考研數(shù)學(xué)一歷年真題答案

1、.2002年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】原式(2)【分析】方程兩邊對(duì)兩次求導(dǎo)得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對(duì)應(yīng));由時(shí)得于是積分得.又由得所求特解為(4)【分析】因?yàn)槎涡徒?jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】設(shè)事件表示“二次方程無實(shí)根”,則依題意,有而即二、選擇題(1)【分析】這是討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系.我們知道,的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充

2、分條件,若可微則必連續(xù),故選(A).(2)【分析】由充分大時(shí)即時(shí),且不妨認(rèn)為因而所考慮級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),但不能保證的單調(diào)性.按定義考察部分和原級(jí)數(shù)收斂.再考察取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù).注意發(fā)散發(fā)散.因此選(C).(3)【分析】證明(B)對(duì):反證法.假設(shè),則由拉格朗日中值定理,(當(dāng)時(shí),因?yàn)?;但這與矛盾(4)【分析】因?yàn)?說明方程組有無窮多解,所以三個(gè)平面有公共交點(diǎn)且不唯一,因此應(yīng)選(B).(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是(C)中三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn),即方程組無解,又因三個(gè)平面中任兩個(gè)都不行,故和,且中任兩個(gè)平行向量都線性無關(guān).類似地,(D)中有兩個(gè)平面平行,故,且中有兩個(gè)平行向量共線.(5)【分析

3、】首先可以否定選項(xiàng)(A)與(C),因?qū)τ谶x項(xiàng)(B),若則對(duì)任何,因此也應(yīng)否定(C),綜上分析,用排除法應(yīng)選(D).進(jìn)一步分析可知,若令,而則的分布函數(shù)恰是三、【解】用洛必達(dá)法則.由題設(shè)條件知由于,故必有又由洛必達(dá)法則及,則有.綜上,得四、【解】由已知條件得故所求切線方程為.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得五、【分析與求解】是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:(關(guān)于對(duì)稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】(1)易知原函數(shù),在上原函數(shù),即.積分在與路徑無關(guān).(2)因找到了原函數(shù),立即可得七、【證明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因?yàn)閮?/p>

4、級(jí)數(shù)的收斂域是,因而可在上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù),得,所以.(2)與相應(yīng)的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設(shè)非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當(dāng)時(shí),有于是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)在點(diǎn)處沿該點(diǎn)的梯度方向方向?qū)?shù)取最大值即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點(diǎn)在條件下的最大值點(diǎn).這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)則有解此方程組:將式與式相加得或若,則由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的條件極值點(diǎn)現(xiàn)比較在這些點(diǎn)的函數(shù)值:因?yàn)閷?shí)際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在

5、取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點(diǎn).九、【解】由線性無關(guān)及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎(chǔ)解系中只包含一個(gè)向量.那么由知,的基礎(chǔ)解系是再由知,是的一個(gè)特解.故的通解是其中為任意常數(shù).十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故(2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知與不相似.(3)由均為實(shí)對(duì)稱矩陣知,均相似于對(duì)角陣,若的特征多項(xiàng)式相等,記特征多項(xiàng)式的根為則有相似于也相似于即存在可逆矩陣,使于是由為可逆矩陣知,與相似.十一、【解】由于依題意,服從二項(xiàng)分布,則有十二、【解】的矩估計(jì)量為根據(jù)給定的樣本觀察值計(jì)算因此的矩估計(jì)值對(duì)于給定的樣本值似然函數(shù)為令,得

6、方程,解得(不合題意).于是的最大似然估計(jì)值為2003年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題及答案解析一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） = .【分析】 型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式=進(jìn)行計(jì)算求極限均可.【詳解1】 =,而 ，故 原式=【詳解2】 因?yàn)?，所以 原式=【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量為，因此只需確定切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出平面方程, 而切點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)曲面切平面的法矢量與平行確定.【詳解】 令 ，則， .設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切平面的法矢量為 ，其與已知平面平行，因此有 ，可解得 ，相應(yīng)地

