對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)與練習(xí)(有答案解析)

1、 .wd.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1對數(shù)函數(shù)的概念(1)定義：一般地，我們把函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，)(2)對數(shù)函數(shù)的特征：特征判斷一個(gè)函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)，只需看此函數(shù)是否具備了對數(shù)函數(shù)的特征比方函數(shù)ylog7x是對數(shù)函數(shù)，而函數(shù)y3log4x和ylogx2均不是對數(shù)函數(shù)，其原因是不符合對數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)【例11】函數(shù)f(x)(a2a1)log(a1)x是對數(shù)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a_解析：由a2a11，解得a0,1又a10，且a11，a1答案：1【例12】以下函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的為_(1)yloga(a0，且a1)；(2)ylog2x2；(3)y8l

2、og2(x1)；(4)ylogx6(x0，且x1)；(5)ylog6x解析：序號是否理由(1)×真數(shù)是，不是自變量x(2)×對數(shù)式后加2(3)×真數(shù)為x1，不是x，且系數(shù)為8，不是1(4)×底數(shù)是自變量x，不是常數(shù)(5)底數(shù)是6，真數(shù)是x2對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象與性質(zhì)(1)圖象與性質(zhì)a10a1圖象性質(zhì)(1)定義域x|x0(2)值域y|yR(3)當(dāng)x1時(shí)，y0，即過定點(diǎn)(1,0)(4)當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y0(4)當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y0(5)在(0，)上是增函數(shù)(5)在(0，)上是減函數(shù)談重點(diǎn)對對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解

3、對數(shù)函數(shù)的圖象恒在y軸右側(cè)，其單調(diào)性取決于底數(shù)a1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；0a1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減理解和掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的關(guān)鍵是會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，在掌握圖象的根底上性質(zhì)就容易理解了我們要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比擬解析式y(tǒng)ax(a0，且a1)ylogax (a0，且a1)性質(zhì)定義域R(0，)值域(0，)R過定點(diǎn)(0,1)(1,0)單調(diào)性單調(diào)性一致，同為增函數(shù)或減函數(shù)奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)的圖象的影響底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降：當(dāng)a1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升；當(dāng)0a1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降底數(shù)的大小決

4、定了圖象相對位置的上下：不管是a1還是0a1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大【例2】如下圖的曲線是對數(shù)函數(shù)ylogax的圖象a從，中取值，那么相應(yīng)曲線C1，C2，C3，C4的a值依次為()A，B，C，D，解析：由底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響這一性質(zhì)可知，C4的底數(shù)C3的底數(shù)C2的底數(shù)C1的底數(shù)故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的底數(shù)依次是，答案：A點(diǎn)技巧根據(jù)圖象判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小的方法(1)方法一：利用底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象影響的規(guī)律：在x軸上方“底大圖右，在x軸下方“底大圖左；(2)方法二：作直線y1，它與各曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是各對數(shù)的底數(shù)，由此判斷各底數(shù)的大小3反函

5、數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)的定義域、值域是其反函數(shù)的值域、定義域；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱(3)求函數(shù)的反函數(shù)，一般步驟如下：由yf(x)解出x，即用y表示出x；把x替換為y，y替換為x；根據(jù)yf(x)的值域，寫出其反函數(shù)的定義域【例31】假設(shè)函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)，且f(2)1，那么f(x)()Alog2x BC D2x2解析：因?yàn)楹瘮?shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2故f(

6、x)log2x答案：A【例32】函數(shù)f(x)3x(0x2)的反函數(shù)的定義域?yàn)?)A(0，) B(1,9C(0,1) D9，)解析： 0x2，13x9，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1,9故函數(shù)f(x)的反函數(shù)的定義域?yàn)?1,9答案：B【例33】假設(shè)函數(shù)yf(x)的反函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,5)，那么函數(shù)yf(x)的圖象必過點(diǎn)()A(5,1) B(1,5) C(1,1) D(5,5)解析：由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱，而點(diǎn)(1,5)關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)為(5,1)，所以函數(shù)yf(x)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)(5,1)答案：A4利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式及函數(shù)值對數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)logax(a0，且a

