一元二次方程易錯題 壓軸題集合

1、一選擇題（共2小題）1（2011河北區(qū)模擬）在俄羅斯民間流著這樣一道數學趣題：甲、乙兩人合養(yǎng)了若干頭羊，而每頭羊的賣價又恰與羊的頭數相等，全部賣完后，兩人按下面的方法分錢：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去為了平均分配，甲應該找補給乙多少元？（）A1元 B2元 C3元 D4元2（2015株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個結論中，錯誤的是（）A如果方程M有兩個相等的實數根，那么方程N也有兩個相等的實數根B如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C如果5是方程M的一個根，那么是方程N

2、的一個根D如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1 二填空題（共5小題）3（2016濰坊模擬）如圖，將矩形沿圖中虛線（其中xy）剪成四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼一個正方形若y=2，則x的值等于4（2015港南區(qū)二模）閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數之間有如下關系式x1+x2=，x1x2=根據該材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩實數根，則的值為5（2014貴陽）如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高動點P從點A出發(fā)，沿AD方向以cm/s的速度向點D運動設ABP的面積為

3、S1，矩形PDFE的面積為S2，運動時間為t秒（0t8），則t=秒時，S1=2S26（2014南通）已知實數m，n滿足mn2=1，則代數式m2+2n2+4m1的最小值等于7（2012德清縣自主招生）如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數k的取值范圍是三解答題（共9小題）8（2012湛江）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式x240解：x24=（x+2）（x2）x240可化為（x+2）（x2）0由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得解不等式組，得x2，解不等式組，得x2，（x+2）（x2）0的解集為x2或x2，即一元二次

4、不等式x240的解集為x2或x2（1）一元二次不等式x2160的解集為；（2）分式不等式的解集為；（3）解一元二次不等式2x23x09（2014江西模擬）等腰ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D設P點運動時間為t，PCQ的面積為S（1）求出S關于t的函數關系式；（2）當點P運動幾秒時，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論10（2013合肥模擬）實驗與操作：小明是一位動手能力很強的同學，他用橡皮泥

5、做成一個棱長為4cm的正方體（1）如圖1所示，在頂面中心位置處從上到下打一個邊長為1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊的表面積為cm2；（2）如果在第（1）題打孔后，再在正面中心位置（如圖2中的虛線所示）從前到后打一個邊長為1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥塊的表面積為cm2；（3）如果把（1）、（2）中的邊長為1cm的通孔均改為邊長為acm（a1）的通孔，能否使橡皮泥塊的表面積為118cm2？如果能，求出a，如果不能，請說明理由11（2011西寧）國家發(fā)改委公布的商品房銷售明碼標價規(guī)定，從2011年5月1日起商品房銷售實行一套一標價商品房銷售價格明碼標價后，可以自行降價、打折銷售，但漲價必

6、須重新申報某市某樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于新政策的出臺，購房者持幣觀望為了加快資金周轉，房地產開發(fā)商對價格兩次下調后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售（1）求平均每次下調的百分率；（2）某人準備以開盤均價購買一套100平方米的房子，開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：打9.8折銷售；不打折，送兩年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費是每平方米每月1.5元請問哪種方案更優(yōu)惠？12（2012重慶模擬）已知：如圖，在ABC中，B=90°，AB=5cm，BC=7cm點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動（1）如果

7、P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PBQ的面積等于6cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？（3）在（1）中，PQB的面積能否等于8cm2？說明理由13（2012開縣校級模擬）某店買進一批運動衣用了1000元，每件按10元賣出，假如全部賣出這批運動衣所得的款與買進這批運動衣所用的款的差就是利潤，按這樣計算，這次買賣所得的利潤剛好是買進11件運動衣所用的款，求這批運動衣有多少件？14（2011淄博）已知：ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2mx+=0的兩個實數根（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若AB的長為

8、2，那么ABCD的周長是多少？15（2011安徽模擬）合肥市百貨集團旗艦店2010年春節(jié)期間的各項商品銷售收入中，家用電器類收入為600萬元，占春節(jié)銷售總收入的40%，該旗艦店預計2012年春節(jié)期間各項商品銷售總收入要達到2160萬元，且計劃從2010年到2012年，每年經營收入的年增長率相同，問該旗艦店預計2011年春節(jié)期間各項商品銷售總收入為多少萬元？16（2010春樂安縣校級期末）某種產品的年產量不超過1 000t，該產品的年產量（t）與費用（萬元）之間的函數關系如圖（1）；該產品的年銷售量（t）與每噸銷售價（萬元）之間的函數關系如圖（2）若生產出的產品都能在當年銷售完，則年產量為多少噸