7、有 故所求的切平面方程為 ，即 .【評(píng)注】 本題屬基本題型。（3） 設(shè)，則= 1 .【分析】 將展開為余弦級(jí)數(shù)，其系數(shù)計(jì)算公式為.【詳解】 根據(jù)余弦級(jí)數(shù)的定義，有 = = =1.【評(píng)注】 本題屬基本題型，主要考查傅里葉級(jí)數(shù)的展開公式，本質(zhì)上轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算. （4）從的基到基的過渡矩陣為 .【分析】 n維向量空間中，從基到基的過渡矩陣P滿足=P，因此過渡矩陣P為：P=.【詳解】根據(jù)定義，從的基到基的過渡矩陣為P=. =【評(píng)注】 本題屬基本題型。（5）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 則 .【分析】 已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求滿足一定條件的概率，一般可轉(zhuǎn)化為二重積

8、分=進(jìn)行計(jì)算.【詳解】 由題設(shè)，有 = y 1 D O 1 x【評(píng)注】 本題屬基本題型，但在計(jì)算二重積分時(shí)，應(yīng)注意找出概率密度不為零與滿足不等式的公共部分D，再在其上積分即可.（6）已知一批零件的長度X (單位：cm)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值【分析】 已知方差，對(duì)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計(jì)，可根據(jù)，由確定臨界值，進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間.【詳解】 由題設(shè)，可見 于是查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知本題n=16, , 因此，根據(jù) ，有，即 ，故的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .【評(píng)注】 本題屬基本題型.

9、二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). (C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). C y O x 【分析】 答案與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而 x=0 則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

10、 三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過，當(dāng)時(shí)考查的是已知f(x)的圖象去推導(dǎo)的圖象，本題是其逆問題. （2）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明

11、即可；極限屬型，必為無窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 對(duì)于不便直接證明的問題，經(jīng)常可考慮用反例，通過排除法找到正確選項(xiàng).（3）已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn). (B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn). (C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn). (D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn). A 【分析】 由題設(shè)，容易推知f(0,0)=0，因此點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值，關(guān)鍵看在點(diǎn)(0,0)的充分小的鄰

12、域內(nèi)f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號(hào). 【詳解】 由知，分子的極限必為零，從而有f(0,0)=0, 且 充分小時(shí)），于是可見當(dāng)y=x且充分小時(shí)，；而當(dāng)y= -x且充分小時(shí)，. 故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)，應(yīng)選(A).【評(píng)注】 本題綜合考查了多元函數(shù)的極限、連續(xù)和多元函數(shù)的極值概念，題型比較新，有一定難度. 將極限表示式轉(zhuǎn)化為極限值加無窮小量，是有關(guān)極限分析過程中常用的思想。（4）設(shè)向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). D 【分

13、析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組I：可由向量組II：線性表示，則當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). 或其逆否命題：若向量組I：可由向量組II：線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有. 可見正確選項(xiàng)為(D). 本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無關(guān)，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無關(guān)，排除(B)；，可由線性表示，但線性無關(guān)，排除(C). 故正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢业秸_選項(xiàng)。（5）設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B

14、均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本題也可找反例用排除法進(jìn)行分析，但 兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住 與 ，迅速排除不正確的選項(xiàng).【詳解】 若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命題成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩(A)=秩(B)， 則不能推出Ax=0與Bx

15、=0同解，如，則秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),故正確選項(xiàng)為(B).【例】 齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充要條件(A) r(A)=r(B). (B) A,B為相似矩陣.(C) A, B的行向量組等價(jià). (D) A,B的列向量組等價(jià). C 有此例題為基礎(chǔ)，相信考生能迅速找到答案.（6）設(shè)隨機(jī)變量，則 (A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 先由分布的定義知，其中，再將其代入，然后利用F分布的定義即可.【詳解】 由題設(shè)知，其中，于是=，這里，根據(jù)F分布的定義知故應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題綜合考查了t分布、分布和F分布的

16、概念，要求熟練掌握此三類常用統(tǒng)計(jì)量分布的定義.三 、（本題滿分10分）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【分析】 先求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積A; 旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體（圓錐）體積減去一小立體體積進(jìn)行計(jì)算，為了幫助理解，可畫一草圖.【詳解】 (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則曲線y=lnx在點(diǎn)處的切線方程是 由該切線過原點(diǎn)知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸

