考研數(shù)學(xué)一歷年真題答案

1、.2002年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】原式(2)【分析】方程兩邊對兩次求導(dǎo)得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對應(yīng));由時得于是積分得.又由得所求特解為(4)【分析】因為二次型經(jīng)正交變換化為標準型時,標準形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】設(shè)事件表示“二次方程無實根”,則依題意,有而即二、選擇題(1)【分析】這是討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系.我們知道,的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充

2、分條件,若可微則必連續(xù),故選(A).(2)【分析】由充分大時即時,且不妨認為因而所考慮級數(shù)是交錯級數(shù),但不能保證的單調(diào)性.按定義考察部分和原級數(shù)收斂.再考察取絕對值后的級數(shù).注意發(fā)散發(fā)散.因此選(C).(3)【分析】證明(B)對:反證法.假設(shè),則由拉格朗日中值定理,(當(dāng)時,因為);但這與矛盾(4)【分析】因為,說明方程組有無窮多解,所以三個平面有公共交點且不唯一,因此應(yīng)選(B).(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是(C)中三個平面沒有公共交點,即方程組無解,又因三個平面中任兩個都不行,故和,且中任兩個平行向量都線性無關(guān).類似地,(D)中有兩個平面平行,故,且中有兩個平行向量共線.(5)【分析

3、】首先可以否定選項(A)與(C),因?qū)τ谶x項(B),若則對任何,因此也應(yīng)否定(C),綜上分析,用排除法應(yīng)選(D).進一步分析可知,若令,而則的分布函數(shù)恰是三、【解】用洛必達法則.由題設(shè)條件知由于,故必有又由洛必達法則及,則有.綜上,得四、【解】由已知條件得故所求切線方程為.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得五、【分析與求解】是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:(關(guān)于對稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】(1)易知原函數(shù),在上原函數(shù),即.積分在與路徑無關(guān).(2)因找到了原函數(shù),立即可得七、【證明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因為冪

4、級數(shù)的收斂域是,因而可在上逐項求導(dǎo)數(shù),得,所以.(2)與相應(yīng)的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設(shè)非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當(dāng)時,有于是冪級數(shù)的和函數(shù)為八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)在點處沿該點的梯度方向方向?qū)?shù)取最大值即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點在條件下的最大值點.這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)則有解此方程組:將式與式相加得或若,則由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的條件極值點現(xiàn)比較在這些點的函數(shù)值:因為實際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在

5、取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點.九、【解】由線性無關(guān)及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎(chǔ)解系中只包含一個向量.那么由知,的基礎(chǔ)解系是再由知,是的一個特解.故的通解是其中為任意常數(shù).十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故(2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知與不相似.(3)由均為實對稱矩陣知,均相似于對角陣,若的特征多項式相等,記特征多項式的根為則有相似于也相似于即存在可逆矩陣,使于是由為可逆矩陣知,與相似.十一、【解】由于依題意,服從二項分布,則有十二、【解】的矩估計量為根據(jù)給定的樣本觀察值計算因此的矩估計值對于給定的樣本值似然函數(shù)為令,得

6、方程,解得(不合題意).于是的最大似然估計值為2003年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題及答案解析一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） = .【分析】 型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式=進行計算求極限均可.【詳解1】 =,而 ，故 原式=【詳解2】 因為 ，所以 原式=【評注】 本題屬常規(guī)題型（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量為，因此只需確定切點坐標即可求出平面方程, 而切點坐標可根據(jù)曲面切平面的法矢量與平行確定.【詳解】 令 ，則， .設(shè)切點坐標為，則切平面的法矢量為 ，其與已知平面平行，因此有 ，可解得 ，相應(yīng)地

7、有 故所求的切平面方程為 ，即 .【評注】 本題屬基本題型。（3） 設(shè)，則= 1 .【分析】 將展開為余弦級數(shù)，其系數(shù)計算公式為.【詳解】 根據(jù)余弦級數(shù)的定義，有 = = =1.【評注】 本題屬基本題型，主要考查傅里葉級數(shù)的展開公式，本質(zhì)上轉(zhuǎn)化為定積分的計算. （4）從的基到基的過渡矩陣為 .【分析】 n維向量空間中，從基到基的過渡矩陣P滿足=P，因此過渡矩陣P為：P=.【詳解】根據(jù)定義，從的基到基的過渡矩陣為P=. =【評注】 本題屬基本題型。（5）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 則 .【分析】 已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求滿足一定條件的概率，一般可轉(zhuǎn)化為二重積

