221向量加法運算及其幾何意義2

1、 2.2 2.2 平面向量的線性運算平面向量的線性運算 2.2.1 2.2.1 向量加法運算及其幾何意義向量加法運算及其幾何意義 第二章第二章 平面向量平面向量問題提出問題提出1.1.向量、平行向量、相等向量的含義分向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么？別是什么？2.2.用有向線段表示向量，向量的大小和用有向線段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和單方向是如何反映的？什么叫零向量和單位向量？位向量？3.3.兩個實數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了兩個實數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵新的內(nèi)涵. .如果向量僅停留在概念的層如果向量僅停留在概念的層面上，那是沒有多大意義的面上，那是

2、沒有多大意義的. .我們希望我們希望兩個向量也能相加，拓展向量的數(shù)學(xué)意兩個向量也能相加，拓展向量的數(shù)學(xué)意義，提升向量的理論價值，這就需要建義，提升向量的理論價值，這就需要建立相關(guān)的原理和法則立相關(guān)的原理和法則. .探究一：向量加法的幾何運算法則探究一：向量加法的幾何運算法則 思考思考1 1：如圖，某人從點如圖，某人從點A A到點到點B B，再從點，再從點B B按按原方向到點原方向到點C C，則兩次位移的和可用哪個向量，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？表示？由此可得什么結(jié)論？A B CACBCAB思考思考2 2：如圖，某人從點如圖，某人從點A A到點到點B B，再從點，再從點B

3、 B按按反方向到點反方向到點C C，則兩次位移的和可用哪個向，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？量表示？由此可得什么結(jié)論？ACBCABA B C思考思考3 3：如圖，某人從點如圖，某人從點A A到點到點B B，再從點，再從點B B改變方向到點改變方向到點C C，則兩次位移的和可用，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？A BCACBCAB思考思考4 4：上述分析表明，兩個向量可以相加，上述分析表明，兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量并且兩個向量的和還是一個向量. .一般地，一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的求兩個向量和

4、的運算，叫做向量的加法加法. .上上述求兩個向量和的方法，稱為向量加法的述求兩個向量和的方法，稱為向量加法的三三角形法則角形法則. .對于下列兩個向量對于下列兩個向量a與與b，如何用，如何用三角形法則求其和向量？三角形法則求其和向量？aCabABa思考思考5 5：圖圖1 1表示橡皮條在兩個力表示橡皮條在兩個力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向伸長了方向伸長了EOEO；圖；圖2 2表表示橡皮條在一個力示橡皮條在一個力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸長了相同長度方向伸長了相同長度. .從力學(xué)的觀點分從力學(xué)的觀點分析，力析，力F F與與F F1 1、F F2

5、 2之間的關(guān)系如何？之間的關(guān)系如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1FCOAB思考思考6 6：人在河中游泳，人的游速為人在河中游泳，人的游速為 水流速度為水流速度為 ，那么人在水中的實際，那么人在水中的實際速度速度 與與 、 之間的關(guān)系如何？之間的關(guān)系如何？OAuu u rO Cuuu rBOuuu rO Auuu rBOuuu r思考思考7 7：上述求兩個向量和的方法，稱為上述求兩個向量和的方法，稱為向量加法的向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則. .對于下列兩對于下列兩個向量個向量a與與b，如何用平行四邊形法則求，如何用平行四邊形法則求其和向

6、量？其和向量？aBabAaOC思考思考8 8：用三角形法則和平行四邊形法用三角形法則和平行四邊形法則求作兩個向量的和向量，其作圖特點則求作兩個向量的和向量，其作圖特點分別如何？分別如何？三角形法則：首尾相接連端點；三角形法則：首尾相接連端點；平行四邊形法則：起點相同連對角平行四邊形法則：起點相同連對角. .思考思考1 1：零向量零向量0 0與任一向量與任一向量a可以相加嗎？可以相加嗎？ 探究二：向量加法的代數(shù)運算性質(zhì)探究二：向量加法的代數(shù)運算性質(zhì)規(guī)定：規(guī)定：a0=00=0a= =a，思考思考2 2：若向量若向量a與與b為相反向量，則為相反向量，則ab等于什么？反之成立嗎？等于什么？反之成立嗎？

7、思考思考3 3：若向量若向量a與與b同向，則向量同向，則向量ab的的方向如何？若向量方向如何？若向量a與與b反向，則向量反向，則向量ab的方向如何？的方向如何？ a與與b 為相反向量為相反向量 ab=0思考思考4 4：考察下列各圖，考察下列各圖，| |ab| |與與| |a|b| |的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？| |ab|與與| |a|b|的的大小關(guān)系如何？大小關(guān)系如何？ABCabaaabaab| |ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)a與與b同向時取同向時取等號；等號；|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)a與與b反向時取反向時取等號等號.思考思考5 5：實數(shù)的加法運算滿足交換律，即實數(shù)的加

8、法運算滿足交換律，即對任意對任意a a，bRbR，都有，都有a ab=bb=ba.a.那么向那么向量的加法也滿足交換律嗎？如何檢驗？量的加法也滿足交換律嗎？如何檢驗？BabaCAaOab O AA CO C=+=uuu ruuu ruuu rba O BBCO C=+=uuu ruuu ruuu r思考思考6 6：實數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律，實數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律，即對任意即對任意a a，b b，cRcR，都有（，都有（a ab b）c=ac=a（b bc c）. .那么向量的加法也滿足那么向量的加法也滿足結(jié)合律嗎？如何檢驗？結(jié)合律嗎？如何檢驗？a+b+cabCcBAaO（ab）c ()O A

9、A BB CO BB CO C=+=+=uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ra（bc） ()O AABBCO AACO C=+=+=uu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu r思考思考7 7： 等于什么向量？等于什么向量？112231nnO AA AA AAA-+uuu ruuuu ruuuu ruuuuuu rL112231nnnO AA AA AAAA O-+uuu ruuuu ruuuu ruuuuuu ruuurL等于什么向量？等于什么向量？112231nnnO AA AA AAAO A-+=uuu ruuuu ruuuu ruuuuuu r

10、uuurL1122310nnnO AA AA AAAA O-+=uuu ruuuu ruuuu ruuuuuu ruuurrL理論遷移理論遷移 例例 長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運輸過輪渡進(jìn)行運輸. .如圖所示，一艘船從長江如圖所示，一艘船從長江南岸南岸A A點出發(fā)，以點出發(fā)，以5km/h5km/h的速度向垂直于對岸的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.2km/h.（1 1）使用向量表示江水速度、船速以及船）使用向量表示江水速度、船速以及船的實際航行的速度；的實際航行的速度；（2 2）求船實際航行速度的大小與方向）求船實際航行速度的大小與方向. .ADABC小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.向量概念源于物理，位移的合成是向量向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法則的物理模型，力的合成是加法三角形法則的物理模型，力的合成是向量加法平行四邊形法則的物理模型向量加法平行四邊形法則的物理模型. .2.2.任意多個向量可以相加，并可以按任任意多個向量可以相加，并可以按任意次序、組合進(jìn)行意次序、組合進(jìn)行. .若平移這些向量使其若平移這些向量使其首尾相接，則以第一個