17、及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 y 1 D O 1 e x【評(píng)注】 本題不是求繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式. 也可考慮用微元法分析.四 、（本題滿分12分）將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.【分析】 冪級(jí)數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?、求?dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知冪級(jí)數(shù)展開的情形。本題可先求導(dǎo)，再利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開即可，然后取x為某特殊值，得所求級(jí)數(shù)的和.【詳解】 因?yàn)橛謋(0)=, 所以 =因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以 令，得 ,再由，得 五 、（本題滿分10分）已知平

18、面區(qū)域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 【分析】 本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式；(2)的證明應(yīng)注意用(1)的結(jié)果.【詳解】 方法一：(1) 左邊= =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因?yàn)镈 具有輪換對(duì)稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用輪換對(duì)稱性） =【評(píng)注】 本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計(jì)算出來的，因此期望通過計(jì)算出結(jié)果去證明恒等式與不等式是困難的. 另外，一個(gè)題由兩部分構(gòu)成時(shí)，求證第二部分時(shí)應(yīng)首先想到利用第一部分的

19、結(jié)果，事實(shí)上，第一部分往往是起橋梁作用的.六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功. 設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k>0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m. 根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1). 問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：m表示長度單位米.）【分析】 本題屬變力做功問題，可用定積分進(jìn)行計(jì)算，而擊打次數(shù)不限，相當(dāng)于求數(shù)列的極限.【詳解】

20、(1) 設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下，第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為. 由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí)，土層對(duì)樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得 ，從而 ，即汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下.（2） 由歸納法，設(shè)，則 =由于，故得 ,從而 于是 ，即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下 m.【評(píng)注】 本題巧妙地將變力作功與數(shù)列極限兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合起來了，有一定難度。但用定積分求變力做功并不是什么新問題，何況本題的變力十分簡單。七 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程

21、；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】 將轉(zhuǎn)化為比較簡單，=，關(guān)鍵是應(yīng)注意：= =.然后再代入原方程化簡即可.【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問題的解為 【評(píng)注】 本題的核心是第一步方程變換。八 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零， ，其中，(1) 討論F(t)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2) 證明當(dāng)t>0時(shí)，【分析】 (1) 先分別在球面坐標(biāo)下計(jì)算分子的三重積分和在極坐標(biāo)下計(jì)算分

22、母的重積分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性；(2) 將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.【詳解】 (1) 因?yàn)?， ，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t>0時(shí)，只需證明t>0時(shí)，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t>0時(shí)，有g(shù)(t)>g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0,因此，當(dāng)t>0時(shí)，【評(píng)注】 本題將定積分、二重積分和三重積分等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來了，但難點(diǎn)是證明（2）中的不等式，事實(shí)上，這里也可用柯西積分不等式證明： ，在上式中取f(

23、x)為，g(x)為即可.九 、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出，進(jìn)而確定及B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一：經(jīng)計(jì)算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)A的特征值為，對(duì)應(yīng)特

24、征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為由于 ，故A的特征值為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9，9，3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).【評(píng)注】 設(shè)，若是A的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對(duì)應(yīng)特征向量不同，B對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為本題計(jì)算量大，但方法思路都是常規(guī)和熟悉的，主要是考查考生的計(jì)算能力。不過利用相似矩陣有相同的特征值以及A與A*的特征值之間的關(guān)

25、系討論，可適當(dāng)降低計(jì)算量.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).方法二：必要性設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據(jù)題設(shè) ，

26、故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個(gè)方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價(jià)于方程組 (* *)因?yàn)?=-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).【評(píng)注】本題將三條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解的判定，而解的判定問題又可轉(zhuǎn)化為矩陣的秩計(jì)算，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為行列式的計(jì)算，綜合考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn).十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的

