會議籌備問題數(shù)學建模模板

1、青島科技大學 自動化與電子工程學院 測控技術與儀器131會議籌備問題摘 要本文主要研究會議的籌備問題。一次成功的會議，是以前期充分的籌備為前提的。會議籌備的完善與否，將直接關系著會議的經(jīng)費問題，調(diào)動人員是否方便以及與會代表的滿意程度，因此，會議籌備的優(yōu)化問題具有重要意義。本文對此問題建立了線性擬合，線性規(guī)劃等數(shù)學模型并利用軟件及軟件解決了優(yōu)化問題。首先根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預測與會人數(shù)，通過線性擬合的方法對近幾屆發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)與實際的到會人數(shù)之間利用軟件進行了直線擬合和曲線擬合，并通過線性回歸的方法選取較為準確的預測值，預測出第五屆與會人數(shù)為639人。再由與會人數(shù)和代表有關住房要

2、求預訂賓館的客房，預訂時考慮到經(jīng)濟，方便和代表是否滿意三方面的優(yōu)化，建立了線性規(guī)劃模型，實現(xiàn)了賓館的選擇和客房的分配，利用軟件求解所得結(jié)果見模型求解部分表6。然后對會議室的租借問題進行了求解，同樣建立了線性規(guī)劃模型，得到會議只安排結(jié)果為：選擇2號賓館130人間2個，3號賓館150人間1個，7號賓館140人間2個，200人間1個。由于事先無法知道哪些代表準備參加哪個分組會，所以在向汽車租賃公司租用客車接送代表時，首先明確了在每個旅館入住的代表人數(shù)，又計算出每個旅館需要出行的人數(shù)，再根據(jù)出行代表人數(shù)安排車輛，考慮到經(jīng)濟和方便兩個方面，得出結(jié)果見模型求解中表9所示。最后本文對模型進行了客觀的評價，提

3、出了對模型進行改進的建議，并對模型在其它領域的應用做了推廣。關鍵詞：線性擬合；精度分析；線性規(guī)劃；優(yōu)化分析1. 問題重述某市的一家會議服務公司負責承辦某專業(yè)領域的一屆全國性會議，會議籌備組要為與會代表預訂賓館客房，租借會議室，并租用客車接送代表。由于預計會議規(guī)模龐大，而適于接待這次會議的幾家賓館的客房和會議室數(shù)量均有限，所以只能讓與會代表分散到若干家賓館住宿。為了便于管理，除了盡量滿足代表在價位等方面的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應該盡可能少，并且距離上比較靠近。 籌備組經(jīng)過實地考察，篩選出10家賓館作為備選，它們的名稱用代號至表示，相對位置見附圖，有關客房及會議室的規(guī)格、間數(shù)、價格等數(shù)據(jù)見附表

4、1。根據(jù)這屆會議代表回執(zhí)整理出來的有關住房的信息見附表2。從以往幾屆會議情況看，有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會，同時也有一些與會的代表事先不提交回執(zhí)，相關數(shù)據(jù)見附表3。附表2，3都可以作為預訂賓館客房的參考。需要說明的是，雖然客房房費由與會代表自付，但是如果預訂客房的數(shù)量大于實際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費，而若出現(xiàn)預訂客房數(shù)量不足，則將造成非常被動的局面，引起代表的不滿。會議期間有一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室。由于事先無法知道哪些代表準備參加哪個分組會，籌備組還要向汽車租賃公司租用客車接送代表?，F(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金

5、分別是半天800元、700元和600元。 請你們通過數(shù)學建模方法，從經(jīng)濟、方便、代表滿意等方面，為會議籌備組制定一個預訂賓館客房、租借會議室、租用客車的合理方案。2. 模型假設1) 由于賓館的會議室最大規(guī)模為200人，所以假設分組會議的最大規(guī)模為200人；2) 假設備選賓館及車輛閑置，可供我們?nèi)我膺x擇；3) 假設代表是否滿意只與是否分到符合自己住房要求的房間有關；4) 假設提出住房要求的代表回執(zhí)數(shù)即為發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量；5) 假設預測人數(shù)住房要求情況比例與回執(zhí)中代表住房要求比例相同；6) 假設每個代表參加每個會議的概率為1/6；3. 通用符號說明序號符號符號說明1表示賓館號碼，2表示住房種類：