7、1)中僅含有一個(gè)常數(shù)a，那么只需要一個(gè)條件即可確定對數(shù)函數(shù)的解析式，這樣的條件往往是f(m)n或圖象過點(diǎn)(m，n)等等通常利用待定系數(shù)法求解，設(shè)出對數(shù)函數(shù)的解析式f(x)logax(a0，且a1)，利用條件列方程求出常數(shù)a的值利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，常常遇到解方程，比方logamn，這時(shí)先把對數(shù)式logamn化為指數(shù)式的形式anm，把m化為以n為指數(shù)的指數(shù)冪形式mkn(k0，且k1)，那么解得ak0還可以直接寫出，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡例如：解方程loga42，那么a24，由于，所以又a0，所以當(dāng)然，也可以直接寫出，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，得【例41】f(ex)x，那么f(5)

8、()Ae5B5eCln 5Dlog5e解析：(方法一)令tex，那么xln t，所以f(t)ln t，即f(x)ln x所以f(5)ln 5(方法二)令ex5，那么xln 5，所以f(5)ln 5答案：C【例42】對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，試求f(3)的值分析：設(shè)出函數(shù)f(x)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出解：設(shè)f(x)logax(a0，且a1)，對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，a2af(x)f(3)1【例43】對數(shù)函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,9)，且f(b)，試求b的值解：設(shè)f(x)logax(a0，且a1)，那么它的反函數(shù)為yax(a0，且a1)，由條件知a2932，從而a3于

9、是f(x)log3x，那么f(b)log3b，解得b5對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解(1)對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)(2)在求對數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1假設(shè)底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義一般地，判斷類似于ylogaf(x)的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證f(x)0(3)求函數(shù)的定義域應(yīng)滿足以下原那么：分式中分母不等于零；偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；指數(shù)為零的冪的底數(shù)不等于零；對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；對數(shù)的真數(shù)大于零，如果在一個(gè)函數(shù)中數(shù)條并存，求交集【例5】求以下函數(shù)的定義域(1)ylog5(1x)；(2)yl

10、og(2x1)(5x4)；(3)分析：利用對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的定義求解解：(1)要使函數(shù)有意義，那么1x0，解得x1，所以函數(shù)ylog5(1x)的定義域是x|x1(2)要使函數(shù)有意義，那么解得x且x1，所以函數(shù)ylog(2x1)(5x4)的定義域是(1，)(3)要使函數(shù)有意義，那么解得x1，所以函數(shù)的定義域是6對數(shù)型函數(shù)的值域的求解(1)充分利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象是求函數(shù)值域的常用方法(2)對于形如ylogaf(x)(a0，且a1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：分解成ylogau，uf(x)這兩個(gè)函數(shù)；求f(x)的定義域；求u的取值范圍；利用ylogau的單調(diào)性求解(3)

11、對于函數(shù)yf(logax)(a0，且a1)，可利用換元法，設(shè)logaxt，那么函數(shù)f(t)(tR)的值域就是函數(shù)f(logax)(a0，且a1)的值域注意：(1)假設(shè)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含字母的代數(shù)式(或單獨(dú)一個(gè)字母)，要考察其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進(jìn)展分類討論(2)求對數(shù)函數(shù)的值域時(shí)，一定要注意定義域?qū)λ挠绊懏?dāng)對數(shù)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，有時(shí)需討論參數(shù)的取值范圍【例61】求以下函數(shù)的值域：(1)ylog2(x24)；(2)y解：(1)x244，log2(x24)log242函數(shù)ylog2(x24)的值域?yàn)?，)(2)設(shè)u32xx2，那么u(x1)244u0，0u4又y在(0，)上為減函數(shù)，2函數(shù)y的值

12、域?yàn)?，)【例62】f(x)2log3x，x1,3，求yf(x)2f(x2)的最大值及相應(yīng)的x的值分析：先確定yf(x)2f(x2)的定義域，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于log3x的一個(gè)一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)求最值解：f(x)2log3x，x1,3，yf(x)2f(x2)(log3x)26log3x6且定義域?yàn)?,3令tlog3x(x1,3)tlog3x在區(qū)間1,3上是增函數(shù)，0t1從而要求yf(x)2f(x2)在區(qū)間1,3上的最大值，只需求yt26t6在區(qū)間0,1上的最大值即可yt26t6在3，)上是增函數(shù)，當(dāng)t1，即x3時(shí)，ymax16613綜上可知，當(dāng)x3時(shí)，yf(x)2f(x2)的最大值為1

