角線長為6,則它的另一條對(duì)角線a（2）若E、F分別是BC EF的中點(diǎn)，如圖13（2），求證：GD=AD的取值范圍是（）a<20D.8<a<32A.4<a<16B.4<a<26C. 12<23.平行四邊形中一邊長為10cm,那么兩條對(duì)角線的長度可以是A. 4cm和 6cmB6cm和

12、8cmC. 8cm和 12cmD20cm和 30cm25.如圖已知 ABC,過頂點(diǎn)A作/ B、/ C的平分線的垂線，ADL BD于 D, AEL CE于 E.求證:FC24. （07北京市23）如圖，已知 ABC .（1）請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D, E （ BC的中點(diǎn)除外），連結(jié)AD, AE , 寫出使此圖中只.存.在兩.對(duì).面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形； 請(qǐng)你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明AB AC AD AE .26 .如圖，已知 BD CE是/ ABC的兩條高M(jìn) N分別是BC DE的中點(diǎn).求證：(1) EM=DM(2) MNL DE BANDM27. (1)如

13、圖27(1)，正方形ABCD E、DL分別為BC CD邊上一點(diǎn).若/ EAF=40 .求證：EF=BE+DFE若/ AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持/ EAF=4bA問/CEF的周長是否隨/ AEF位置的變化而變化？(2)如圖27(2)，已知正方形ABCD勺邊長BC CD上各有一點(diǎn)E、F,如果/ CEF的周求/ EAF的度數(shù).C2.E(五)知識(shí)的聯(lián)系與綜合28 .已知Q ABCD 的頂點(diǎn) A B、C 的坐標(biāo)為(-2,3),(-5,-4),(1,-4):則D點(diǎn)坐標(biāo)為29.如圖，已知Q ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于平面直角坐標(biāo)系的D第30題圖原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()題圖、(2

14、,-3)第3230 .如圖，兩平面鏡：-的夾角為入射光線AO平行于一：入射到，那么q ABCD勺周長是，面積是兩次反射后的光線O'B平行于：，則角，等于35.如圖，在矩形ABCD中,過BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線 MN31.已知矩形的對(duì)角線長為13,周長為34,則這個(gè)矩形的面積為 和PQ那么圖中矩形AMK啲面積Si與矩形QCNK勺面積S的大小關(guān)系32. （05,濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，將長方形OABC沿OB對(duì)折，使點(diǎn)A 落在Ai處，已知OA= 3 ,AB=1,則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)是（）是 S匚 2 （填“”“二”或“ <”）A.（莞）B.（知）C.（幕）D.GW)2 2（六）

15、面積的問題：各種四邊形面積的求法和等積變換33.如圖，E為Q ABCD邊CD上一點(diǎn)，Q ABCD的面積為 5,則厶ABE第35題圖的面積為（）A、SB、-S2DEACAb第33題圖第34題圖34 .如圖，在 QABCD中, ADL BD / A=- / ABC 如果 AD=2236.如圖，在 Q ABCD中，點(diǎn)P在BC上, PQ/ BD交CD與 Q 則圖中和 ABP面積相等的三角形有個(gè)，它們分別是：.37 .如圖，E是平行四邊形ABCD勺邊AB延長線上一點(diǎn)，DE交 BC于 F.求證：S .abf 二 S. efcb F c（七）運(yùn)動(dòng)變換的思想在本章中的應(yīng)用.39.（希望杯第9屆初二第二試）已知

16、Q ABCD勺周長為52,自頂點(diǎn)D作DEI AB, DF丄 BG E、F 為垂足，若 DE=5 DF=8 求 BE+BF的值.38 .如圖，點(diǎn)E、F分別在 Q ABCD的邊DG CB上,且 AE=AF DGL AF, BHL AE G H 是垂足.求證：DG=BHAFOE第40題圖F41. (1)如圖 41(1)(2),已知/ ABD,/ BCE,/ ACF是等邊三角形,求證：四邊形ADEF是平行四邊形. 如圖41(3)，已知/ ABC以AB AC為邊分別作等邊三角形/ACF再以AD AF為鄰邊作平行四邊形 形BCE是等邊三角形.ABD,/三角(3)如圖41(4)，已知/ ABD,/ BCE是

17、等邊三角形，A,F是CE EB上一點(diǎn)，且CA=EB求證：四邊形ADFC是平行四邊形.42、(2007浙江臺(tái)州)把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到 正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H (如圖).試問線段HG與線段HBF43、如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n后得到正方形AEFG ,邊EF與CD交于點(diǎn)0 .(1)以圖中已標(biāo)字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段 (正方形的對(duì)角線除外)， 要求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的44 .四邊形ABCDDEF斷是正方形，連接 AE CGG理由;(1)求證：AE=CG(2)若正方形的邊長為2cm，重疊部分(四邊形B(2)觀察圖

18、形，猜想AE與 CG之間的位置關(guān)系第44題圖C并證明你的猜想.AEOD )的面積為 2 cm2，求旋轉(zhuǎn)的角度n3CB第45題圖45. （2007 淄博）已知：如圖，在 ABC中, AB=AQ ADL BC, 垂足為點(diǎn)D,ABC外角/ CAM勺平分線，CEL AN垂足為點(diǎn)E,（1）求證：四邊形ADC為矩形；（2） 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形b46. （05,青島）如圖，在等腰梯形 ABC中, AD/ BC M N分別為ADBC的中點(diǎn)，E、F分別是BM CM勺中點(diǎn).求證： ABM2A DCM;四邊形MEN是什么圖形？請(qǐng)證明你的結(jié)論；若四邊形MENF是正方形，貝卩梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系

