空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【例1】已知三棱錐P-ABC中,PA面ABC,ABAC,PA=AC=AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN，M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).()證明:CMSN; ()求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn),射線(xiàn)AB,AC,AP分別為x,y,z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,0) (),因?yàn)?所以CMSN (),設(shè)a=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,則 因?yàn)樗許N與片面CMN所成角為45° 【例2】、如圖,四棱錐SABCD中,底面ABCD,A

2、B/DC, ,DC=SD=2,E為棱SB上的一點(diǎn),平面EDC平面SBC.()證明:SE=2EB;()求二面角ADEC的大小.【解析】：以D為坐標(biāo)原點(diǎn) ,射線(xiàn)DA為軸正半軸, 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 設(shè),則 () 設(shè)平面SBC的法向量為 由得 故 令 又設(shè),則 設(shè)平面CDE的法向量 則,得 故 令 由平面DEC平面SBC得 故SE=2EB. ()由()知, 取DE中點(diǎn)E,則 故,由此得 又,故, 由此得, 向量與的夾角等于二面角ADEC的平面角. 于是 所以,二面角ADEC的大小為120°. 【例3】如圖,己知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,ABCD,BD垂足為H,PH是四棱錐的

3、高,E為AD中點(diǎn). ()證明:PEBC()若=60°,求直線(xiàn)PA與平面PEH所成角的正弦值.【解析】以H為原點(diǎn),HA,HB,HP分別為x,y,z軸,線(xiàn)段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),B(0,1,0) (I)設(shè) 則 可得 因?yàn)? 所以 (II)由已知條件可得故, 設(shè)為平面PEH的法向量, 則 即 因此，取 由 可得 所以直線(xiàn)PA與平面PEH所成角的正弦值為 【例4】如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（）求證：對(duì)任意的，都有（）設(shè)二面角CAED的大小為，直線(xiàn)BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值w.w

4、.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（）（）證法2：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。（I） 解法2：由（I）得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得。易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0<，.由于，解得，即為所求?！纠?】OSABCDE如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn)（）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；

5、（）求證：平面平面；（）當(dāng)二面角的大小為時(shí)， 試判斷點(diǎn)在上的位置，并說(shuō)明理由解法一：證明：（）連接，由條件可得OSABCDE因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面（）由已知可得?是中點(diǎn)，所以又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以平面平面（）解：連接，由（）知而, 所以又所以是二面角的平面角，即OyzxSABCDE設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，在中，, , 所以又因?yàn)? ,所以是等腰直角三角形由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)解法二：（）同解法一（）證明：由（）知，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，則，所以，設(shè)（），由已知可求得所以，設(shè)平面法向量為，則 即令，得易知是平面的法向量因?yàn)?，所以，所以平面?/p>

6、面（）解：設(shè)（），由（）可知，平面法向量為因?yàn)?，所以是平面的一個(gè)法向量由已知二面角的大小為所以，所以，解得所以點(diǎn)是的中點(diǎn)【例7】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn) （）求直線(xiàn)與所成角的余弦值；（）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，并求出點(diǎn)到和的距離 【解析】：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為、，從而設(shè)的夾角為，則與所成角的余弦值為 （）由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由面可得， 即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到和的距離分別為 【例8】如圖,四棱錐S-ABCD 的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是地面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn) ()求證:ACSD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (

7、)若SD平面PAC,求二面角P-AC-D的大小()在()的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,w使得BE平面PAC若存在,求SE:EC的值;若不存在,試說(shuō)明理由解：()連接,設(shè)交與,由題意,平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸,軸,軸正方向建立直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)底面邊長(zhǎng)為,則于是,所以,從而() 由()知,平面的一個(gè)法向量平面的一個(gè)發(fā)向量,設(shè)所求二面角為,則,即二面角P-AC-D的大小是()在SC上存在一點(diǎn)E,使得BE平面PAC由()知,為平面的一個(gè)發(fā)向量,設(shè),則,即當(dāng)時(shí),而不在平面內(nèi),所以BE平面PAC【例9】如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),(1)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值;(2)證明平面(3)