6、合住1，合住2，合住3，獨住1，獨住2，獨住3，3表示預訂第個賓館的第類住房的數(shù)量4表示第個賓館的第類住房的數(shù)量5表示實際與會代表對類住房的需求總數(shù)量6表示第個賓館的房間總數(shù)7表示租用會議室的總租金8表示預訂賓館的數(shù)量9，表示與會代表實際需求的房間數(shù) 10表示租用第個會議室的租金11表示第個會議室可容納的人數(shù)4.模型的建立與求解4.1問題分析若要從經(jīng)濟、方便、代表滿意幾個方面制定一個合理方案，打算首先預測今年與會人數(shù)，擬建立線性擬合模型，想要根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預測與會人數(shù)進行直線擬合與曲線擬合，求值以后再進行比較，通過軟件求得直線擬合與曲線擬合的方程，得到兩個預測值，準備利用靈

7、敏度分析獲得一個更加精確的預測值；再打算進行住房的安排，擬建立線性規(guī)劃模型，根據(jù)經(jīng)濟原則，兼顧代表回執(zhí)中的住房要求，完成住房安排。同樣打算利用線性規(guī)劃的方法解決會議室租借的問題。在完成客車的租借時，由于事先無法知道哪些代表準備參加哪個分組會，首先想要明確在每個旅館入住的代表人數(shù)，再計算出每個旅館需要出行的人數(shù)，最后在經(jīng)濟和方便的原則下，根據(jù)出行代表人數(shù)安排車輛。4.2模型準備1) 對附表二中所給出信息進行統(tǒng)計可知，第五屆發(fā)來回執(zhí)數(shù)為755。2) 在確定賓館、入住房間及人員數(shù)量時，我們根據(jù)經(jīng)濟、方便、代表滿意的前提，遵循選定賓館數(shù)量最少、.各賓館之間距離最近、代表滿意三個原則，對題目所給的數(shù)據(jù)進

8、行了預處理，見附錄2中表1，表2，表3，表4，表5。通過賓館的位置分布圖可以看出7號賓館的位置與周圍多家賓館相近，交通最為方便，所以，選取了7號賓館為中心尋找其他賓館。3) 在租借會議室時，由于會議期間有一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室，且事先無法知道哪些代表準備參加哪個分組會，所以，如不考慮每組會議的人數(shù)我們可以選擇7號賓館，既可以滿足人數(shù)上的需求，又只在一個賓館，比較方便，而且花費最少。4.3模型建立4.3.1預測今年與會人數(shù)時采用線性擬合模型1) 線性擬合原理1一元線性擬合是指兩個變量、之間的直線因果關系， 其中，表示的第個觀測值，為參數(shù)，為反映

9、統(tǒng)計關系直線的分量，為反映在統(tǒng)計關系直線周圍散布的隨機分量，服從正態(tài)分布。式中，均為未知數(shù)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對和進行統(tǒng)計，tyrsz和的估計值為和，建立一元線性方程： 一般而言，所求的和應能使每個樣本觀測點與擬合直線之間的偏差盡可能小。2) 最小二乘原理1利用最小二乘原理，可以選出一條最能反映與之間關系規(guī)律的直線。令 其中達到最小值，和稱為最小二乘法估計量，根據(jù)微積分中極值的必要條件 殘差代表觀測點對于擬合直線的誤差?？梢宰C明 殘差越小，各觀測值聚焦在擬合直線周圍的緊密程度就越大，說明直線與觀測值的擬合越好。3) 選取擬合程度更好的曲線為了曲線擬合的優(yōu)劣，取四種曲線類型，以便觀測取值不同時，多項式

10、擬合程度的好壞，從而選取一條擬合誤差較小的曲線。擬合優(yōu)度是衡量所配曲線擬合原始數(shù)據(jù)效果好壞的指標，擬合優(yōu)度： 其中，擬合優(yōu)度的取值為，越接近1時所配曲線擬合效果越好，根據(jù)擬合優(yōu)度來選取較為理想的曲線類型。4.3.2線性規(guī)劃模型2(一) 在確定住房安排時，模型建立過程如下：1) 確定目標函數(shù) 為了確定賓館是否被預定，引入0-1變量，確定賓館數(shù)量，即： 其中1代表預訂賓館，0代表不預訂賓館。根據(jù)題意要求，本文將預訂賓館數(shù)量最少作為目標函數(shù)即： 2) 確定約束條件 約束條件一：由于單人間數(shù)量不足，獨住的人可以安排在雙人間，所以雙人間數(shù)量要比實際合住數(shù)量多,因此：所賓館的第類住房數(shù)量之和不小于預訂第類

