高等數學（下冊）知識點

1、 .wd.高等數學下冊知識點第八章 空間解析幾何與向量代數（一） 向量及其線性運算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、 線性運算：加減法、數乘；3、 空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；4、 利用坐標做向量的運算：設，那么 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 兩點間的距離公式：3） 方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角4） 方向余弦：5） 投影：，其中為向量與的夾角。（二） 數量積，向量積1、 數量積：122、 向量積：大?。?，方向：符合右手規(guī)那么12運算律：反交換律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、

2、 旋轉曲面：旋轉前方程如何寫面上曲線，繞軸旋轉一周：繞軸旋轉一周：3、 柱面：特點表示母線平行于軸，準線為的柱面4、 二次曲面會畫簡圖1） 橢圓錐面：2） 橢球面：旋轉橢球面：3） *單葉雙曲面：4） *雙葉雙曲面：5） 橢圓拋物面：6） *雙曲拋物面馬鞍面：7） 橢圓柱面：8） 雙曲柱面：9） 拋物柱面：（四） 空間曲線及其方程1、 一般方程：2、 參數方程：，如螺旋線：3、 空間曲線在坐標面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影（五） 平面及其方程法向量1、 點法式方程： 法向量：，過點2、 一般式方程：某個系數為零時的特點截距式方程：3、 兩平面的夾角：，4、 點到平面的距離：（六） 空間

3、直線及其方程方向向量1、 一般式方程：2、 對稱式點向式方程： 方向向量：，過點3、 參數式方程：4、 兩直線的夾角：，5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，第九章 多元函數微分法及其應用（一） 根本概念1、 距離，鄰域，內點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、 多元函數：，圖形，定義域：3、 極限：4、 連續(xù)：5、 偏導數：6、 方向導數：其中為的方向角。7、 梯度：，那么。8、 全微分：設，那么（二） 性質1、 函數可微，偏導連續(xù)，偏導存在，函數連續(xù)等概念之間的關系：偏導數存在函數可微函數連續(xù)偏導數連續(xù)充分條件必要條件定義122342

4、、 閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質有界性定理，最大最小值定理，介值定理3、 微分法1） 定義： 2） 復合函數求導：鏈式法那么 假設，那么 ，3） 隱函數求導：a.兩邊求偏導，然后解方程組，b.公式法（三） 應用1、 極值1） 無條件極值：求函數的極值解方程組 求出所有駐點，對于每一個駐點，令， 假設，函數有極小值，假設，函數有極大值； 假設，函數沒有極值； 假設，不定。2） 條件極值：求函數在條件下的極值令： Lagrange函數解方程組 2、 幾何應用1） 曲線的切線與法平面曲線，那么上一點對應參數為處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，那么上一點處的切平面方程為： 法線方程

5、為：第十章 重積分（一） 二重積分1、 定義：2、 性質：6條3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計算：1） 直角坐標X型區(qū)域：，Y型區(qū)域：，*交換積分次序課后題2） 極坐標（二） 三重積分1、 定義： 2、 性質：3、 計算：1） 直角坐標 -投影法“先一后二 -截面法“先二后一2） 柱面坐標，3） *球面坐標*（三） 應用曲面的面積：第十一章 曲線積分與曲面積分（一） 對弧長的曲線積分1、 定義：2、 性質：1 23在上，假設，那么4 ( l 為曲線弧 L的長度)3、 計算：設在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數，且，那么（二） 對坐標的曲線積分1、 定義：設

6、L 為面內從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數，在 L 上有界，定義，.向量形式：2、 性質： 用表示的反向弧 , 那么3、 計算：設在有向光滑弧上有定義且連續(xù),的參數方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數，且，那么4、 兩類曲線積分之間的關系：設平面有向曲線弧為，上點處的切向量的方向角為：，那么.（三） 格林公式1、格林公式：設區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線L 圍成，函數在 D 上具有連續(xù)一階偏導數,那么有2、為一個單連通區(qū)域，函數在上具有連續(xù)一階偏導數，那么曲線積分 在內與路徑無關曲線積分在內為某一個函數的全微分（四） 對面積的曲面積分1、 定義：設為光滑曲面，函數是定義在上的一個有界函數，定義

7、 2、 計算：“一單值顯函數、二投影、三代入，那么（五） 對坐標的曲面積分1、 預備知識：曲面的側，曲面在平面上的投影，流量2、 定義：設為有向光滑曲面，函數是定義在上的有界函數，定義 同理，3、 性質：1，那么2表示與取相反側的有向曲面 , 那么4、 計算：“一投二代三定號，在上具有一階連續(xù)偏導數，在上連續(xù)，那么,為上側取“ + ， 為下側取“- .5、 兩類曲面積分之間的關系：其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側, 函數在上有連續(xù)的一階偏導數,那么有或2、 *通量與散度*通量：向量場通過曲面指定側的通量為

8、：散度：（七） *斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式：設光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側與 G的正向符合右手法那么, 在包含å 在內的一個空間域內具有連續(xù)一階偏導數,那么有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:2、 *環(huán)流量與旋度*環(huán)流量：向量場沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為旋度：第十二章 無窮級數（一） 常數項級數1、 定義：1無窮級數：局部和：，正項級數：，交織級數：，2級數收斂：假設存在，那么稱級數收斂，否那么稱級數發(fā)散3條件收斂：收斂，而發(fā)散；絕對收斂：收斂。2、 性質：1） 改變有限項不影響級數的收斂性；2） 級數，收斂，那么收斂；3） 級數收斂，那么任意加括號后

9、仍然收斂；4） 必要條件：級數收斂.注意：不是充分條件！3、 審斂法正項級數：，1） 定義：存在；2） 收斂有界；3） 比擬審斂法：，為正項級數，且 假設收斂，那么收斂；假設發(fā)散，那么發(fā)散.4） 比擬法的推論：，為正項級數，假設存在正整數，當時，而收斂，那么收斂；假設存在正整數，當時，而發(fā)散，那么發(fā)散. 5） 比擬法的極限形式：，為正項級數，假設，而收斂，那么收斂；假設或，而發(fā)散，那么發(fā)散.6） 比值法：為正項級數，設，那么當時，級數收斂；那么當時，級數發(fā)散；當時，級數可能收斂也可能發(fā)散.7） *根值法：為正項級數，設，那么當時，級數收斂；那么當時，級數發(fā)散；當時，級數可能收斂也可能發(fā)散.8） 極限審斂法：為正項級數，假設或，那么級數發(fā)散；假設存在，使得，那么級數收斂.交織級數：萊布尼茨審斂法：交織級數：，滿足：，且，那么級數收斂。任意項級數：絕對收斂，那么收斂。常見典型級數：幾何級數：p -級數：（二） 函數項級數1、 定義：函數項級數，收斂域，收斂半徑，和函數；2、 冪級數：收斂半徑的求法：，那么收斂半徑 3、 泰勒級數展開步驟：直接展開法1） 求出；2） 求出；3） 寫出；4） 驗證是否成立。間接展開法：利用函數的展開式1；2；3；4；56784、 *傅里葉級數*1） 定義：正交系：函數系中任何不同的兩個函數的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級數：系數：