8、求二面角的正弦值解本小題主要考查異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí), 考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系, 點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得, , 解:易得, 于是 所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為 證明:易知, 于是·=0,·=0.因此,又 所以平面 ()解:設(shè)平面的法向量,則,即 不妨令X=1,可得由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量 于是,從而 所以二面角的正弦值為 【例10】如圖5所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn).(I)求直線(xiàn)BE和平面ABB1A1所成

9、角的正弦值;(II)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F,使B1F/平面A1BE?證明你的結(jié)論.【解析】解法1 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,如圖所示,以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系. (I)依題意,得B(1,0,0),E(), A(0,0,0),D(0,1,0),所以 在正方體ABCDA1B1C1D1中,因?yàn)锳D平面 ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一個(gè)法向量, 設(shè)直線(xiàn)BE和平面ABB1A1所成的角為,則 即直線(xiàn)BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為 (II)依題意,得 設(shè)是平面A1BE的一個(gè)法向量,則由,得 所以取 設(shè)F是棱C1D上的點(diǎn),則F(t,1,1) 又所以 D而平面A1BE,于是 B1F

10、/平面A1BE 為C1D1的中點(diǎn),這說(shuō)明在棱C1D1上存在點(diǎn)F(C1D1的中點(diǎn)),使B1F/平面A1BE. 【例11】在直三棱柱中，A1A=AB=3，AC=3，、Q分別為棱BB1、CC1上的點(diǎn)，且.（1）求平面APQ與面ABC所成的銳二面角的大小.（2）在線(xiàn)段A1B（不包括兩端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)M，使AM+MC1最小？若存在，求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)A（0，0，0），P（3，0，），Q（0，3，2）.設(shè)平面APQ的一個(gè)法向量為令，則平面ABC的一個(gè)法向量平面APQ與面ABC所成的銳角大小為45°. （1）問(wèn)也用傳統(tǒng)方法求解.（并參照

11、計(jì)分）（2）沿A1B將面A1BC1與面A1BA展開(kāi)，連結(jié)AC1與A1B交于點(diǎn)M，此時(shí)AM+MC1有最小值.又C1A1面ABB1A1，C1A1A1B.AA1C1中，AA1C1=135°AC1=存在點(diǎn)M，使AM+AC1取最小值為【例12】在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC底面ABC， AAC=60°.()求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值；()已知點(diǎn)D滿(mǎn)足，在直線(xiàn)AA上是否存在點(diǎn)P，使DP平面ABC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解解：側(cè)面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于點(diǎn)O，A1O平面ABC.又ABC=A1AC=60°，且

12、各棱長(zhǎng)都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC.故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，.設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,1)則解得n=(-1,0,1).由cos<>=而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角，即是向量與平面AB1C的法向量所成銳角的余角，側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為()而又B(，0，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-，0，0).假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0，y，z).DP平面AB1C，n=(-1，0，1)為平面AB1C的法向量，由，得又DP平面AB1C，

13、故存在點(diǎn)P，使DP平面AB1C，其從標(biāo)為(0，0，)，即恰好為A1點(diǎn).【例13】如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD -A1B1C1D1中,E、F分別為AA1,和CC1的中點(diǎn).(I)求證:EF平面ACD,;()求異面直線(xiàn)EF與AB所成的角;()在棱BB1上是否存在一點(diǎn)P,使得二面角P-AC-B的大小為30°?若存在,求出BP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力邏輯思維能力和探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分12分. 解法一:如圖分別以DA、DC、DD1所在的直線(xiàn)為x 軸、 y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-