8、分=進行計算.【詳解】 由題設(shè)，有 = y 1 D O 1 x【評注】 本題屬基本題型，但在計算二重積分時，應(yīng)注意找出概率密度不為零與滿足不等式的公共部分D，再在其上積分即可.（6）已知一批零件的長度X (單位：cm)服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .(注：標準正態(tài)分布函數(shù)值【分析】 已知方差，對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進行估計，可根據(jù)，由確定臨界值，進而確定相應(yīng)的置信區(qū)間.【詳解】 由題設(shè)，可見 于是查標準正態(tài)分布表知本題n=16, , 因此，根據(jù) ，有，即 ，故的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .【評注】 本題屬基本題型.

9、二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點. (D) 三個極小值點和一個極大值點. C y O x 【分析】 答案與極值點個數(shù)有關(guān)，而可能的極值點應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點，共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點有3個，而 x=0 則是導(dǎo)數(shù)不存在的點.

10、 三個一階導(dǎo)數(shù)為零的點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應(yīng)選(C).【評注】 本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過，當(dāng)時考查的是已知f(x)的圖象去推導(dǎo)的圖象，本題是其逆問題. （2）設(shè)均為非負數(shù)列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明

11、即可；極限屬型，必為無窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).【評注】 對于不便直接證明的問題，經(jīng)?？煽紤]用反例，通過排除法找到正確選項.（3）已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點. (B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點. (C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點. (D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點. A 【分析】 由題設(shè)，容易推知f(0,0)=0，因此點(0,0)是否為f(x,y)的極值，關(guān)鍵看在點(0,0)的充分小的鄰

12、域內(nèi)f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號. 【詳解】 由知，分子的極限必為零，從而有f(0,0)=0, 且 充分小時），于是可見當(dāng)y=x且充分小時，；而當(dāng)y= -x且充分小時，. 故點(0,0)不是f(x,y)的極值點，應(yīng)選(A).【評注】 本題綜合考查了多元函數(shù)的極限、連續(xù)和多元函數(shù)的極值概念，題型比較新，有一定難度. 將極限表示式轉(zhuǎn)化為極限值加無窮小量，是有關(guān)極限分析過程中常用的思想。（4）設(shè)向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時，向量組II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時，向量組II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時，向量組I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時，向量組I必線性相關(guān). D 【分

13、析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理：若向量組I：可由向量組II：線性表示，則當(dāng)時，向量組I必線性相關(guān). 或其逆否命題：若向量組I：可由向量組II：線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有. 可見正確選項為(D). 本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無關(guān)，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無關(guān)，排除(B)；，可由線性表示，但線性無關(guān)，排除(C). 故正確選項為(D).【評注】 本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢业秸_選項。（5）設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B

14、均為矩陣，現(xiàn)有4個命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本題也可找反例用排除法進行分析，但 兩個命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住 與 ，迅速排除不正確的選項.【詳解】 若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命題成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩(A)=秩(B)， 則不能推出Ax=0與Bx

15、=0同解，如，則秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),故正確選項為(B).【例】 齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充要條件(A) r(A)=r(B). (B) A,B為相似矩陣.(C) A, B的行向量組等價. (D) A,B的列向量組等價. C 有此例題為基礎(chǔ)，相信考生能迅速找到答案.（6）設(shè)隨機變量，則 (A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 先由分布的定義知，其中，再將其代入，然后利用F分布的定義即可.【詳解】 由題設(shè)知，其中，于是=，這里，根據(jù)F分布的定義知故應(yīng)選(C).【評注】 本題綜合考查了t分布、分布和F分布的

