21二次根式知識(shí)點(diǎn)典型例題習(xí)題

1、21.1 二次根式知識(shí)點(diǎn)1.二次根式的相關(guān)概念：像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式。因此，一般地，我們把形如 （a0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號(hào)。 二次根式的特點(diǎn)：（1）在形式上含有二次根號(hào) ，表示 a 的算術(shù)平方根。（2）被開方數(shù) a0，即必須是非負(fù)數(shù)。（3）a 可以是數(shù)，也可以是式。（4）既可表示開方運(yùn)算，也可表示運(yùn)算的結(jié)果。2.二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：(1)被開方數(shù)不小于零。 (2)分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。3.二次根式的相關(guān)等式：(a0) 相關(guān)例題1. 二次根式的概念例題一： 下列各式中， 二次根式的個(gè)數(shù)是（）考點(diǎn)： 二次根

2、式的概念 分析： 二次根式的被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)，找到根號(hào)內(nèi)為非負(fù)數(shù)的根式即可解答： 解：3a，有可能是負(fù)數(shù)，-144是負(fù)數(shù)不能作為二次根式的被開方數(shù)，所以二次根式的個(gè)數(shù)是3個(gè)。點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次根式的概念，注意利用一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)變式一:下列各式中，一定是二次根式的有()個(gè)。解：被開方數(shù)a有可能是負(fù)數(shù)，不一定是二次根式； 被開方數(shù)y+z有可能是負(fù)數(shù)，不一定是二次根式； 被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，所以一定是二次根式； 被開方數(shù)一定是正數(shù)，所以一定是二次根式； 被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，所以一定是二次根式；

3、 被開方數(shù)有可能是負(fù)數(shù)，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有3個(gè)，故選C 點(diǎn)評(píng)： 用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；一個(gè)數(shù)的偶次冪一定是非負(fù)數(shù)，加上一個(gè)正數(shù)后一定是正數(shù)2. 二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù) 例題二：函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是 _   考點(diǎn)： 函數(shù)自變量的取值范圍；分式有意義的條件；二次根式有意義的條件 分析： 根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解 解答： 解：依題意，得x30，

4、0;解得x3 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)變式二：若式子有意義，則x的取值范圍是_    考點(diǎn)： 二次根式有意義的條件；分式有意義的條件 分析： 根據(jù)二次根式及分式有意義的條件解答即可 解答： 解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知：x+10，即x1， 又因?yàn)榉质降姆帜覆荒転?， 所以x的取

5、值范圍是x1且x0 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)： 概念：式子（a0）叫二次根式； 性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義； 當(dāng)分母中含字母時(shí)，還要考慮分母不等于零3. 二次根式的相關(guān)等式例題三：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，則下列等式一定成立的是（  ）   A  B  C  D 考點(diǎn)： 二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn) 專題： 計(jì)算題 分析： 根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)、算術(shù)平方根等概念

6、分別判斷 解答： 解：A、a為負(fù)數(shù)時(shí)，沒(méi)有意義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、a為正數(shù)時(shí)不成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 D、故本選項(xiàng)正確 故選D 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)與性質(zhì)，正確理解二次根式有意義的條件、算術(shù)平方根的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)是解答問(wèn)題的關(guān)鍵練習(xí)題 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、2、當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？3、當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？4、下列式子中，是二次根式的是（ ） A- B C Dx 5下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D

7、 6已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長(zhǎng)是（ ） A5 B C D以上皆不對(duì) 7形如_的式子叫做二次根式 8面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為_9負(fù)數(shù)_平方根 10、計(jì)算1（）2（x0） 2（）2 3（）2 4（）2課后作業(yè) 1某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問(wèn)底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？2當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？3若+有意義，則=_ 4.使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè) A0 B1 C2 D無(wú)數(shù) 5. 已知a、b為實(shí)數(shù)，且+2=b+4，求a、b的值6、計(jì)算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 練習(xí)題與課后

8、作業(yè)答案練習(xí)題1、 解：二次根式有：、（x>0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、2、 解：由3x-10，得：x， 當(dāng)x時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義3、 解：依題意，得 由得：x- 由得：x-1 當(dāng)x-且x-1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義4A 5D 6B 7（a0） 8 9沒(méi)有10、解：（1）因?yàn)閤0，所以x+1>0 （）2=x+1 （2）a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又（2x-3）204x2-12x+90，