13、37對數(shù)函數(shù)的圖象變換及定點(diǎn)問題(1)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)過定點(diǎn)(1,0)，即對任意的a0，且a1都有l(wèi)oga10這是解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問題的關(guān)鍵對于函數(shù)ybklogaf(x)(k，b均為常數(shù)，且k0)，令f(x)1，解方程得xm，那么該函數(shù)恒過定點(diǎn)(m，b)方程f(x)0的解的個(gè)數(shù)等于該函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2)對數(shù)函數(shù)的圖象變換的問題函數(shù)ylogax(a0，且a1)函數(shù)yloga(xb)(a0，且a1)函數(shù)ylogax(a0，且a1)函數(shù)ylogaxb(a0，且a1)函數(shù)ylogax(a0，且a1)函數(shù)yloga|x|(a0，且

14、a1)函數(shù)ylogax(a0，且a1)函數(shù)y|logax|(a0，且a1)【例71】假設(shè)函數(shù)yloga(xb)c(a0，且a1)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2)，那么實(shí)數(shù)b，c的值分別為_解析：函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2)，將(3,2)代入yloga(xb)c(a0，且a1)，得2loga(3b)c又當(dāng)a0，且a1時(shí)，loga10恒成立，c2loga(3b)0b2答案：2,2【例72】作出函數(shù)y|log2(x1)|2的圖象解：(第一步)作函數(shù)ylog2x的圖象，如圖；(第二步)將函數(shù)ylog2x的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位長度，得函數(shù)ylog2(x1)的圖象，如圖；(第三步)將函數(shù)ylog2(x1)在

15、x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，得函數(shù)y|log2(x1)|的圖象，如圖；(第四步)將函數(shù)y|log2(x1)|的圖象，沿y軸方向向上平移2個(gè)單位長度，便得到所求函數(shù)的圖象，如圖8利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比擬大小兩個(gè)對數(shù)式的大小比擬有以下幾種情況：(1)底數(shù)一樣，真數(shù)不同比擬同底數(shù)(是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小，構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比擬大小要注意：明確所給的兩個(gè)值是哪個(gè)對數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值；明確對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系；最后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小(2)底數(shù)不同，真數(shù)一樣假設(shè)對數(shù)式的底數(shù)不同而真數(shù)一樣時(shí)，可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增大畫出函數(shù)的圖象，再進(jìn)展比擬，也可以先用換底公式

16、化為同底后，再進(jìn)展比擬(3)底數(shù)不同，真數(shù)也不同對數(shù)式的底數(shù)不同且指數(shù)也不同時(shí)，常借助中間量0,1進(jìn)展比擬(4)對于多個(gè)對數(shù)式的大小比擬，應(yīng)先根據(jù)每個(gè)數(shù)的構(gòu)造特征，以及它們與“0和“1的大小情況，進(jìn)展分組，再比擬各組內(nèi)的數(shù)值的大小即可注意：對于含有參數(shù)的兩個(gè)對數(shù)值的大小比擬，要注意對底數(shù)是否大于1進(jìn)展分類討論【例81】比擬以下各組中兩個(gè)值的大小(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga3.141分析：(1)構(gòu)造函數(shù)ylog3x，利用其單調(diào)性比擬；(2)分別比擬與0的大??；(3)分類討論底數(shù)的取值范圍解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)ylog3x在(0，)上是增

17、函數(shù)，所以f(1.9)f(2)所以log31.9log32(2)因?yàn)閘og23log210，log0.32log0.310，所以log23log0.32(3)當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)ylogax在定義域上是增函數(shù)，那么有l(wèi)ogaloga3.141；當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)ylogax在定義域上是減函數(shù)，那么有l(wèi)ogaloga3.141綜上所得，當(dāng)a1時(shí)，logaloga3.141；當(dāng)0a1時(shí)，logaloga3.141【例82】假設(shè)a2ba1，試比擬，logba，logab的大小分析：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象進(jìn)展判斷解：ba1，010，logablogaa1，logb1logbalogbb，即0logba1由

18、于1b，01由logba，a2b1，10，即logbalogablogba9利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對數(shù)不等式(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a0，且a1時(shí)，有l(wèi)ogaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；當(dāng)a1時(shí)，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；當(dāng)0a1時(shí)，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)(2)常見的對數(shù)不等式有三種類型：形如logaf(x)logag(x)的不等式，借助函數(shù)ylogax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a1與0a1兩種情況討論形如logaf(x)b的不等式，應(yīng)

