二元函數(shù)極值

1、二元函數(shù)極值 無條件極值 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值, 極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點. 定義6.7 設二元函數(shù)z =f (x, y)在(x0,y0)點的某個 鄰域 內有定義,如果對于任意 當 時恒有 成立,則稱 為函數(shù) 的極小值,點 稱為極小值點;如果對于任意 當 時恒有 成立,則稱 為函數(shù) 的極大值,點 稱為極大值點. ),(00yxU),(),(00yxUyx),(),(00yxyx),(),(00yxfyxf),(00yxf),(00yx),(),(00yxUyx),(),(00yxfyxf),(),(00yxyx),(00yxf),(00yx),( yxfz),(00yx1. 極值的概

2、念 無條件極值1. 極值的概念例如:函數(shù)z=x2+y2在點(0,0) 取到了極小值, (0,0) 點為該函數(shù)的極小值點.分析：該方程所表示的圖形？ 首先用平面z=c 來截該圖形,可將z=c 代入方程中得截口為x2+y2=c。當c0時，它是半徑為 的圓，且平面往上平移時圓愈來愈大;當c=0時,有x2+y2=0 即: x=0, y=0,可見這時截口僅是一個點,即原點; 而當c0 時,由于方程x2+y20時， f (x0, y0) 不是極值；當B2-AC0時，且A0時， f (x0, y0) 是極大值；當B2-AC0時， f (x0, y0) 是極小值； 當B2-AC=0時，不能判定 f (x0,

3、y0) 是否為極值，需其他方法判定。),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 無條件極值4. 求二元函數(shù)極值的一般步驟(1)求二元函數(shù)的偏導數(shù),令兩個偏導數(shù)為零,求出駐點;(2)求出二階偏導數(shù),計算B2-AC ;(3)將駐點分別代入 B2-AC 求出值,根據(jù)定理6.3判斷是否為極值點,然后再根據(jù)A在極值點處值的符號確定是極大值點還是極小值點;(4)求出極值點的函數(shù)值即為函數(shù)的極值.再將 點代入得 ,所以 點是極值點,又由于 ,所以 點是極小值點.0272 ACB06) 1 , 1 ( xxf) 1, 1 () 1, 1 () 1, 1 (將 點代入得 ,所以 不是該函

4、數(shù)的極值點.092ACB)0, 0()0, 0( 無條件極值例1：求二元函數(shù) f (x, y) = x3+y3-3xy 的極值.解: yxyxfx33),(2令 0),(, 0),(yxfyxfyx得方程組 解之得: 03303322xyyx11,00yxyxxyyxfy33),(2) 0, 0 () 1, 1 (于是得其駐點為yyxfyxfxyxfyyxyxx6),(, 3),(,6),( 求二階偏導數(shù)得xyyxACB36966322因此 1) 1 , 1 ( f其極小值 無條件極值例2：設某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B,已知其總成本C(萬元)與A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量x (百件)與y (百件)之間具

5、有如下關系:試問A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為多少時可以使得總成本最低?177423),(22 yxyxyxyxC故:當A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為100件和200件時,可使總成本最低.最低成本為5萬元. 解: 42),( yxyxCx 073042yxyx令 得方程組0),(, 0),( yxCyxCyx而 所以3, 1, 2 yyxyxxCCC02) 2 , 1 (052 xxCACB因此(1, 2)為極小值點, 又由于僅有唯一一個極值點,因而它也是最小值點。此時C(1,2)= 5(萬元)73),( yxyxCy解得駐點為（1, 2）6.4.2 條件極值1. 條件極值的概念 在求函數(shù) z = f

6、 (x, y)的極值時,有時其自變量 x, y 會受到另一個方程 g(x, y)=0 的制約, 我們稱這樣的函數(shù)極值為條件極值,其中稱方程 g(x, y)=0 為約束條件. 以上條件極值問題是針對二元函數(shù)定義的。類似的也可以定義三元、四元及更多元的條件極值,且它們的約束條件可以不止一個,但要注意約束條件的個數(shù)須小于自變量的個數(shù).6.4.2 條件極值2. 條件極值的解法 條件極值一般有兩種解法:(1)化為無條件極值法 在條件極值中,可以從約束條件g(x, y)=0中解出變量y (或變量 x),代入目標函數(shù)中,則可將條件極值問題轉化為無條件極值問題,這種方法稱之為化無條件極值法;但條件極值往往很難

7、化為無條件極值. (2)拉格朗日乘數(shù)法直接求條件極值問題的方法 (2)拉格朗日乘數(shù)法解題步驟 構造拉格朗日函數(shù)分別求L(x, y, z) 對x 、y、 的偏導數(shù),令其為零建立方程組(3)判斷(x0,y0)是否為極值點(一般可以根據(jù)實際問題的背景判斷即可).6.4.2 條件極值2. 條件極值的解法 ),(),(),(yxgyxfyxL并解該方程組得(x0, y0)0),(0),(),(0),(),(yxgLyxgyxfLyxgyxfLyyyxxx6.4.2 條件極值22221028311315)(1028321415),(yxxyyxyxyxxyyxyxf求上式的無條件極值，令02083104813yxfxyfyx解之得駐點為)25. 1,75. 0 (又 20),(,8),(,4),( yxfyxfyxfyyxyxx016)20)(4(822 ACB所以 04)25.1,75.0( xxf又所以 是極大值點)25. 1,75. 0 ( 又因為極值點僅有唯一一個,所以它也必然是最大值點,即報紙廣告費投入75萬元,電視廣告費投入125萬元為最佳廣告策略.此時該公司純銷售收入最高. 故根據(jù)該問題的實際意義知,此時將廣告費全部用于電視廣告,可使得該公司獲得最大的純銷售收入.6.4.2 條件極值(2)如果限定廣告費支出為150萬元.則問題轉化為求函數(shù) 在條件 限制下的條件極值問題.2210