9、時，當年可獲得7500萬元毛利潤？（毛利潤=銷售額費用）曹子楊 一元二次方程2參考答案與試題解析一選擇題（共2小題）1（2011河北區(qū)模擬）在俄羅斯民間流著這樣一道數學趣題：甲、乙兩人合養(yǎng)了若干頭羊，而每頭羊的賣價又恰與羊的頭數相等，全部賣完后，兩人按下面的方法分錢：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去為了平均分配，甲應該找補給乙多少元？（）A1元 B2元 C3元 D4元【分析】先設甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，兩人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（02y10，2y是整數）元，當甲找給乙錢后，甲乙都得到了（5+y）元，甲給了乙10（5

10、+y）=5y元，再根據2y是奇數和偶數兩種情況進行討論即可【解答】解：設甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，兩人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（02y10，2y是整數）元，當甲找給乙錢后，甲乙都得到了（5+y）元，甲給了乙10（5+y）=5y元，有n2=20x+10+2y，（20x+10）個位為0，2y是完全平方數的個位數，2y=1，4，5，6，9，若2y是奇數，則2y=1，5，或9，20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，20x+11、20x+15、20x+19除以4的余數都是3，它們不是完全平方數，2y是偶數，2y=4或6，y=2或3若y=2，n2

11、=20x+14=2（10x+7），右邊不是完全平方數y=3，甲應該找給乙53=2（元）錢故選：B【點評】本題考查的是一元二次方程的整數根與有理根，解答此題的關鍵是根據題意設出相應的未知數，得出關于n、x、y的方程，再分類討論2（2015株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個結論中，錯誤的是（）A如果方程M有兩個相等的實數根，那么方程N也有兩個相等的實數根B如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1【分析】利用根的判別式判斷

12、A；利用根與系數的關系判斷B；利用一元二次方程的解的定義判斷C與D【解答】解：A、如果方程M有兩個相等的實數根，那么=b24ac=0，所以方程N也有兩個相等的實數根，結論正確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同，那么=b24ac0，0，所以a與c符號相同，0，所以方程N的兩根符號也相同，結論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一個根，結論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N有一個相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=

13、±1，結論錯誤，符合題意；故選：D【點評】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式的關系：0方程有兩個不相等的實數根；=0方程有兩個相等的實數根；0方程沒有實數根也考查了根與系數的關系，一元二次方程的解的定義二填空題（共5小題）3（2016濰坊模擬）如圖，將矩形沿圖中虛線（其中xy）剪成四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼一個正方形若y=2，則x的值等于+1【分析】根據三角形的相似很容易證明對應邊的相似比，所在的小直角三角形和，構成的大直角三角形相似，根據相似比可求出x值【解答】解：三角形相似對應邊成比例=，y=2x22x4=0解得：x=1（舍去），x=+1故答案為：+1【點評】本題考查理解題

14、意能力，關鍵是在圖中找到相似比構造方程求解4（2015港南區(qū)二模）閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數之間有如下關系式x1+x2=，x1x2=根據該材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩實數根，則的值為7【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，可以求得兩根之積或兩根之和，根據=，代入數值計算即可【解答】解：x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩個實數根，x1+x2=3，x1x2=1=7故答案為：7【點評】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法5（2014貴陽）如圖，在RtABC中，B

15、AC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高動點P從點A出發(fā)，沿AD方向以cm/s的速度向點D運動設ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運動時間為t秒（0t8），則t=6秒時，S1=2S2【分析】利用三角形的面積公式以及矩形的面積公式，表示出S1和S2，然后根據S1=2S2，即可列方程求解【解答】解：RtABC中，BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高，AD=BD=CD=8cm，又AP=t，則S1=APBD=×8×t=8t，PD=8t，PEBC，APEADC，PE=AP=t，S2=PDPE=（8t）t，S1=2S2，

16、8t=2（8t）t，解得：t=6故答案是：6【點評】本題考查了一元二次方程的應用，以及等腰直角三角形的性質，正確表示出S1和S2是關鍵6（2014南通）已知實數m，n滿足mn2=1，則代數式m2+2n2+4m1的最小值等于4【分析】已知等式變形后代入原式，利用完全平方公式變形，根據完全平方式恒大于等于0，即可確定出最小值【解答】解：mn2=1，即n2=m10，m1，原式=m2+2m2+4m1=m2+6m+912=（m+3）212，則代數式m2+2n2+4m1的最小值等于（1+3）212=4故答案為：4【點評】此題考查了配方法的應用，以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵7（201

