§ 7. 3 極小值原理_第1頁
§ 7. 3 極小值原理_第2頁
§ 7. 3 極小值原理_第3頁
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文檔簡介

1、§ 7. 3 極小值原理極小值原理是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家龐特里亞金首提.是變分法的延伸和推廣,亦稱極大值原理是解決控制和狀態(tài)受約束最優(yōu)控制問題的有力工具.極小值原理的一種表述及其應(yīng)用(不證)1. 極小值原理定理7.3 設(shè)，指標(biāo)，約束， Hamilton函數(shù)，則是最優(yōu)控制的必要條件是:和相應(yīng)的, 滿足系統(tǒng)方程，； (7.16)伴隨方程，； (7.17)極值條件，；(7.18)邊界條件，。 (7.19)對(duì)(7.12)(7.15)，改變的只是極值條件和邊界條件。說明：1) 只有才能使Hamilton函數(shù)為全局最小(故名)若無控制約束, 則有.2)邊值條件自然含à確定狀態(tài)和伴隨向量.3)非

2、充要條件。對(duì)線性系統(tǒng)，條件是充要的。4)解題步驟類似§2中用變分法<1> 作Hamilton函數(shù)à極值條件à待定u(t)；<2> 若伴隨方程中無，則求出；<3> 若待定最優(yōu)控制中不含à即已求得；(否則就要解規(guī)范方程組)，<4> 求出(若要計(jì)算)。2. 自由終端狀態(tài)的最優(yōu)控制舉例例 7.5 求狀態(tài)方程為，指標(biāo)為，控制約束為，的最優(yōu)控制。解 <1> 這里。作Hamilton函數(shù)，待定，記 ，<2> 由，得，<3> 由，知，<4> 代入系統(tǒng)，由解得。指標(biāo)最小值.例7.6 設(shè)約束，求 使。解 <1> 同例7.5，。作Hamilton函數(shù)，由，得待定最優(yōu)控制為。<2> 由，得，注: 有一個(gè)切換時(shí)間.如圖7.4中(a)，<3> 由<2>, 最優(yōu)控制為，<4> 最優(yōu)狀態(tài)解，如圖7.4中(c) ，最后分段積分，得指標(biāo)最小值。例7.7 設(shè)，終端時(shí)間，性能指標(biāo)，控制約束，試求最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線。解 指標(biāo)調(diào)整為，則有，。<1> 由Hamilton函數(shù)得，<2> ，。令，則，所以，在伴隨方程兩邊乘, ，即，在上求積分，得，所以，其中，<3&

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