平面直角坐標(biāo)系及其應(yīng)用

1、精品平面直角坐標(biāo)系（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解平面直角坐標(biāo)系概念，能正確畫出平面直角坐標(biāo)系2 .能在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)坐標(biāo)確定點(diǎn)，以及由點(diǎn)求出坐標(biāo)，掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的特征3 .由數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系，滲透類比的數(shù)學(xué)思想.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有序數(shù)對(duì)定義：把有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)，叫做有序數(shù)對(duì)，記作（a,b）.要點(diǎn)詮釋：有序，即兩個(gè)數(shù)的位置不能隨意交換，（a,b）與（b,a）順序不同，含義就不同，如電影院的座位是6排7號(hào)，可以寫成（6,7）的形式，而（7,6）則表示7排6號(hào).要點(diǎn)二、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的概念1 .平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平

2、面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向?yàn)檎较?，兩坐?biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)（如圖1）.要點(diǎn)詮釋：平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成的2 .點(diǎn)的坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)(a,b)叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作：P(a,b),如圖2.3-2-,、b"-"”(露bj1-：IIIIIiI-3-2112a3內(nèi)1-一2-圖2要點(diǎn)詮釋：(1)表示點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，約定橫坐標(biāo)寫在前，縱坐標(biāo)寫在后，中間用“，”隔開.(2)點(diǎn)

3、P(a,b)中,同表示點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離;同表示點(diǎn)到x軸的距離.(3)對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都有唯一的一對(duì)有序數(shù)對(duì)(x,y)和它對(duì)應(yīng)，反過來對(duì)于任意一對(duì)有序數(shù)對(duì)，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)是對(duì)應(yīng)的.要點(diǎn)三、坐標(biāo)平面1 .象限建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成如圖所示的I、n、出、W四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖.第象限第一象限感謝下載載-3-2-OIV第西等限III之第三氟限T要點(diǎn)詮釋:（1）坐標(biāo)軸x軸與y軸上的點(diǎn)（包括原點(diǎn)）不屬于任何象限.（2）按方位來說：第一象限在坐標(biāo)平面的右上方，第二象限在左上方

4、，第三象限在左下方,第四象限在右下方.2 .坐標(biāo)平面的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.這六個(gè)區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)（原點(diǎn)）外，其他區(qū)域之間均沒有公共點(diǎn).要點(diǎn)四、點(diǎn)坐標(biāo)的特征1 .各個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律點(diǎn)的位置甯象限第二象限第三象限第四象限工輔1*軸原點(diǎn)橫坐標(biāo)苻號(hào)十+任意數(shù)上00縱坐怵符號(hào)+0任意數(shù)0點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)C+*+)(一十)（一，一）(+*)3。）<0,01要點(diǎn)詮釋：（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)，不在這四個(gè)象限內(nèi)，就在坐標(biāo)軸上（2）坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0

5、.（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況可以判斷點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的大概位置；反之，根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的位置也可以判斷點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)情況.2 .象限的角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)的特征第一、三象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，可表示為（a,a）;第二、四象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可表示為（a,-a）.3 .關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征P（a,b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,-b）；P（a,b）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a,b）;P（a,b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a,-b）4 .平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同;平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同【典型例題】類型一、有序數(shù)

6、對(duì).如果將一張“ 13排10號(hào)”的電影票簡(jiǎn)記為（13,10）,那么（10,13 ）表布的電影票是 排 號(hào)【思路點(diǎn)撥】 在平面上，一個(gè)數(shù)據(jù)不能確定平面上點(diǎn)的位置.須用有序數(shù)對(duì)來表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置.【答案】10,13.【解析】由條件可知：前面的數(shù)表示排數(shù)，后面的數(shù)表示號(hào)數(shù)【總結(jié)升華】在表示時(shí)，先要“約定”順序，一旦順序“約定”,兩個(gè)數(shù)的位置就不能隨意交換，（a, b）與（b, a）順序不同，含義就不同.舉一反三：【變式】某地10:00時(shí)氣溫是6C,表示為（10, 6）,那么（3, -7）表示:【答案】3:00時(shí)該地氣溫是零下 7 C.類型二、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的概念2.如圖，寫出點(diǎn) A、B、

7、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)【思路點(diǎn)撥】要確定點(diǎn)的坐標(biāo)，要先確定點(diǎn)所在的象限，再看點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.【答案與解析】解：由點(diǎn)A向x軸作垂線，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,再由點(diǎn)A向y軸作垂線，得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,3),同理可得點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo).所以，各點(diǎn)的坐標(biāo)：A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2).【總結(jié)升華】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)到x軸的距離是這點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離是這點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.舉一反三：【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)A既在x軸的上方，又在y軸的左邊，且距離x軸，y軸分別為5個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為().A.(5,-4)B,(4

