五年級上冊奧數(shù)第五講 奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用 _通用版（例題含答案）

1、.第五講 奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用一、根本概念和知識1.奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?kk為整數(shù)表示，奇數(shù)那么可以用2k+1k為整數(shù)表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。2.奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。 二、例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實際問題.例1 1+2+3+

2、1993的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析 此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù).但是假如從加數(shù)的奇、偶個數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1：1+2+3+1993又997和1993是奇數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，原式的和是奇數(shù)。解法2：1993÷2=9961，11993的自然數(shù)中，有996個偶數(shù)，有997個奇數(shù)。996個偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，997個奇數(shù)之和是奇數(shù)。因為，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以原式之和一定是奇數(shù)。例2 一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個積相差150，這個數(shù)是多少？解法1：相鄰

3、兩個奇數(shù)相差2，150是這個要求數(shù)的2倍。這個數(shù)是150÷2=75。解法2：設(shè)這個數(shù)為x，設(shè)相鄰的兩個奇數(shù)為2a+1，2a-1a1.那么有2a+1x-2a-1x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。這個要求的數(shù)是75。例3 元旦前夕，同學(xué)們互相送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？分析 此題初看似乎缺總?cè)藬?shù).但解決問題的本質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的

4、人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例4 a、b、c中有一個是5，一個是6，一個是7.求證a-1，b-2，c-3的乘積一定是偶數(shù)。證明：a、b、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，a、c中至少有一個是奇數(shù)，a-1，c-3中至少有一個是偶數(shù)。又偶數(shù)×整數(shù)=偶數(shù)，a-1×b-2×c-3是偶數(shù)。例5 任意改變某一

5、個三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個新數(shù).試證新數(shù)與原數(shù)之和不能等于999。那么有a+a=b+b=c+c=9，因為9不會是進(jìn)位后得到的又因為a、b、c是a、b、c調(diào)換順序得到的，所以a+b+c=a+b+c。因此，又有a+a+b+b+c+c=9+9+9，即2a+b+c=3×9。可見：等式左邊是偶數(shù)，等式的右邊3×9=27是奇數(shù).偶數(shù)奇數(shù).因此，等式不成立.所以，此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為999是錯誤的，命題得證。這個證明過程教給我們一種考慮問題和解決問題的方法.先假設(shè)某種說法正確，再利用假設(shè)說法和其他性質(zhì)進(jìn)展分析推理，最后得到一個不可能成立的結(jié)論，從而說明假設(shè)的說法不成立.這種考慮

6、證明的方法在數(shù)學(xué)上叫“反證法。例6 用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫成等式組：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=2019a×b×c×d-d=2019試說明：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在。解：由原題等式組可知：abcd-1=1991，bacd-1=1993，cabd-1=2019，dabc-1=2019。1991、1993、2019、2019均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，a、b、c、d分別為奇數(shù)。a×b&

7、#215;c×d=奇數(shù)。a、b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數(shù).這與原題等式組矛盾。不存在滿足題設(shè)等式組的整數(shù)a、b、c、d。例7 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉(zhuǎn).請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn).要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn).即“翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)，都不能使9只杯子全部口朝下。例8 假設(shè)n盞有拉線開關(guān)的燈亮著，規(guī)定每次拉動n-1個開關(guān)，能否把所

8、有的燈都關(guān)上？請證明此結(jié)論，或給出一種關(guān)燈的方法。證明：當(dāng)n為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有的燈關(guān)上。因為要關(guān)上一盞燈，必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的開關(guān)。由于n是奇數(shù)，所以n個奇數(shù)的和=奇數(shù)，因此要把所有的燈n盞都關(guān)上，拉動拉線開關(guān)的總次數(shù)一定是奇數(shù)。但因為規(guī)定每次拉動n-1個開關(guān)，且n-1是偶數(shù)，故按規(guī)定拉動開關(guān)的總次數(shù)一定是偶數(shù)。奇數(shù)偶數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上。當(dāng)n為偶數(shù)時，能按規(guī)定將所有燈關(guān)上.關(guān)燈的方法如下：設(shè)燈的編號為1，2，3，4，n.做如下操作：第一次，1號燈不動，拉動其余開關(guān)；第二次，2號燈不動，拉動其余開關(guān)；第三次，3號燈不動，拉動其余開關(guān)；第n次，n號燈不動，拉動其余

9、開關(guān).這時所有的燈都關(guān)上了。例9 在圓周上有1987個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍(lán)，或一次紅、一次藍(lán).最后統(tǒng)計有1987次染紅，1987次染藍(lán).求證至少有一珠子被染上過紅、藍(lán)兩種顏色。證明：假設(shè)沒有一個珠子被染上過紅、藍(lán)兩種顏色，即所有珠子都是兩次染同色.設(shè)第一次染m個珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個珠子為紅色.那么染紅色次數(shù)為2m次。2m1987偶數(shù)奇數(shù)假設(shè)不成立。至少有一個珠子被染上紅、藍(lán)兩種顏色。例10 如以下圖，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹，假如把三塊“保護(hù)樹木的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的間隔 是偶數(shù)以米為單位，這是為什么？