11、住房的總數(shù)量（=1,2,3分別代表附表中的前三種情況），即： 賓館的第類住房數(shù)量之和不大于預訂第類住房的要求總數(shù)量 （=4,5,6分別代表附表中的后三種情況），即： 約束條件二：預訂賓館的房間數(shù)之和不大于賓館的房間總數(shù)，即： 約束條件三：由于單間數(shù)量不足，為滿足代表們獨住的要求，需使得合住1與獨住1，合住2與獨住2，合住3與獨住3，分別滿足預訂房間的總和不小于與會代表實際需求的房間數(shù)，即： 約束條件四：預訂賓館類房間的數(shù)量不大于該種的房間數(shù)量，即： 其中，為賓館第種房間的數(shù)量。3) 綜上所述建立模型 (二) 在完成會議室的租借問題時，建立模型如下：1) 確定目標函數(shù)為了預測會議室的選址，再次引

12、入0，1-變量，建立以會議室租金為目標函數(shù)的線性規(guī)劃模型。設共有個會議室可以租借，代表0或1，其中0代表不租用會議室，1代表租用會議室。根據(jù)經(jīng)濟性的原則，為了使花費最少，則使目標函數(shù)為：租用會議室租金選定各賓館會議室租金乘以。即 2) 約束條件若一共有間會議室，有組會議，且會議室可容納人數(shù)大于與會代表總?cè)藬?shù)，則 4.4模型求解預測今年與會人數(shù)我們打算根據(jù)今年發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量來預測今年到會的人數(shù)，由于實際到會人數(shù)發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量，故先對以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況進行了整理得到表6如下：表6 以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況第一屆 第二屆 第

13、三屆 第四屆 發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量315356408711發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量89115121213未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量576975104與會人數(shù)283310362602為使預測值盡可能的精確，分別采用直線擬合與曲線擬合的方法求值以后再進行比較。對發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)與實際的到會人數(shù)之間的關系使用軟件進行直線擬合與曲線擬合。由軟件求解得到：1) 直線擬合方程 所以預測第五屆與會人數(shù)為639人。2) 曲線擬合方程 所以預測第五屆與會人數(shù)為647人。為了比較這兩種擬合的優(yōu)劣，利用軟件進行曲線回歸。線性回歸結(jié)果如圖1，圖2所示：圖1圖2二次曲線回歸結(jié)果如圖3，圖4所示：圖3圖4由此可知，對于線性

14、回歸方程，；對于二次曲線回歸方程，。比較兩者值，可以確定二次曲線回歸較為理想，因此，本文考慮二次曲線回歸模型進行研究。所以我們預測第五屆與會人數(shù)為639人。4.4.2確定住房安排目標函數(shù)： 約束條件： 運用進行求解程序及結(jié)果見附錄4。根據(jù)結(jié)果，確定賓館選擇1、2、3、7號，在這4家賓館中，根據(jù)經(jīng)濟的原則，并考慮到代表回執(zhí)中的住房要求，將賓館房間進行了安排，結(jié)果如表7所示：表7 住房的安排賓館代號客房預定房間數(shù)規(guī)格間數(shù)（間）價格（天）（間）普通雙標間50180元50商務雙標間30220元30普通單人間30180元30商務單人間20220元20普通雙標間50140元50商務雙標間35160元23豪

15、華雙標間30180元30豪華雙標間35200元14普通雙標間50150元50商務雙標間24180元24普通單人間27150元27普通雙標間50150元50商務單人間40160元40商務套房（1床）30300元234.4.3租借會議室的安排由于事先無法預知哪些代表準備參加哪個分組會議，我們假設每名代表參加每個分組會議的概率都為，所以639名代表參加每個會議的人數(shù)約為總數(shù)的，每組約107人，為保證會議室人數(shù)足夠，我們選用人數(shù)大于等于110人的會議室，可以使用的會議室有1號3間，記，2號3間，記，3號2間，記，7號3間，記，。目標函數(shù)為： 約束條件為：利用軟件求解，可得租借會議室時，選擇2號賓館13