16、概念，要求熟練掌握此三類常用統(tǒng)計量分布的定義.三 、（本題滿分10分）過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【分析】 先求出切點坐標及切線方程，再用定積分求面積A; 旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體（圓錐）體積減去一小立體體積進行計算，為了幫助理解，可畫一草圖.【詳解】 (1) 設(shè)切點的橫坐標為，則曲線y=lnx在點處的切線方程是 由該切線過原點知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸

17、及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 y 1 D O 1 e x【評注】 本題不是求繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式. 也可考慮用微元法分析.四 、（本題滿分12分）將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.【分析】 冪級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍⑶髮?dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知冪級數(shù)展開的情形。本題可先求導(dǎo)，再利用函數(shù)的冪級數(shù)展開即可，然后取x為某特殊值，得所求級數(shù)的和.【詳解】 因為又f(0)=, 所以 =因為級數(shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以 令，得 ,再由，得 五 、（本題滿分10分）已知平

18、面區(qū)域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 【分析】 本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式；(2)的證明應(yīng)注意用(1)的結(jié)果.【詳解】 方法一：(1) 左邊= =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因為D 具有輪換對稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用輪換對稱性） =【評注】 本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計算出來的，因此期望通過計算出結(jié)果去證明恒等式與不等式是困難的. 另外，一個題由兩部分構(gòu)成時，求證第二部分時應(yīng)首先想到利用第一部分的

19、結(jié)果，事實上，第一部分往往是起橋梁作用的.六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功. 設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k>0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下a m. 根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1). 問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深？(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？（注：m表示長度單位米.）【分析】 本題屬變力做功問題，可用定積分進行計算，而擊打次數(shù)不限，相當(dāng)于求數(shù)列的極限.【詳解】

20、(1) 設(shè)第n次擊打后，樁被打進地下，第n次擊打時，汽錘所作的功為. 由題設(shè)，當(dāng)樁被打進地下的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得 ，從而 ，即汽錘擊打3次后，可將樁打進地下.（2） 由歸納法，設(shè)，則 =由于，故得 ,從而 于是 ，即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下 m.【評注】 本題巧妙地將變力作功與數(shù)列極限兩個知識點綜合起來了，有一定難度。但用定積分求變力做功并不是什么新問題，何況本題的變力十分簡單。七 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程

21、；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】 將轉(zhuǎn)化為比較簡單，=，關(guān)鍵是應(yīng)注意：= =.然后再代入原方程化簡即可.【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問題的解為 【評注】 本題的核心是第一步方程變換。八 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零， ，其中，(1) 討論F(t)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2) 證明當(dāng)t>0時，【分析】 (1) 先分別在球面坐標下計算分子的三重積分和在極坐標下計算分

22、母的重積分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定單調(diào)性；(2) 將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏螅瑯?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進行證明即可.【詳解】 (1) 因為 ， ，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t>0時，只需證明t>0時，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因為g(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t>0時，有g(shù)(t)>g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t>0時，g(t)>0,因此，當(dāng)t>0時，【評注】 本題將定積分、二重積分和三重積分等多個知識點結(jié)合起來了，但難點是證明（2）中的不等式，事實上，這里也可用柯西積分不等式證明： ，在上式中取f(

23、x)為，g(x)為即可.九 、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出，進而確定及B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一：經(jīng)計算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當(dāng)時，解，得線性無關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時，解，得線性無關(guān)的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)A的特征值為，對應(yīng)特

24、征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對應(yīng)的特征向量為由于 ，故A的特征值為當(dāng)時，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時，對應(yīng)的一個特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個特征值分別為9，9，3.對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).【評注】 設(shè)，若是A的特征值，對應(yīng)特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對應(yīng)特征向量不同，B對應(yīng)特征值的特征向量為本題計算量大，但方法思路都是常規(guī)和熟悉的，主要是考查考生的計算能力。不過利用相似矩陣有相同的特征值以及A與A*的特征值之間的關(guān)

25、系討論，可適當(dāng)降低計算量.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點，相當(dāng)于對應(yīng)線性方程組有唯一解，進而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點.方法二：必要性設(shè)三直線交于一點，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據(jù)題設(shè) ，