8、,-5)C.(-5,4)D.(-4,5)【答案】D.3.在平面直角坐標(biāo)系中，描出下列各點(diǎn)A(4,3),B(-2,3),C(-4,1),D(2,-2).【答案與解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,3),所以先在x軸上找到坐標(biāo)是4的點(diǎn)M,再在y軸上找到坐標(biāo)是3的點(diǎn)N.然后由點(diǎn)M作x軸的垂線，由點(diǎn)N作y軸的垂線，過兩條垂線的交點(diǎn)就是點(diǎn)A,同理可描出點(diǎn)B、C、D.【總結(jié)升華】對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，都有唯一的一對(duì)有序數(shù)對(duì)和它對(duì)應(yīng)；對(duì)于任意一對(duì)有序數(shù)對(duì)，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是對(duì)應(yīng)的.舉一反三：【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知：A(3,2),B

9、(5,0),則"OB的面積為.【答案】5.類型三、坐標(biāo)平面及點(diǎn)的特征4.指出下列各點(diǎn)所在的象限或坐標(biāo)軸.A(4,5)、B(-2,3)、C(-4,-1)、D(2.5,-2)、E(0,-4)、F(3,0)、G(0,0).【思路點(diǎn)撥】先判斷所求點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的符號(hào)，進(jìn)而判斷所在象限.【答案與解析】解：點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)C在第三象限，點(diǎn)D在第四象限，點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)G在原點(diǎn)上.【總結(jié)升華】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是記住平面直角坐標(biāo)系中各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)，但注意坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限，原點(diǎn)既在x軸上，又在y軸上.舉一反三：【變式1】點(diǎn)A(3,n

10、)在第四象限，至ijx軸的距離為4.則點(diǎn)A的坐標(biāo)為L(zhǎng)【答案】(3,-4).【高清課堂：第一講平面直角坐標(biāo)系1369934練習(xí)3【變式2】若點(diǎn)P(a在第二象限，則：(1)點(diǎn)P1(a,-b)在第象限；(2)點(diǎn)P2(-a在第象限；(3)點(diǎn)P3(-a,-b)在第象限；(4)點(diǎn)P4(b,a)在第象限.【答案】（1）三；（2）；（3）四；（4）四.Os.已知點(diǎn)3，2）與點(diǎn)B在"線上，且點(diǎn)B到x軸的距離等于3,求點(diǎn)B的坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】由“點(diǎn)A（-3,2）與點(diǎn)B（x,y）在同一條平行于y軸的直線上”可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；由“點(diǎn)B到x軸的距離等于3”可得B的縱坐標(biāo)為3或-3,即可確定B的坐標(biāo).【答案與解

11、析】解：如圖,點(diǎn)B與點(diǎn)A在同一條平行于y軸的直線上,點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，x=-3.點(diǎn)B到x軸的距離為3,y=3或y=-3.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-3,3)或(-3,-3).【總結(jié)升華】在點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-3的條件下，點(diǎn)B到x軸的距離等于3,則點(diǎn)B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分類討論，防止漏解.舉一反三：【變式1】若x軸上的點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為().A.(3,0)B.(3,0)或(-3,0)C.(0,3)D.(0,3)或(0,-3)【答案】B.【高清課堂：第一講平面直角坐標(biāo)系1369934 練習(xí)4 (5)】【變式2】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)在第二象限且P到x軸，y軸的

12、距離分別為2,5,則P的坐標(biāo)是l若去掉點(diǎn)P在第二象限這個(gè)條件，那么P的坐標(biāo)是【答案】(-5,2);(5,2),(-5,2),(5,-2),(-5,-2).平面直角坐標(biāo)系(提高)鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】二選擇題1.A.東經(jīng)130°,北緯50B.東經(jīng)130°,北緯60C.東經(jīng)140°,北緯50D.東經(jīng)40°,北緯50°2 .點(diǎn)A(a,-2)在二、四象限的角平分線上，則a的值是(A. 2B . -2C. - D. 1223 .已知點(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別為4和6,且點(diǎn)M在x軸的上方、y軸的左側(cè)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為().A.(4,-6)B.(-4,6)C.(

13、6,-4)D.(-6,4)4 .已知A(a,b)、B(b,a)表示同一個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)一定在().A.第二、四象限的角平分線上B.第一、三象限的角平分線上C.平行于x軸的直線上D.平行于y軸的直線上5 .已知點(diǎn)M(a,b),過M作MHx軸于H,并延長(zhǎng)到N,使NHMH,且N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),則ab().A.0B.1C.1D.56 .(湖北武漢)在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，且規(guī)定，正方形的內(nèi)部不包含邊界上的點(diǎn).長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)部有一個(gè)整點(diǎn),內(nèi)部有9個(gè)整點(diǎn)，則邊長(zhǎng)為8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為().觀察如圖所示的中心在原點(diǎn)，一邊平行于x軸的正方形：邊邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)