16、0人間2個，3號賓館150人間1個，7號賓館140人間2個，200人間1個，每半天共花費5600元。4.4.4租用客車的安排根據(jù)住房安排，先將人員如下歸納：由于7號賓館的會議室最多，而且交通比較方便，所以，首先選擇7號賓館作為中心，保證7號賓館人足夠多，方便開會，在雙標間都安排合住的代表，使人數(shù)達到上限163人；其次，不能出現(xiàn)空房，所以，需要保證預定的單人間都有代表入??；在此基礎上，安排剩余的雙標間可以代表合住，也可獨住，2號賓館的會議室有兩間，僅次于7號賓館，所以，在2號賓館也應安排盡量多的代表，同時，考慮代表的滿意程度，兼顧價格的因素，各個賓館不同規(guī)格的房間人數(shù)安排如圖表8所示：表8 各個

17、賓館不同規(guī)格的房間安排的人數(shù)賓館代號客房規(guī)格間數(shù)價格（天）房間數(shù)入住人數(shù)會議室共186人普通雙標間50180元50100未選擇商務雙標間30220元3036普通單人間30180元3030商務單人間20220元2020共167人普通雙標間50140元50100130人室2間商務雙標間35160元2323豪華雙標間30180元3030豪華雙標間35200元1414共127人普通雙標間50150元5052150人室1間商務雙標間24180元2448普通單人間27150元2727共163人普通雙標間50150元50100140人室2間200人室1間商務單人間40160元4040商務套房（1床）3030

18、0元2323租借客車需要根據(jù)每個賓館有多少人出行來決定，但由于事先不知道那些代表想去哪個會議，所以，對于，6個不同的分組會議，我們只能假設每個代表去參加每個會議的概率為1/6，所以，每個會議室的人數(shù)都大約有總?cè)藬?shù)的1/6，可以推斷：1) 1號賓館所有人都要出行，共186，每個會議大約31人，去2號賓館62人，去3號賓館31人，去7號賓館93人。2) 2號賓館共167人，每個會議大約28人（為保證每人都有車，小數(shù)進一位），56人在本賓館開會，約112人出行，去3號賓館28人，去7號賓館84人。3) 3號賓館共127人，每個會議大約22人（為保證每人都有車，小數(shù)進一位），22人在本賓館開會，約11

19、0人出行，去2號賓館約44人，去7號賓館約66人。4) 7號賓館共163人，每個會議大約28人（為保證每人都有車，小數(shù)進一位），84人在本賓館開會，約84人出行，去2號賓館56人，去3賓館28人。 根據(jù)賓館的位置，代表的出行人數(shù)，路線，我們進行了優(yōu)化分析：由于1,2號賓館的位置很近，而且去3號賓館經(jīng)過2號，所以，1號去2號賓館不安排客車；7號賓館代表去3號賓館的客車經(jīng)過2號賓館，所以7號到2號不再安排客車。具體車輛安排如表9所示：表9 具體車輛安排客車接送路線客車類型（座）數(shù)量（輛）1號到3號3311號到2號3321號到7號3332號到3號3312號到7號4523號到2號4513號到7號332

20、7號到3號332綜上所述，可知共需要安排9輛33座客車，5輛45座客車，接送共兩趟，花費元5.模型的評價優(yōu)點：根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預測與會人數(shù)，建立線性擬合模型預測今年與會人數(shù)，得到了直線擬合和曲線擬合兩組方程，通過靈敏度分析得到了一個更加準確的預測值，此模型可以推廣到化學實驗教學數(shù)據(jù)分析，送電線路航測的高程擬合等問題的解決。本文還運用了線性規(guī)劃的數(shù)學模型，通過目標函數(shù)和約束條件的綜合實現(xiàn)優(yōu)化問題。此類模型可以解決人力資源合理分配以實現(xiàn)收益最大等問題。缺點：沒有充分考慮代表的滿意程度，如果建立滿意度模型，反映出與會代表的滿意程度，則使方案更加具體合理。參考文獻1 百度文庫, 線性

21、擬合公式，線性擬合原理， 2015年8月11日。cxx2 王西靜，會議籌備優(yōu)化模型探析，長治學院學報，第27卷，2010年10月。3 司守奎，孫璽菁,線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，數(shù)學建模算法與應用教材，國防工業(yè)出版社，2011年8月。附錄附錄1 問題重述中所涉及到的附表數(shù)據(jù)附表1 10家備選賓館的有關數(shù)據(jù)賓館代號客房會議室規(guī)格間數(shù)價格（天）規(guī)模間數(shù)價格(半天)普通雙標間50180元200人11500元商務雙標間30220元150人21200元普通單人間30180元60人2600元商務單人間20220元普通雙標間50140元130人21000元商務雙標間35160元180人11500元豪華雙標間A301