26、故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價于方程組 (* *)因為 =-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點.【評注】本題將三條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解的判定，而解的判定問題又可轉(zhuǎn)化為矩陣的秩計算，進而轉(zhuǎn)化為行列式的計算，綜合考查了多個知識點.十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的

27、次品件數(shù)為0，1，2，3，分別求出其概率，再按定義求數(shù)學(xué)期望即可；而求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率，涉及到兩次試驗，是典型的用全概率公式的情形，第一次試驗的各種可能結(jié)果（取到的次品數(shù)）就是要找的完備事件組.【詳解】 (1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布為 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P 因此 (2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =【評注】本題對數(shù)學(xué)期望的計算也可用分解法： 設(shè) 則的概率分布為 0 1 P 因為，所以 十二 、（本題滿分8分）設(shè)總體X的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體X中抽

28、取簡單隨機樣本，記(1) 求總體X的分布函數(shù)F(x);(2) 求統(tǒng)計量的分布函數(shù)；(3) 如果用作為的估計量，討論它是否具有無偏性.【分析】 求分布函數(shù)F(x)是基本題型；求統(tǒng)計量的分布函數(shù)，可作為多維相互獨立且同分布的隨機變量函數(shù)求分布函數(shù)，直接用定義即可；是否具有無偏性，只需檢驗是否成立.【詳解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度為 因為 =，所以作為的估計量不具有無偏性.【評注】本題表面上是一數(shù)理統(tǒng)計問題，實際上考查了求分布函數(shù)、隨機變量的函數(shù)求分布和概率密度以及數(shù)學(xué)期望的計算等多個知識點. 將數(shù)理統(tǒng)計的概念與隨機變量求分布與數(shù)字特征結(jié)合起來是一種典型的命題形式.2004年

29、數(shù)學(xué)一試題 詳解和評注二、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 .【分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點的坐標?！驹斀狻?由，得x=1, 可見切點為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評注】 本題也可先設(shè)切點為，曲線y=lnx過此切點的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有 ， 即 積分得 . 利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)=

30、 .【評注】 本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分。【詳解】 正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =【評注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定積分計算即可.（4）歐拉方程的通解為 .【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可?！驹斀狻?令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 （5

31、）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為【評注】 先化簡再計算是此類問題求解的特點，而題設(shè)含有伴隨矩陣，一般均應(yīng)先利用公式進行化簡。 （6）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】 已知連續(xù)型隨機變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計算即可?！驹斀狻?由題設(shè)，知，于是 = =【評注】 本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時再去推算。二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的

32、四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）把時的無窮小量，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先兩兩進行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項，又 =，可見是比低階的無窮小量，故應(yīng)選(B).【評注】 本題是無窮小量的比較問題，也可先將分別與進行比較，再確定相互的高低次序.（8）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對任意的有f(x)>f(0) . (D) 對任意的有f(x)>f(0)

33、 . C 【分析】 函數(shù)f(x)只在一點的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號性進行分析即可。【詳解】 由導(dǎo)數(shù)的定義，知 ，根據(jù)保號性，知存在，當(dāng)時，有 即當(dāng)時，f(x)<f(0); 而當(dāng)時，有f(x)>f(0). 故應(yīng)選(C).【評注】 題設(shè)函數(shù)一點可導(dǎo)，一般均應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進行討論。（9）設(shè)為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A) 若=0，則級數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(C) 若級數(shù)收斂，則. (D) 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往

34、可用反例通過排除法找到正確選項.【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級數(shù)收斂，但，排除(C), 故應(yīng)選(B).【評注】 本題也可用比較判別法的極限形式， ，而級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)也發(fā)散，故應(yīng)選(B).（10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導(dǎo)，再代入t=2求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應(yīng)選(B).【評注】 在應(yīng)用變限的積分對變量x求導(dǎo)時，應(yīng)注意被積函數(shù)中不能含有變量x: 否則，應(yīng)先通過恒等變形、變量代

35、換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x換到積分號外或積分線上。（11）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個相應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設(shè)，有 ， ，于是， 可見，應(yīng)選(D).【評注】 涉及到初等變換的問題，應(yīng)掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關(guān)系。（12）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)