14、部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的正方形A.64B.49C.36D.25二、填空題7 .已知點(diǎn)P(2-a,3a2)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為8 .線段AB的長(zhǎng)度為3且平行x軸，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-5),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.9 .如果點(diǎn)A(0,1),B(3,1),點(diǎn)C在y軸上，且ABC的面積是5,則C點(diǎn)坐標(biāo).10 .設(shè)x、y為有理數(shù)，若|x+2y2|+|2x-y+6|=0,則點(diǎn)(x,y)在第象限._1_1_111 .觀察下列有序數(shù)對(duì)：(3,-1)、5,2，7,3、9,4、根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第100個(gè)有序數(shù)對(duì)是L12 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：A(-2,1)、B(-3,-1)

15、,C(-1,-1),且D在x軸上方.順次連接這4個(gè)點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為:13 .已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)M(5,a),N(b,-2).(1)若直線MN/x軸，則a2b;(2)若直線MN/y,軸，則a2b:14 .(臺(tái)州)若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足x+y=xy,則稱點(diǎn)P為“和諧點(diǎn)”，請(qǐng)寫出一個(gè)“和諧點(diǎn)”的坐標(biāo)，如L三、解答題(1)你能表示圖中“象”的位置嗎？(2)寫出“馬”的下一步可以到達(dá)的位置(象棋中“馬”走"日”字或“卬”字)16 .如圖，若B(xi,yi)、C(X2,y2)均為第一象限的點(diǎn)，O、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上.(1)求AOBC的面積(用含xi、X

16、2、yi、y2的代數(shù)式表示)；(2)如圖，若三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四邊形OABC的面積.17 .如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將三角形OAB變換成三角形OAiBi,第二次將三角形OAiBi變換成三角形OA2B2,第三次將三角形OA2B2變換成三角形OA3B3,已知A(1,2),Ai(2,2),A2(4,2),A3(8,2);B(2,0),Bi(4,0),B2(8,0),B3(16,0).f754(i)觀察每次變換前后的三角形有何變化？找出規(guī)律，按此規(guī)律再將三角形OA3B3變換成三角形OA4B4,則A4的坐標(biāo)是LB4的坐標(biāo)是L(2)若按(i)中找到的

17、規(guī)律將三角形OAB進(jìn)彳tn次變換，得到三角形OAnBn,推測(cè)An的坐標(biāo)是LBn的坐標(biāo)是L(3)求出O&4a的面積.【答案與解析】一、選擇題1 .【答案】C.2 .【答案】A;【解析】因?yàn)?a,-2)在二、四象限的角平分線上，所以a+(-2)=0,即a=2.3 .【答案】D;【解析】根據(jù)題意，畫出下圖，由圖可知M(-6,4).y八M8!-I4 )54 .【答案】B;【解析】由題意可得：ab,橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)的點(diǎn)在一三象限的角平分線上.5 .【答案】B；【解析】由題意知：點(diǎn)M(a,b)與點(diǎn)N(-2,-3)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以M(-2,3).6 .【答案】B;【解析】邊長(zhǎng)為奇數(shù)的正方形內(nèi)所含整

18、點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的平方，而邊長(zhǎng)為偶數(shù)的正方形內(nèi)所含整點(diǎn)個(gè)數(shù)與邊長(zhǎng)比此偶數(shù)少1的奇數(shù)的正方形內(nèi)所含整點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.二、填空題7 .【答案】P(1,1)或P(2,-2);【解析】|2a13a2,得a0或a1,分別代入即可.8 .【答案】B(5,-5)或(-1,-5);【解析】Xb235或-1，而yB5.9 .【答案】(0,7)或(0,13);33,人口一口人_一，入一，10-【解析】AB3,由ABC的面積是5,可得ABC的邊AB上的高為一，又點(diǎn)31013、7C在y軸上，所以Xc0,yC1"3或-3.10.【答案】二；【解析】由絕對(duì)值的非負(fù)性，可得x,y的值，從而可得(x,y)所在的象限.11.1201,100n+1n1【解析】橫坐標(biāo)的規(guī)律：（-1）（2n1）,縱坐標(biāo)的規(guī)律：（1）n1.12 .【答案】（0,1）或（-4,1）;【解析】Xd220或-4,yD1.13 .【答案】（1）=-2,W5；（2尸-2,=5;14 .【答案】（2,2）或（0,0）（答案不唯一）.三、解答題15 .【解