19、？并請(qǐng)說明理由.ADC是一個(gè)正方形？并給出證明.47. (2007四川資陽)如圖47(1)，已知P為正方形ABCD勺對(duì)角線AC 上一點(diǎn)(不與A C重合)，PEL BC于點(diǎn)E, PF丄CD于點(diǎn)F.第47題圖1第47題圖2(1) 求證：BF=DP如圖47(2)，若四邊形PECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程 中是否總有BP=DR若是，請(qǐng) 證明之；若不是，請(qǐng)舉出反例;試選取正方形ABC啲兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF勺兩個(gè)頂點(diǎn)連(八) 函數(shù)的思想在本章中的運(yùn)用48、(2007南充改編)等腰梯形 ABCDK AB= 15, AD= 20, / C= 30o. M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn) A、點(diǎn)D開始在AB

20、AD(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng).(1) 設(shè)ND為X,用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫出x的取值范圍.(2) 設(shè)t=10- X,用t表示 AMN勺面積.(3) 求厶AMN勺面積的最大值，并判斷取最大值時(shí) AMN勺形狀.D結(jié)，使得到的兩條線段在旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明之與x之間是否仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系，若滿足，請(qǐng)證明之;若不滿足，寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.49. (2006泰州)將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，C 在 x 軸上，OA=6 OC=10.(1) 如圖1,在OA上取一點(diǎn)丘，將4 EOC沿 EC折疊，使O點(diǎn)落在AB 邊上的D點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 如圖2,在O

21、A、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E'、卩,將4 E OF沿E F 折疊，使O點(diǎn)落在A' B '邊上的D'點(diǎn)，過D'作DG/A ' O交E F 于T點(diǎn)，交OC '于G點(diǎn)，求證：TG=A ' E'.(3) 在(2)的條件下，設(shè)T (x, y),探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式. 并指出變量x的取值范圍.(4) 如圖3,如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅?OA B" O,使00 =10, 0C邊上的高等于6,其他條件均不變，探求：這時(shí)T (x, y)的坐標(biāo)yyy4A'IDE'G F C'(2)TB'

22、x50. （08 通州 22 改編）如圖，在 q ABCD 中，AB=8 cm AD=6 cm / DAB=60，點(diǎn) M是邊AD上一點(diǎn)，且 DM=2 cm點(diǎn)E、F分別是邊 AB BC上的點(diǎn)，EM CD的延長線交于 G, GF交AD于O,設(shè)AE=CF=x試用含x的代數(shù)式表示 CGF的面積；當(dāng)GFL AD時(shí)，求AE的值.（九）翻折問題（特殊四邊形的折疊問題）51. 沿特殊四邊形的對(duì)角線折疊（06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片 ABCD AB=2 / ADB=30，沿對(duì)角線BD折疊（使 ABCffiA EBD落在同一平面內(nèi)），則A E兩點(diǎn)間的距離為第50題圖FAE B(EEFBA第51題圖第52題圖52

23、. 沿特殊四邊形的對(duì)稱軸折疊如圖，已知矩形 ABCD勺邊AB=2 AB BC矩形ABCD勺面積為S,沿矩形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新的矩形，則這個(gè)新矩形對(duì)角線長為53. 使特殊四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)重合折疊（05,山東威海）如圖，梯形紙片ABCD / B=60°, AD/ BC AB=AD=2BC=6將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為AE則CE=.54. 使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊如圖，折疊矩形的一邊 CD使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)F處，已知AB=10cmBC=8cm貝卩EC的長為.55. 使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊（崇文）如圖，在梯形 ABCD中DC/ AB,將梯形對(duì)折，

24、使點(diǎn) D C分別落在AB上的D、C處，折痕為EF,若CD=3cm EF=4cm貝SAD +BC =cm.56. 使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱軸上而折疊（1）如圖，已知EF為正方形ABCD勺對(duì)稱軸，將/ A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)處，則/ DKG二.EAB第54題圖第56題圖第53題圖第57題則/ CBD勺度數(shù)為（）57. 使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱軸上而折疊（2）A.大于90° B. 等于90° C.小于90° D.不能確定如圖，有一塊面積為1的正方形ABCD M N分別為AD BC邊的中點(diǎn),將C點(diǎn)折至MN上，落在點(diǎn)P的位置，折痕為BQ連結(jié)PQ.

25、（1）求MP勺長度；求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于4 .59. 三次不同方式的折疊（03,山西）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步:先把矩形ABCD寸折，折痕為MN如圖；第二步:再把B點(diǎn)疊在折痕MN上，折痕為AE點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',得Rt AB E,如圖；第三步:沿EB'線折疊得折痕EF,如圖.利用展開圖探究：（】） AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論；MNDENA CENBEN(4) 對(duì)于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？并證明之.58. 兩次不同方式的折疊（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊,BG BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上，61. （05棗莊,9分）如圖1,四邊形ABCD是等腰梯形,AB/ DC,由四個(gè)這 樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形.（1）求出梯形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；（2）試探究梯形ABCE四條邊之間存在的等量關(guān)系，并證明之；（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎？圖2（十）動(dòng)手操作實(shí)踐60. （