10、解：任意挑選三棵樹掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的間隔 c=a+b米如以下圖，假如a、b中有一個是偶數(shù)，題目已得證；假如a、b都是奇數(shù)，因為奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。例11 某校六年級學(xué)生參加區(qū)數(shù)學(xué)競賽，試題共40道，評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題給3分，答錯一題倒扣1分.某題不答給1分，請說明該校六年級參賽學(xué)生得分總和一定是偶數(shù)。解：對每個學(xué)生來說，40道題都答對共得120分，是個偶數(shù).假如答錯一道，相當(dāng)于從120分中扣4分.不管答錯多少道，扣分的總數(shù)應(yīng)是4的倍數(shù)，即扣

11、偶數(shù)分.從120里減去偶數(shù).差仍是偶數(shù).同樣，假如有某題不答，應(yīng)從120里減去3-1分.不管有多少道題沒答，扣分的總數(shù)是2的倍數(shù)，也是偶數(shù).所以從120里減去偶數(shù)，差仍是偶數(shù).因此，每個學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么全年級參賽學(xué)生得分總和也一定是偶數(shù).例12 某學(xué)校一年級一班共有25名同學(xué)，教室座位恰好排成5行，每行5個座位.把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位.問：讓這25個學(xué)生都分開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析 為了便于分析，我們可借助于以下圖，且用黑白染色幫助分析.我們把每一個黑、白格看作是一個座位.從圖中可知，已在黑格“座位上的同學(xué)要換到鄰座，必須坐到白格上；已在白格“

12、座位上的同學(xué)要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位上.因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數(shù)相等。解：從上圖可知：黑色座位有13個，白色座位有12個，1312，因此，不可能使每個座位的人換為鄰座位。例12 的解法，采用了黑白兩色間隔染著色的方法.因為整數(shù)按奇偶分類只有兩類，所以將這類問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹诎變缮g隔著色，可以幫助我們較直觀地理解和處理問題.讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染色的關(guān)系。例13 在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬，按中國象棋的走法，當(dāng)棋盤上沒有其他棋子時，這只“馬跳了假設(shè)干步后回到原處，問：“馬所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：在中國象棋中，“馬走“日字，假如

13、將棋盤上的各點(diǎn)按黑白二色間隔著色如圖，可以看出，“馬走任何一步都是從黑色點(diǎn)走到白色點(diǎn)，或從白色點(diǎn)走到黑色點(diǎn).因此，“馬從一色點(diǎn)跳到另一同色點(diǎn)，必定要跳偶數(shù)步.因此，不管開場時“馬在棋盤的哪個位置上，而且不管“馬跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步。例14 線段AB有兩個端點(diǎn)，一個端點(diǎn)染紅色，另一個端點(diǎn)染藍(lán)色.在這個AB線段中間插入n個交點(diǎn)，或染紅色，或染藍(lán)色，得到n1條小線段不重疊的線段.試證：兩個端點(diǎn)不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù)。證明：當(dāng)在AB中插入第一點(diǎn)時，無論紅或藍(lán)色，兩端色不同的線段仍是一條。插入第二點(diǎn)時有三種情況：插入點(diǎn)在兩端不同色的線段中，那么兩端不同色線段條數(shù)不變。插入點(diǎn)在兩端

14、同色的線段中，且插入點(diǎn)顏色與線段端點(diǎn)顏色一樣，那么兩端不同色線段條數(shù)不變。插入點(diǎn)在兩端同色的線段中，但插入點(diǎn)顏色與線段端點(diǎn)顏色不同，那么兩端不同色線段條數(shù)增加兩條。因此插入第二個點(diǎn)時端點(diǎn)不同色的線段數(shù)比插入第一個點(diǎn)時端點(diǎn)不同色的線段數(shù)=1多0或2，因此是奇數(shù)1或3。同樣，每增加一個點(diǎn)，端點(diǎn)不同色的線段增加偶數(shù)0或2條.因此，無論n是什么數(shù)，端點(diǎn)不同色的線段總是奇數(shù)條。習(xí)題五1.有100個自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多.問：這些數(shù)中至多有多少個偶數(shù)？2.有一串?dāng)?shù)，最前面的四個數(shù)依次是1、9、8、7.從第五個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面相鄰四個數(shù)之和的個位數(shù)字.問：在這一串?dāng)?shù)中，會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)嗎？3.求證：四個連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。4.把任意6個整數(shù)分別填入右圖中的6個小方格內(nèi)，試說明一定有一個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數(shù)之和為偶數(shù)。5.假如兩個人通一次 ，每人都記通話一次，在24小時以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為_。A必為奇數(shù)，B必為偶數(shù)，C可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。6.一次宴會上，客人們互相握手.問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。7.有12張卡片，其中有