22、80元45人3300元豪華雙標間B35200元30人3300元普通雙標間50150元200人11200元商務雙標間24180元100人2800元普通單人間27150元150人11000元60人3320元普通雙標間50140元150人2900元商務雙標間45200元50人3300元普通雙標間35140元150人21000元普通雙標間35160元180人11500元豪華雙標間40200元50人3500元普通單人間40160元160人11000元普通雙標間40170元180人11200元商務單人間30180元精品雙人間30220元普通雙標間50150元140人2800元商務單人間40160元60人3

23、300元商務套房（1床）30300元200人11000元普通雙標間40180元160人11000元普通雙標間40160元130人2800元高級單人間45180元普通雙人間30260元160人11300元普通單人間30260元120人2800元豪華雙人間30280元200人11200元豪華單人間30280元經(jīng)濟標準房（2床）55260元180人11500元標準房（2床）45280元140人21000元附表2 本屆會議的代表回執(zhí)中有關住房要求的信息合住1合住2合住3獨住1獨住2獨住3男（人）154104321076841女（人）784817592819說明：表頭第一行中的數(shù)字1、2、3分別指每天每

24、間120160元、161200元、201300元三種不同價格的房間。合住是指要求兩人合住一間。獨住是指可安排單人間，或一人單獨住一個雙人間。附表3 以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況第一屆 第二屆 第三屆 第四屆 發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量315356408711發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量89115121213未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量576975104附錄2數(shù)據(jù)的預處理表1 賓館之間的距離號碼1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號1號015090065060060030050065013002號075050075075045065080014503號02501500150120010001150220

25、4號0125012509501150130019505號060030050065013006號03005003507007號020035010008號015012009號0105010號0表2 回執(zhí)中代表住房要求合住1合住2合住3獨住1獨住2獨住3男0.2040.1380.0420.1420.0900.054女0.1030.0640.0230.0780.0370.025表3 預測與會人數(shù)住房要求合住1合住2合住3獨住1獨住2獨住3男1318927915835女664115502416為防止出現(xiàn)房間少于需求人數(shù)的尷尬，計算結(jié)果的小數(shù)都進一位說明：表頭第一行中的數(shù)字1、2、3分別指每天每間1201

26、60元、161200元、201300元三種不同價格的房間。合住是指要求兩人合住一間。獨住是指可安排單人間，或一人單獨住一個雙人間。表4 房間數(shù)合住1120160合住2161200合住3201300獨住1120160獨住2161200獨住3201300男654413925936女33207502517合計9864201428453由于有些要求合住的人數(shù)為奇數(shù)，在保證代表的滿意度情況下，我們將合住人多的一位轉(zhuǎn)移到獨住的相同價位的房間中。表5 對單雙人間的分類統(tǒng)計結(jié)果價格賓館120 160元161 200元201 300元1號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間00503030202號雙人間單人間雙

27、人間單人間雙人間單人間850650003號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間5027240004號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間500450005號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間7040400006號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間04040303007號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間5040000308號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間4004045009號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間0000606010號雙人間單人間雙人間單人間雙人間單人間00001000附錄3 線性擬合預測實際與會人數(shù)的求解程序直線擬合的程序及結(jié)果如下：x=315,356,408,71

28、1;y=283,310,362,602; p=polyfit(x,y,1)p =0.8096 26.9620曲線擬合的程序及結(jié)果如下：x=315,356,408,711;y=283,310,362,602; p=polyfit(x,y,2)p = -0.0001 0.9345 -2.2607附錄4 運用求解住房安排的程序及結(jié)果程序如下：min =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10;85*x2+50*x3+50*x4+70*x5+50*x7+40*x8>=98; 50*x1+65*x2+24*x3+45*x4+40*x5+40*x6+40*x8>=64; 3

29、0*x1+30*x6+60*x9+100*x10>=20; 85*x2+77*x3+50*x4+70*x5+40*x6+90*x7+40*x8>=240; 80*x1+65*x2+24*x3+45*x4+40*x5+70*x6+85*x8>=148; 50*x1+30*x6+30*x7+120*x9+100*x10>=73;bin(x1);bin(x2);bin(x3);bin(x4);bin(x5);bin(x6);bin(x7);bin(x8);bin(x9);bin(x10);求解結(jié)果如下：Global optimal solution found. Object

30、ive value: 4.000000 Objective bound: 4.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 1.000000 X2 1.000000 1.000000 X3 1.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 1.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000 X9 0.000000 1.000000 X10 0.000000 1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.000000 -1.000000 2 87.00000 0.0000