9、（）2=4x2-12x+9作業(yè)題1設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則0.2x2=1，解答：x= 2依題意得：，當(dāng)x>-且x0時(shí)，x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義3. 4B 5a=5，b=-46、（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=×6= （4）（-3）2=9×=6 (5)-621.2二次根式的乘除法知識(shí)點(diǎn)1. 二次根式的乘法 2. 二次根式的除法有兩種常用方法：（1） 利用公式： （2）把除法先寫成分式的形式，再進(jìn)行分母有理化運(yùn)算。3. 化簡(jiǎn)二次根式的步驟：（1）將被開方數(shù)盡可能分解成幾個(gè)平方數(shù)。（2）應(yīng)用（3）將平方式（或平方數(shù)）應(yīng)用 把這個(gè)因式（或因數(shù)）開出來(lái)，將二次根

10、式化簡(jiǎn)。相關(guān)例題二次根式的乘法及其化簡(jiǎn)例4計(jì)算 （1）× （2）× （3）× （4）× 分析：直接利用·（a0，b0）計(jì)算即可 解：（1）×=（2）×=（3）×=9（4）×= 變式四 化簡(jiǎn)（1） （2） （3）（4） （5） 分析：利用=·（a0，b0）直接化簡(jiǎn)即可 解：（1）=×=3×4=12 （2）=×=4×9=36 （3）=×=9×10=90 （4）=×=××=3xy （5）=×=3二次函數(shù)

11、的除法及其化簡(jiǎn)例題五 計(jì)算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小題利用=（a0，b>0）便可直接得出答案解：（1）=2 （2）=×=2（3）=2（4）=2變式五 化簡(jiǎn)： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b>0）就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）=練習(xí)題 1計(jì)算的結(jié)果是（ ） A B C D2閱讀下列運(yùn)算過(guò)程：， 3分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_. 4已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_5. 已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值6. 觀察下列各式，通過(guò)分母有理數(shù)，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化

12、成最簡(jiǎn)二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算 （+）（+1）的值 答案 1A 2C3(1) ;(2) ;(3) 45.分析：式子=，只有a0，b>0時(shí)才能成立因此得到9-x0且x-6>0，即6<x9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8 解：由題意得，即 6<x9 x為偶數(shù) x=8 原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）=當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=66. 分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的 解：原式=（-1+-+-+-）×（+1） =（-1）（+1） =2002-1=

13、2001課后作業(yè) 1化簡(jiǎn)=_（x0） 2a化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_3.已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值 4有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比為：1，現(xiàn)用直徑為3cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？ 5計(jì)算 （1）·（-）÷（m>0，n>0） （2）-3÷（）× （a>0）6已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：-a，閱讀下面的解答過(guò)程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程： 解：-a=a-a·=（a-1） 7若x、y為實(shí)數(shù)，且y=，求的值答案 1x 2- 3.分析：式子=，只有a0，

14、b>0時(shí)才能成立因此得到9-x0且x-6>0，即6<x9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8 解：由題意得，即 6<x9 x為偶數(shù) x=8 原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）= 當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=6 4設(shè)：矩形房梁的寬為x（cm），則長(zhǎng)為xcm，依題意，得：（x）2+x2=（3）2，4x2=9×15，x=（cm），x·x=x2=（cm2）5（1）原式-÷=-=-=- （2）原式=-2=-2=-a6不正確，正確解答：因?yàn)?，所以a<0，原式-a·=·-a·=-a+=(1-a) 7 x-4=0，x=

15、77;2，但x+20，x=2，y= .21.3二次根式的加減法知識(shí)點(diǎn)1. 同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。2. 二次根式加減運(yùn)算的步驟： (一化，二找，三合并 ) （1）將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式。（2） 找出其中的同類二次根式。（3）合并同類二次根式。 3. 二次根式的混合運(yùn)算：原來(lái)學(xué)習(xí)的運(yùn)算律（結(jié)合律、交換律、分配律）仍然適用。 相關(guān)例題同類二次根式例題七 計(jì)算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并 解：（1）+=2+

16、3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12變式七 已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當(dāng)x=，y=3時(shí)， 原式=×+6=+3注意 （1）不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)