14、xyz,由已知 得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、 C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、 E(1,0,2 )、F(0,2,1). ()易知平面ACD1的一個(gè)法向量是 =(2,2,2). 又=(-1,2,-1), 由·= -2+4-2=0, ,而EF平面ACD1, EF平面ACD1 () =(0,2,0),cos<,>= 異面直線(xiàn)EF與AB所成的角為arccos. ()設(shè)點(diǎn)P(2,2,t)(0<t2),平面ACP的一個(gè)法向量為=(x,y,z), 則 =(0,2,t), =(-2,2,0), 取. 易知平面ABC的一個(gè)法向量,

15、 依題意知,<,>=30°或<,>=150°, |cos<,>|= 即,解得 ,在棱BB1上存在一點(diǎn)P,當(dāng)BP的長(zhǎng)為時(shí), 二面角P-AC-B的大小為30°. 解法二:()同解法一知=(-1,2,-1) ,=(-2,0,2), = (-2,2,0),-=, 、共面. 又EF平面ACD1,EF平面ACD1. 【例14】如圖,在直三棱柱中,.C1B1A1BADC()若為中點(diǎn),求證:平面平面;()在上是否存在一點(diǎn),使得二面角的大小為60°. 解解法二: ()如圖,以為原點(diǎn),所在直線(xiàn)為 軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則. 即 由得 由

16、得 又 平面 又平面 平面平面 ()當(dāng)時(shí)二面角的大小為60° 設(shè),則點(diǎn)坐標(biāo)為, 設(shè)平面的法向量為 則由 令 得 又為平面的法向量 則由 解得,故. 在上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足題意 ABC111ACB【例15】如圖,斜三棱柱,已知側(cè)面與底面垂直且,若二面角為,(1)證明平面; (2)求與平面所成角的正切值;(3)在平面內(nèi)找一點(diǎn),使三棱錐為正三棱錐,并求點(diǎn)到平面距離.解:(1) 面面,因?yàn)槊婷?,所以面. (2)取中點(diǎn),連接,在中, 是正三角形,又面且面, ,即即為二面角的平面角為30°, 面,在 中, 又面,即與面所成的線(xiàn)面角, 在中, (3)在上取點(diǎn),使,則因?yàn)槭堑闹芯€(xiàn),是的重心,在

17、中,過(guò)作ABC111ACB/交于, 面,/ 面,即點(diǎn)在平面上的射影是的中心,該點(diǎn)即為所求,且,. 【例16】如圖，在長(zhǎng)方體中，且（I）求證：對(duì)任意，總有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說(shuō)明理由答案解：（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而，即（分）（II）由（）及得，設(shè)平面的法向量為，則，從而可取平面的法向量為，又取平面的法向量為，且設(shè)二面角為，所以（分）（III） 假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿(mǎn)足分別與所成的角相等，即 ，即，解得 所以存在滿(mǎn)足題意得實(shí)數(shù)，使得在

18、平面上的射影平分 （14分）ABCDEGF【例17】 如圖，在六面體中，平面平面，平面，,且, （）求證： 平面； （）求二面角的余弦值； （） 求五面體的體積答案 (本題滿(mǎn)分13分) 解法一 向量法由已知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標(biāo)系，則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F(xiàn)（2，1，0）（），所以BFCG又BF平面ACGD，故 BF/平面ACGD 4分（），設(shè)平面BCGF的法向量為，則，令，則，而平面ADGC的法向量故二面角D-CG-F的余弦值為9分（）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM，則13分【例18】如圖，一簡(jiǎn)單幾何體

19、的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC。（1）證明：平面ACD平面；（2）若，試求該幾何體的體積V答案 5.解：（）證明： DC平面ABC ,平面ABC -2分AB是圓O的直徑且 平面ADC -4分四邊形DCBE為平行四邊形 DE/BC 平面ADC -6分又平面ADE 平面ACD平面-7分（2）解法：所求簡(jiǎn)單組合體的體積：-9分， ,-11分-12分-13分該簡(jiǎn)單幾何體的體積-14分解法5：將該簡(jiǎn)單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱-8分如圖， ,-10分=-12分 =-14分【例20】如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,