27、次品件數(shù)為0，1，2，3，分別求出其概率，再按定義求數(shù)學(xué)期望即可；而求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率，涉及到兩次試驗(yàn)，是典型的用全概率公式的情形，第一次試驗(yàn)的各種可能結(jié)果（取到的次品數(shù)）就是要找的完備事件組.【詳解】 (1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布為 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P 因此 (2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =【評(píng)注】本題對(duì)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也可用分解法： 設(shè) 則的概率分布為 0 1 P 因?yàn)?，所?十二 、（本題滿分8分）設(shè)總體X的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體X中抽

28、取簡單隨機(jī)樣本，記(1) 求總體X的分布函數(shù)F(x);(2) 求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；(3) 如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性.【分析】 求分布函數(shù)F(x)是基本題型；求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)，可作為多維相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量函數(shù)求分布函數(shù)，直接用定義即可；是否具有無偏性，只需檢驗(yàn)是否成立.【詳解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度為 因?yàn)?=，所以作為的估計(jì)量不具有無偏性.【評(píng)注】本題表面上是一數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題，實(shí)際上考查了求分布函數(shù)、隨機(jī)變量的函數(shù)求分布和概率密度以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算等多個(gè)知識(shí)點(diǎn). 將數(shù)理統(tǒng)計(jì)的概念與隨機(jī)變量求分布與數(shù)字特征結(jié)合起來是一種典型的命題形式.2004年

29、數(shù)學(xué)一試題 詳解和評(píng)注二、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 .【分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)。【詳解】 由，得x=1, 可見切點(diǎn)為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評(píng)注】 本題也可先設(shè)切點(diǎn)為，曲線y=lnx過此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達(dá)式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有 ， 即 積分得 . 利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)=

30、 .【評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分?！驹斀狻?正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =【評(píng)注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計(jì)算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定積分計(jì)算即可.（4）歐拉方程的通解為 .【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可?！驹斀狻?令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 （5

31、）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進(jìn)行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時(shí)右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為【評(píng)注】 先化簡再計(jì)算是此類問題求解的特點(diǎn)，而題設(shè)含有伴隨矩陣，一般均應(yīng)先利用公式進(jìn)行化簡。 （6）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算即可?！驹斀狻?由題設(shè)，知，于是 = =【評(píng)注】 本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算。二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的

32、四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）把時(shí)的無窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項(xiàng)，又 =，可見是比低階的無窮小量，故應(yīng)選(B).【評(píng)注】 本題是無窮小量的比較問題，也可先將分別與進(jìn)行比較，再確定相互的高低次序.（8）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對(duì)任意的有f(x)>f(0) . (D) 對(duì)任意的有f(x)>f(0)

33、 . C 【分析】 函數(shù)f(x)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項(xiàng)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性進(jìn)行分析即可?！驹斀狻?由導(dǎo)數(shù)的定義，知 ，根據(jù)保號(hào)性，知存在，當(dāng)時(shí)，有 即當(dāng)時(shí)，f(x)<f(0); 而當(dāng)時(shí)，有f(x)>f(0). 故應(yīng)選(C).【評(píng)注】 題設(shè)函數(shù)一點(diǎn)可導(dǎo)，一般均應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論。（9）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A) 若=0，則級(jí)數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散.(C) 若級(jí)數(shù)收斂，則. (D) 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對(duì)于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往

34、可用反例通過排除法找到正確選項(xiàng).【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級(jí)數(shù)收斂，但，排除(C), 故應(yīng)選(B).【評(píng)注】 本題也可用比較判別法的極限形式， ，而級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)也發(fā)散，故應(yīng)選(B).（10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導(dǎo)，再代入t=2求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應(yīng)選(B).【評(píng)注】 在應(yīng)用變限的積分對(duì)變量x求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意被積函數(shù)中不能含有變量x: 否則，應(yīng)先通過恒等變形、變量代

35、換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x換到積分號(hào)外或積分線上。（11）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對(duì)A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個(gè)相應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設(shè)，有 ， ，于是， 可見，應(yīng)選(D).【評(píng)注】 涉及到初等變換的問題，應(yīng)掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關(guān)系。（12）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)