19、將b化為以a為對數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助函數(shù)ylogax的單調(diào)性求解形如logaf(x)logbg(x)的不等式，根本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個(gè)對數(shù)值，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來脫去對數(shù)符號，同時(shí)應(yīng)保證真數(shù)大于零，取交集作為不等式的解集形如f(logax)0的不等式，可用換元法(令tlogax)，先解f(t)0，得到t的取值范圍然后再解x的范圍【例91】解以下不等式：(1)；(2)logx(2x1)logx(3x)解：(1)由，得解得0x2所以原不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x1時(shí)，有解得1x3；當(dāng)0x1時(shí)，有解得0x所以原不等式的解集是【例92】假設(shè)1，求a的取值范圍解：1，11，即(1

20、)當(dāng)a1時(shí)，ylogax為增函數(shù)，a，結(jié)合a1，可知a(2)當(dāng)0a1時(shí)，ylogax為減函數(shù)，a，結(jié)合0a1，知0aa的取值范圍是10對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的討論(1)解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的關(guān)鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時(shí)，那么應(yīng)對底數(shù)a是否大于1進(jìn)展討論；二是運(yùn)用復(fù)合法來判斷其單調(diào)性；三是注意其定義域(2)關(guān)于形如ylogaf(x)一類函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)ylogaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)uf(x)(f(x)0)的單調(diào)性，當(dāng)a1時(shí)一樣，當(dāng)0a1時(shí)相反例如：求函數(shù)ylog2(32x)的單調(diào)區(qū)間分析：首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)ylog2(32x)是由對數(shù)函數(shù)ylo

21、g2u和一次函數(shù)u32x復(fù)合而成，求其單調(diào)區(qū)間或值域時(shí)，應(yīng)從函數(shù)u32x的單調(diào)性、值域入手，并結(jié)合函數(shù)ylog2u的單調(diào)性考慮解：由32x0，解得函數(shù)ylog2(32x)的定義域是設(shè)u32x，x，u32x在上是減函數(shù)，且ylog2u在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)ylog2(32x)在上是減函數(shù)函數(shù)ylog2(32x)的單調(diào)減區(qū)間是【例101】求函數(shù)yloga(aax)的單調(diào)區(qū)間解：(1)假設(shè)a1，那么函數(shù)ylogat遞增，且函數(shù)taax遞減又aax0，即axa，x1函數(shù)yloga(aax)在(，1)上遞減(2)假設(shè)0a1，那么函數(shù)ylogat遞減，且函數(shù)taax遞增又aax0，即axa，x1函數(shù)y

22、loga(aax)在(1，)上遞減綜上所述，函數(shù)yloga(aax)在其定義域上遞減析規(guī)律判斷函數(shù)ylogaf(x)的單調(diào)性的方法函數(shù)ylogaf(x)可看成是ylogau與uf(x)兩個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減的規(guī)律即可判斷需特別注意的是，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要考慮函數(shù)的定義域，即“定義域優(yōu)先【例102】f(x)(x2axa)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍解：是函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間，說明是函數(shù)ux2axa的遞減區(qū)間，由于是對數(shù)函數(shù)，還需保證真數(shù)大于0令u(x)x2axa，f(x)在上是增函數(shù)，u(x)在上是減函數(shù)，且u(x)0在上恒成立即1a滿足條件的a的取值范

23、圍是11對數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題判斷與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱時(shí)，那么此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，判斷f(x)與f(x)或f(x)是否相等；(2)當(dāng)f(x)f(x)時(shí)，此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f(x)f(x)時(shí)，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當(dāng)f(x)f(x)且f(x)f(x)時(shí)，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)當(dāng)f(x)f(x)且f(x)f(x)時(shí)，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例如，判斷函數(shù)f(x)(xR，a0，且a1)的奇偶性解：f(x)f(x)loga(x21x2)loga10，f(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)【例11】函數(shù)f(x)(a0，且a1)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)求使f(x)0的x的取值范圍分析：對于第(2)問，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可對于第(3)問，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號，解出不等式解：(1)由0，得1x1，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1)(2)f(x)f(x)，又由(1)知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(3)當(dāng)a1時(shí)，由0loga1，得1，解得0x1；當(dāng)0a1時(shí)，由0loga1，得01，解得1