36、. (B) A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). (C) A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (D) A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). A 【分析】A,B的行列向量組是否線性相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進行分析討論.【詳解1】 設(shè)A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)>0,r(B)>0. 可見r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).【詳解2】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，而B為非零矩陣，即Ax=0存

37、在非零解，可見A的列向量組線性相關(guān)。同理，由AB=O知，于是有的列向量組，從而B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).【評注】 AB=O是?？缄P(guān)系式，一般來說，與此相關(guān)的兩個結(jié)論是應(yīng)記住的：1） AB=O;2） AB=OB的每列均為Ax=0的解。（13）設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 此類問題的求解，可通過的定義進行分析，也可通過畫出草圖，直觀地得到結(jié)論?！驹斀狻?由標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對稱性知，于是即有 ，可見根據(jù)定義有，故應(yīng)選(C).【評注】 本題相當(dāng)于分位數(shù)，直觀地有 o 此類問題在文登學(xué)校

38、的輔導(dǎo)班上作為正態(tài)分布的一般結(jié)論總結(jié)過.（14）設(shè)隨機變量獨立同分布，且其方差為 令，則(A) Cov( (B) . (C) . (D) . A 【分析】 本題用方差和協(xié)方差的運算性質(zhì)直接計算即可，注意利用獨立性有：【詳解】 Cov( =【評注】 本題(C),(D) 兩個選項的方差也可直接計算得到：如 =， =（15）（本題滿分12分）設(shè), 證明.【分析】 根據(jù)要證不等式的形式，可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明.【證法1】 對函數(shù)在a,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 設(shè)，則， 當(dāng)t>e時， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)x>e時

39、， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時， ，即當(dāng)時，單調(diào)增加.因此當(dāng)時，即 ，故 .【評注】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進行證明即可。 （16）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.【分析】 本題是標準的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。【詳解1】 由題設(shè)，飛機的質(zhì)量m=9000k

40、g，著陸時的水平速度. 從飛機接觸跑道開始記時，設(shè)t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當(dāng)時， 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機滑行的最長距離為 或由，知，故最長距離為當(dāng)時，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當(dāng)時，所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【評注】 本題求飛機滑行的最長距離，可理解為或的極限值，這種條件應(yīng)引起注意.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分 其中是

41、曲面的上側(cè).【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 【評注】 本題選擇時應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），再就是在上直接投影積分時，應(yīng)注意符號(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負號).（18）（本題滿分11分）設(shè)有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當(dāng)時，級數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性。而正項級數(shù)的斂散性可用比較法判定。【證】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，

42、方程存在正實數(shù)根當(dāng)x>0時，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實數(shù)根由與知 ，故當(dāng)時，.而正項級數(shù)收斂，所以當(dāng)時，級數(shù)收斂. 【評注】 本題綜合考查了介值定理和無窮級數(shù)的斂散性，題型設(shè)計比較新穎，但難度并不大，只要基本概念清楚，應(yīng)該可以輕松求證。（19）（本題滿分12分）設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.【分析】 可能極值點是兩個一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【詳解】 因為 ，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(9,3)是z(x,y)的

43、極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(-9, -3)是z(x,y)的極大值點，極大值為z(-9, -3)= -3.【評注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關(guān)鍵是求可能極值點時應(yīng)注意x,y,z滿足原方程。（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進而判斷是否有非零解；或直接計算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對參數(shù)a的可能取值進行討論即可?！驹斀?】 對方程組的系數(shù)矩

44、陣A作初等行變換，有 當(dāng)a=0時， r(A)=1<n，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時，對矩陣B作初等行變換，有 可知時，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當(dāng)，即a=0或時，方程組有非零解.當(dāng)a=0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評注】 矩陣A的行列式也可這樣計算：=+，矩陣的特征值為，從而A的特征值為a,a, 故行列式（21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個線性無關(guān)的特征向量，確定A是否可相似對角化即可.【詳解】 A的特征多項式為 =當(dāng)是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當(dāng)a= -2時，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個，從而A可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而18+3a=16，解得 當(dāng)時，A的特征值為2，4，4，矩陣4E-A=秩為2