20、CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.()求證:AF平面BDE;()求證:CF平面BDE;()求二面角A-BE-D的大小【解析】:(I)證明： 設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G 因?yàn)镋F/AG,且EF=1,AG=AC=1. 所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF/平面EG, 因?yàn)槠矫鍮DE,AF平面BDE, 所以AF/平面BDE. (II)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,且CEAC, 所以CE平面ABCD. 如圖,以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C-. 則C(0,0,0),A(,0),B(0,0). 所以,. 所以, 所以,. 所以BDE. (III) 由(II)知,是平面B

21、DE的一個(gè)法向量. 設(shè)平面ABE的法向量,則,. 即 所以且 令則. 所以. 從而 因?yàn)槎娼菫殇J角, 所以二面角的大小為. 【例21】如圖,與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面平面,平面BCD,.(1)求點(diǎn)A到平面MBC的距離;(2)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值.解法二:取CD中點(diǎn)O,連OB,OM, 則.又平面平面BCD, 則平面BCD. 取O為原點(diǎn),直線(xiàn)OC、BO、OM為軸、軸、軸, 建立空間直角坐標(biāo)系如圖., 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (1)設(shè)是平面MBC的法向量,則 由 由得 取,則 (2) 設(shè)平面ACM的法向量為, 由得 解得 又平面BCD的法向量為 又平面BCD的法向量為 所以 設(shè)

22、所求二面角為,則 【例22】如圖,五面體中,.底面是正三角形,.四邊形是矩形,平面平面AABCDO(I)求這個(gè)幾何體的體積;()在上運(yùn)動(dòng),問(wèn):當(dāng)在何處時(shí),有平面,請(qǐng)說(shuō)明理由; (III)求二面角的余弦值.【解析】: (I)顯然這個(gè)五面體是四棱錐,因?yàn)閭?cè)面垂直于底面,所以正三角形的高就是這個(gè)四棱錐的高,又 , 所以. 于是 ()當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),有平面. 證明:連結(jié)連結(jié), 四邊形是矩形 為中點(diǎn), 平面, 且平面,平面 ,為的中點(diǎn) (III)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則, 所以, , 設(shè)為平面的法向量, 則有,令, 可得平面的一個(gè)法向量為, 設(shè)為平面的法向量, 則有 , 令, 可得平面的法向量, ,

23、 所以二面角的余弦值為 【例23】如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn)(1)求異面直線(xiàn)NE與AM所成角的余弦值(2)在線(xiàn)段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES平面AMN?若存在,求線(xiàn)段AS的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由w.解解析:(1)在如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo) 依題意,得. , 所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.A (2)假設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn),使得平面. , 可設(shè) 又. 由平面,得即 故,此時(shí). 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),平面. 故線(xiàn)段上存在點(diǎn),使得平面,此時(shí). 【例24】如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面

24、ACE.（）求證：AE平面BCE；（）求二面角BACE的余弦值；（）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.（）求證：平面BDF平面ABCD【解析】（）平面ACE. 二面角DABE為直二面角，且， 平面ABE. （）以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直 線(xiàn)為x軸，AB所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖.面BCE，BE面BCE， ，在的中點(diǎn)， 設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，則解得令得是平面AEC的一個(gè)法向量.又平面BAC的一個(gè)法向量為，二面角BACE的大小為（III）AD/z軸，AD=2，點(diǎn)D到平面ACE的距離【例25】多面體ABCDEF的直觀圖及三視圖分別如圖所示，

25、已知點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在DE上，且AM：MC=DN：NE=a（1）求證：MN/平面BCEF；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求二面角DMNF的余弦值的絕對(duì)值【解析】：（1）由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ABFDCE.且AB=BC=AF=2，CE=BF=，BAF=90°在CD上取一點(diǎn)G，DG：GC=DN：NE，連MG、NG。則AM：MC=DN：NE=a，NG/CE，MG/BC.平面MNG/平面BCEF.MN/平面CDEF.（2）a=1M、N分別是AC、CE的中點(diǎn).以AB、AF、AD分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是D（0，0，2），F(xiàn)（0，2，0）