17、二次根式；（2）相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并二次根式的加減計(jì)算: 例題八 （1）（+）× （2）（4-3）÷2 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律 解：（1）（+）×=×+× =+=3+2 解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-變式八 已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b0，化簡(jiǎn)+，并求值 分析：由于（+）（-）=1，因此對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可先將分母有理化，再通過(guò)解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡(jiǎn)得結(jié)果即可解：原式=+=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4

18、x+2 =2 - b（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b2=2ab-ax+ （a+b）x=+2ab+ （a+b）x= a+b0 x=a+b原式=4x+2=4（a+b）+2二次根式的混合運(yùn)算例題九 下列運(yùn)算正確的是（）AB CD考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)二次根式運(yùn)算的法則，分別計(jì)算得出各答案的值，即可得出正確答案解答：解：A5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B443，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C÷3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D×6，故此選項(xiàng)正確故選：D點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練化簡(jiǎn)二次根式后，在加減的過(guò)程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時(shí)候，被開方數(shù)簡(jiǎn)單的直接讓被

19、開方數(shù)相乘，再化簡(jiǎn)；較大的也可先化簡(jiǎn)，再相乘，靈活對(duì)待，變式九 計(jì)算：考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算；分式的混合運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪分析：（1）各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)根式、去絕對(duì)值號(hào)、去括號(hào)，然后進(jìn)行四則混合運(yùn)算即可；解答：（1）解：原式=點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二次根式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵在于首先對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后在進(jìn)行運(yùn)算練習(xí)題1. 下列根式中，與是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面說(shuō)法正確的是（ ） A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式 B. 與是同類二次根式 C. 與不是同類二次根式 D. 同類二次根式是根指數(shù)為2的根式3. 一個(gè)三角形的三邊

20、長(zhǎng)分別為，則它的周長(zhǎng)是 cm。4. 已知，則。5. 計(jì)算：. . . . 答案 1.B 2.A3. ； 4. 10；5. ；課后作業(yè)4. 下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，則的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ） A. B. C. 1 D. 317. 計(jì)算及化簡(jiǎn)：. . . . 18. 已知：，求的值。答案 1.C 2.C 3.C 4.C 5. ；6. 5； 二次根式單元練習(xí)題一、選擇題1使有意義的的取值范圍是（ ）2一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平

21、方根為，則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為（ ）（A）（B）（C）（D）3若，則等于（ ）（A）0 （B） （C） （D）0或4若，則化簡(jiǎn)得（ ）（A） （B） （C） （D）5若，則的結(jié)果為（ ）（A） （B） （C） （D）6已知是實(shí)數(shù)，且，則與的大小關(guān)系是（ ）（A） （B） （C） （D）7已知下列命題：； ； 其中正確的有（ ）（A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)8若與化成最簡(jiǎn)二次根式后的被開方數(shù)相同，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）9當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)等于（ ）（A）2 （B） （C） （D）010化簡(jiǎn)得（ ）（A）2 （B） （C） （D）二、填空題11若

22、的平方根是，則12當(dāng)時(shí)，式子有意義13已知：最簡(jiǎn)二次根式與的被開方數(shù)相同，則14若是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則，15已知，且，則滿足上式的整數(shù)對(duì)有_16若，則17若，且成立的條件是_ 18若，則等于_ 三、解答題1 9計(jì)算下列各題：（1）； （2）20已知，求的值 21已知是實(shí)數(shù)，且，求的值.22若與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值.23若滿足，求的最大值和最小值.參考答案與試題解析一、選擇題（共9小題）解：A、=，計(jì)算正確；B、+，不能合并，原題計(jì)算錯(cuò)誤；C、÷=2，計(jì)算正確；D、=2，計(jì)算正確故選：B2.解：若腰長(zhǎng)為2，則有2×25，故此情況不合題意，舍去；若腰長(zhǎng)為5，則三角形的周長(zhǎng)=2×5+2=10+2故選：B3.解：x+y=2a，xy=a（a1），x，y均為負(fù)數(shù)，0，=2故選：D解：ab0，a+b0，a0，b0=，被開方數(shù)應(yīng)0a，b不能做被開方數(shù)，（故錯(cuò)誤）