4-5_證明不等式的基本方法_教案4_（人教A版選修4-5）

1、4-5 證明不等式的基本方法 教案 （人教A版選修4-5）教學(xué)目標(biāo)：1、 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。2、 了解分析法和綜合法的思考過程。教學(xué)重點(diǎn)：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。教學(xué)過程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn)識、學(xué)習(xí)，以便于對比研究兩種思路方法的特點(diǎn)。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，

2、則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。二、典型例題：例1、已知，且不全相等。求證： 分析：用綜合法。例2、設(shè)，求證證法一 分析法要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，即需證成立.而顯然成立. 由此命題得證。證法二 綜合法 注意到，即，由上式即得，從而成立。議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎？例3、已知a，b，m都是正數(shù)，并且求證： （1）證法一 要證（1）

3、，只需證 （2）要證（2），只需證 （3）要證（3），只需證 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二 因?yàn)?是正數(shù)，所以 兩邊同時加上得兩邊同時除以正數(shù)得（1）。例4、證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當(dāng)水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形為，截面積為。所以本題只需證明。證明：設(shè)截面的周長為，則截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明：。為了證明上式成立

4、，只需證明。兩邊同乘以正數(shù)，得：。因此，只需證明。上式顯然成立，所以 。這就證明了：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明：。證法一： 因?yàn)?（2） （3） （4）所以三式相加得 （5）兩邊同時除以2即得（1）。 證法二：所以（1）成立。例6、證明： （1）證明 （1） （2）（3） （4） （5）（5）顯然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正數(shù)，求證并指出等號在什么時候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式 著手。證明： = = 由于都是正數(shù)，所以而，可知 即（等號在時成立）探究：如果將不等式中的分別用來代替，并在兩邊同除以3，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式： ，其中是互不相等的正數(shù)，且.三、課堂小結(jié)：解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上（或減去）一個數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時乘以（或除以）一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。四、課堂練習(xí)：1、已知求證：2、已知求證3、已知求證4、已知求證：（1