17、2德清縣自主招生）如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數k的取值范圍是3k4【分析】根據原方程可得出：x1=0，x22x+=0；根據根與系數的關系，可求出方程的x1+x2和x1x2的表達式，然后根據三角形三邊關系定理求出k的取值范圍【解答】解：由題意，得：x1=0，x22x+=0；設x22x+=0的兩根分別是m、n（mn）；則m+n=2，mn=；mn=；根據三角形三邊關系定理，得：mn1m+n，即12；，解得3k4【點評】此題主要考查的是一元二次方程根與系數的關系以及三角形三邊關系定理三解答題（共9小題）8（2012湛江）先閱讀理解下面的例題，再按要求解

18、答下列問題：例題：解一元二次不等式x240解：x24=（x+2）（x2）x240可化為（x+2）（x2）0由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得解不等式組，得x2，解不等式組，得x2，（x+2）（x2）0的解集為x2或x2，即一元二次不等式x240的解集為x2或x2（1）一元二次不等式x2160的解集為x4或x4；（2）分式不等式的解集為x3或x1；（3）解一元二次不等式2x23x0【分析】（1）將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可；（2）據分式不等式大于零可以得到其分子、分母同號，從而轉化為兩個一元一次不等式組求解即可；（3）將一元二次不等式的左邊因式分解后

19、化為兩個一元一次不等式組求解即可；【解答】解：（1）x216=（x+4）（x4）x2160可化為（x+4）（x4）0由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得解不等式組，得x4，解不等式組，得x4，（x+4）（x4）0的解集為x4或x4，即一元二次不等式x2160的解集為x4或x4（2）或解得：x3或x1（3）2x23x=x（2x3）2x23x0可化為x（2x3）0由有理數的乘法法則“兩數相乘，異號得負”，得或解不等式組，得0x，解不等式組，無解，不等式2x23x0的解集為0x【點評】本題考查了一元一次不等式組及方程的應用的知識，解題的關鍵是根據已知信息經過加工得到解決此類問題的方法9（20

20、14江西模擬）等腰ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D設P點運動時間為t，PCQ的面積為S（1）求出S關于t的函數關系式；（2）當點P運動幾秒時，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論【分析】由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關系式就可得出S與t的關系，另外應注意P點的運動軌跡，它不僅在B點左側運動，達到一定時間

21、后會運動到右側，所以一些問題可能會有兩種可能出現的情況，這時我們應分條回答【解答】解：（1）當t10秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB=10t當t10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ=t，PB=t10（4分）（2）SABC=（5分）當t10秒時，SPCQ=整理得t210t+100=0無解（6分）當t10秒時，SPCQ=整理得t210t100=0解得t=5±5（舍去負值）（7分）當點P運動秒時，SPCQ=SABC（8分）（3）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變證明：過Q作QMAC，交直線AC于點M易證APEQCM，AE=PE=CM=QM=t，四邊形PEQM是平行四邊形

22、，且DE是對角線EM的一半又EM=AC=10DE=5當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變同理，當點P在點B右側時，DE=5綜上所述，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變【點評】做此類題應首先找出未知量與已知量的對應關系，利用已知量來表示未知量，許多問題就會迎刃而解10（2013合肥模擬）實驗與操作：小明是一位動手能力很強的同學，他用橡皮泥做成一個棱長為4cm的正方體（1）如圖1所示，在頂面中心位置處從上到下打一個邊長為1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊的表面積為110cm2；（2）如果在第（1）題打孔后，再在正面中心位置（如圖2中的虛線所示）從前到后打一個邊長為1cm的正方形通孔，那么

23、打孔后的橡皮泥塊的表面積為118cm2；（3）如果把（1）、（2）中的邊長為1cm的通孔均改為邊長為acm（a1）的通孔，能否使橡皮泥塊的表面積為118cm2？如果能，求出a，如果不能，請說明理由【分析】（1）打孔后的表面積=原正方體的表面積小正方形孔的面積+孔中的四個矩形的面積（2）打孔后的表面積=圖中的表面積4個小正方形孔的面積+新打的孔中的八個小矩形的面積（3）根據（1）（2）中的面積計算方法，用a表示出圖和圖的面積然后讓用得出的圖的表面積=118計算出a的值【解答】解：（1）表面積S1=962+4×4=110（cm2），故填110；（2）表面積S2=S14+4×1.