36、. (B) A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). (C) A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (D) A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). A 【分析】A,B的行列向量組是否線性相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進(jìn)行分析討論.【詳解1】 設(shè)A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)>0,r(B)>0. 可見r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).【詳解2】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，而B為非零矩陣，即Ax=0存

37、在非零解，可見A的列向量組線性相關(guān)。同理，由AB=O知，于是有的列向量組，從而B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).【評(píng)注】 AB=O是?？缄P(guān)系式，一般來說，與此相關(guān)的兩個(gè)結(jié)論是應(yīng)記住的：1） AB=O;2） AB=OB的每列均為Ax=0的解。（13）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對(duì)給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 此類問題的求解，可通過的定義進(jìn)行分析，也可通過畫出草圖，直觀地得到結(jié)論。【詳解】 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性知，于是即有 ，可見根據(jù)定義有，故應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題相當(dāng)于分位數(shù)，直觀地有 o 此類問題在文登學(xué)校

38、的輔導(dǎo)班上作為正態(tài)分布的一般結(jié)論總結(jié)過.（14）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為 令，則(A) Cov( (B) . (C) . (D) . A 【分析】 本題用方差和協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可，注意利用獨(dú)立性有：【詳解】 Cov( =【評(píng)注】 本題(C),(D) 兩個(gè)選項(xiàng)的方差也可直接計(jì)算得到：如 =， =（15）（本題滿分12分）設(shè), 證明.【分析】 根據(jù)要證不等式的形式，可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明.【證法1】 對(duì)函數(shù)在a,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 設(shè)，則， 當(dāng)t>e時(shí)， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)x>e時(shí)

39、， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.因此當(dāng)時(shí)，即 ，故 .【評(píng)注】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可。 （16）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).【分析】 本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可?！驹斀?】 由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000k

40、g，著陸時(shí)的水平速度. 從飛機(jī)接觸跑道開始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當(dāng)時(shí)， 所以，飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機(jī)滑行的最長距離為 或由，知，故最長距離為當(dāng)時(shí)，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當(dāng)時(shí)，所以，飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.【評(píng)注】 本題求飛機(jī)滑行的最長距離，可理解為或的極限值，這種條件應(yīng)引起注意.（17）（本題滿分12分）計(jì)算曲面積分 其中是

41、曲面的上側(cè).【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 【評(píng)注】 本題選擇時(shí)應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），再就是在上直接投影積分時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負(fù)號(hào)).（18）（本題滿分11分）設(shè)有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可用比較法判定?！咀C】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，

42、方程存在正實(shí)數(shù)根當(dāng)x>0時(shí)，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實(shí)數(shù)根由與知 ，故當(dāng)時(shí)，.而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂. 【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理和無窮級(jí)數(shù)的斂散性，題型設(shè)計(jì)比較新穎，但難度并不大，只要基本概念清楚，應(yīng)該可以輕松求證。（19）（本題滿分12分）設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.【分析】 可能極值點(diǎn)是兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點(diǎn)即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【詳解】 因?yàn)?，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(diǎn)(9,3)是z(x,y)的

43、極小值點(diǎn)，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(diǎn)(-9, -3)是z(x,y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9, -3)= -3.【評(píng)注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關(guān)鍵是求可能極值點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意x,y,z滿足原方程。（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對(duì)系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對(duì)參數(shù)a的可能取值進(jìn)行討論即可。【詳解1】 對(duì)方程組的系數(shù)矩

44、陣A作初等行變換，有 當(dāng)a=0時(shí)， r(A)=1<n，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)矩陣B作初等行變換，有 可知時(shí)，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當(dāng)，即a=0或時(shí)，方程組有非零解.當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評(píng)注】 矩陣A的行列式也可這樣計(jì)算：=+，矩陣的特征值為，從而A的特征值為a,a, 故行列式（21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論A是否可相似對(duì)角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，確定A是否可相似對(duì)角化即可.【詳解】 A的特征多項(xiàng)式為 =當(dāng)是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當(dāng)a= -2時(shí)，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而A可相似對(duì)角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而18+3a=16，解得 當(dāng)時(shí)，A的特征值為2，4，4，矩陣4E-A=秩為2