26、，M（1，1），N（0，1，2） 設(shè)平面DMN的法向量設(shè)平面MNF的法向量為設(shè)二面角DMNF的平面角為，則二面角DMNF的余弦值的絕對(duì)值為 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(理科訓(xùn)練)1如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，E是PC的中點(diǎn). （1）證明 平面； （2）求EB與底面ABCD所成的角的正切值. 答案 11（本小題滿(mǎn)分12分） （I）證明：連結(jié)AC，AC交BD于O.連結(jié)EO.底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在中，EO是中位線(xiàn)，. 3分而平面EDB且平面EDB，所以平面EDB. 5分 （II）解： 作交DC于F.連結(jié)BF.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.底面ABCD，為D

27、C的中點(diǎn).底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故為直線(xiàn)EB與底面ABCD所成的角. 8分在中，在中，所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為 12分2如圖，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA1=2。 （I）求證：C1D/平面ABB1A1； （II）求直線(xiàn)BD1與平面A1C1D所成角的正弦值； （）求二面角DA1C1A的余弦值。答案 （I）證明：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1/CC1，又面ABB1A1，所以CC1/平面ABB1A1，2分ABCD是正方形，所以CD/AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，

28、所以CD/平面ABB1A1，3分所以平面CDD1C1/平面ABB1A1，所以C1D/平面ABB1A14分 （II）解：ABCD是正方形，ADCD因?yàn)锳1D平面ABCD，所以A1DAD，A1DCD，如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，5分在中，由已知可得所以， 6分因?yàn)锳1D平面ABCD，所以A1D平面A1B1C1D1A1DB1D1。又B1D1A1C1，所以B1D1平面A1C1D，7分所以平面A1C1D的一個(gè)法向量為n=（1，1，0）8分設(shè)與n所成的角為，則所以直線(xiàn)BD1與平面A1C1D所成角的正弦值為9分 （III）解：平面A1C1A的法向量為 則 所以 令可得 11分則所以二面角的余

29、弦值為12分3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC12，ACBC，D為AB的中點(diǎn).（1）求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值；（2）求證：；（3）求證：答案 5. 解：（1）在直三棱柱中 是所成的角（或其補(bǔ)角）2分 在中， 4分 （2）連結(jié)交于，連結(jié)。5分 則為的中點(diǎn) 又為的中點(diǎn) 7分 9分 （3）在直三棱柱中 10分 11分 12分 同理： 13分4如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2（1）求證：AE/平面DCF；（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為【分析】（1）只要過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)即可；（2）由于點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)

30、的射影，只要過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計(jì)算問(wèn)題?；蛘呓⒖臻g直角坐標(biāo)系，使用法向量的方法求解。DABEFCHG【解析】 方法一：（）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故因?yàn)槠矫?，平面，所以平?分（）解：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，連結(jié)由平面平面，得平面，從而所以為二面角的平面角在中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，從而，于是，因?yàn)樗援?dāng)為時(shí)，二面角的大小為12分DABEFCyzx方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，（）證明：，所以，從而，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面故平?分（）

31、解：因?yàn)?，所以，從而解得所以，設(shè)與平面垂直，則，解得又因?yàn)槠矫妫?，得到所以?dāng)為時(shí)，二面角的大小為12分【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系，空間向量與立體幾何?！军c(diǎn)評(píng)】由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問(wèn)題也有其相對(duì)的缺陷，那就是空間向量的運(yùn)算問(wèn)題，空間向量有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用。5. 已知四棱錐PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD.異面直線(xiàn)PB與CD所成的角為45°.求： 二面角BPCD的大??；直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角的大小.解：ABCD，PBA就是PB與CD所成的角，即PBA=45°,1分 于是PA=AB