24、5×2=118（cm2），故填118；（3）能使橡皮泥塊的表面積為118cm2，理由為：S1=962a2+4a×4，S2=S14a2+4×4a4a2962a2+16a8a2+16a=1189610a2+32a=1185a216a+11=0a1=，a2=1a1，4當邊長改為cm時，表面積為118cm2【點評】對于面積問題應熟記各種圖形的面積公式另外，整體面積=各部分面積之和；剩余面積=原面積截去的面積11（2011西寧）國家發(fā)改委公布的商品房銷售明碼標價規(guī)定，從2011年5月1日起商品房銷售實行一套一標價商品房銷售價格明碼標價后，可以自行降價、打折銷售，但漲價必須重

25、新申報某市某樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于新政策的出臺，購房者持幣觀望為了加快資金周轉，房地產開發(fā)商對價格兩次下調后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售（1）求平均每次下調的百分率；（2）某人準備以開盤均價購買一套100平方米的房子，開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：打9.8折銷售；不打折，送兩年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費是每平方米每月1.5元請問哪種方案更優(yōu)惠？【分析】（1）關系式為：原價×（1降低率）2=現在的價格，把相關數值代入后求得合適的解即可；（2）費用為：總房價××平米數；費用為：總房價，把相關數值代入后求出解，比較即可【解答】解

26、：（1）設平均每次下調的百分率為x5000×（1x）2=4050（1x）2=0.81，1x=±0.9，x1=0.1=10%，x2=1.9（不合題意，舍去）答：平均每次下調的百分率為10%；（2）方案一的總費用為：100×4050×=396900元；方案二的總費用為：100×40502×12×1.5×100=401400元；方案一優(yōu)惠【點評】主要考查了一元二次方程的應用；掌握增長率的變化公式是解決本題的關鍵12（2012重慶模擬）已知：如圖，在ABC中，B=90°，AB=5cm，BC=7cm點P從點A開始沿

27、AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PBQ的面積等于6cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？（3）在（1）中，PQB的面積能否等于8cm2？說明理由【分析】（1）設經過x秒鐘，PBQ的面積等于6平方厘米，根據點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解（2）根據PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）通過判定得到的方程的根的判別式即可判定能否

28、達到8cm2【解答】解：（1）設 經過x秒以后PBQ面積為6×（5x）×2x=6整理得：x25x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后PBQ的面積等于6cm2（2）當PQ=5時，在RtPBQ中，BP2+BQ2=PQ2，（5t）2+（2t）2=52，5t210t=0，t（5t10）=0，t1=0，t2=2，當t=0或2時，PQ的長度等于5cm（3）設經過x秒以后PBQ面積為8，×（5x）×2x=8整理得：x25x+8=0=2532=70PQB的面積不能等于8cm2【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，找到關鍵描述語“PBQ的面積等于6cm2”，得出

29、等量關系是解決問題的關鍵13（2012開縣校級模擬）某店買進一批運動衣用了1000元，每件按10元賣出，假如全部賣出這批運動衣所得的款與買進這批運動衣所用的款的差就是利潤，按這樣計算，這次買賣所得的利潤剛好是買進11件運動衣所用的款，求這批運動衣有多少件？【分析】設這批運動衣有x件，則根據題中的關系，買進一批運動衣共用了1000元，則每件衣服為元，又每件按10元賣出，則利潤為10x1000，可以列出方程，從而解出其中x的值（負數舍去）【解答】解：設這批運動衣有x件，則方程兩邊同乘以x則變形為10x21000x1000×11=0解得：x1=110，x2=10（舍去）答：這批運動衣有11

30、0件【點評】做此類應用題時，要明確題目中所給的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表達式表示就可以列出方程14（2011淄博）已知：ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2mx+=0的兩個實數根（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若AB的長為2，那么ABCD的周長是多少？【分析】（1）讓根的判別式為0即可求得m，進而求得方程的根即為菱形的邊長；（2）求得m的值，進而代入原方程求得另一根，即易求得平行四邊形的周長【解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=AD，=0，即m24（）=0，整理得：（m1）2=0，解得m=1，當m=1時，原方程為x2x+=0，解得：x1=x2=0.5，故當m=1時，四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x22.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，CABCD=2×（2+0.5）=5【點評】綜合考查了平行四邊形及菱形的有關性質；利用解一元二次方程得到兩種圖形的邊長是解決本題的關鍵15（2011安徽模擬）合肥市百貨集團旗艦店201