2019-2020整式找規(guī)律專題(含答案)

1、-2019-2020整式找規(guī)律專題（含答案）一、解答題1 你會求的值嗎 ? 這個問題看上去很復雜，我們可以先考慮簡單的情況，通過計算，探索規(guī)律：（ 1）由上面的規(guī)律我們可以大膽猜=_想，得到利用上面的結論，求（ 2）的值；（ 3）求的值 .2 下列是用火柴棒拼出的一列圖形仔細觀察，找出規(guī)律，解答下列各題： 第4個圖中共有_ 根火柴，第6 個圖中共有_ 根火柴； 第 n 個圖形中共有_ 根火柴 (用含 n 的式子表示)若 f(n)=2n-的1（如 f(-2)=2請判斷上組圖形中前20173 觀察下列算式：111111;21212623f(1)+f(2)+f(2017)×(-2)-1，

2、f(3)=2×3- 1），求值2017個圖形火柴總數(shù)201的倍數(shù)嗎，并說明理7是由 ?111111; ? ?23123 434（）通過觀察，你得到什么結論？用n1含（ n 為正整數(shù)）的等式表示：_ （ 2 ）利用你得出的結論，計算：1111(a 1)(a 2)(a 2)(a 3)(a 3)(a 4)(a 4)( a 5)4 觀察以下等式：第 2 個等式：第 1個等式：-10101 ，121211111 ，2323-第 31212個等式：1 ，第 43434個等式： 1313第 5個等式： 41，54514141，5656? ?按照以上規(guī)律，解決下列問題：（ 1 ）寫出第 6 個等式：

3、；（ 2 ）寫出你猜想的第n 個等式：(用含 n的等式表示) ，并證明 .5先觀察： 1 = ×， 1 = ×， 1 = ×， ?（ 1 ）探究規(guī)律填空： 1 =×；（ 2）計算：（ 1） ?（1 ） ?（1） ?（1）6 我們知道，? ?(1) 猜想： 1 3 +2 3 +3 3 +?+(n 1) 3 +n 3 = × ( ) 2× () 2(2) 計算： 13+2 3 +3 3+? +99 3+1003 ； 2 3+4 3+6 3+? +98 3+100 37 有規(guī)律排列的一列數(shù)：2,4,6,8,10,12， ?，它的每一項可用式

4、子2n(n是正整數(shù))來表示；則有規(guī)律排列的一列數(shù)：1， 2,3 ， 4,5 ， 6,7 ， 8， ?(1) 它的每一項你認為可用怎樣的式子來表示？(2) 它的第 100 個數(shù)是多少？(3)2 017是不是這列數(shù)中的數(shù)？如果是，是第幾個數(shù)？都是不等x1， x ， x， ? x于0 的有理數(shù)，若 y，求 y 的值208 已知 x1 23161=1x1當 x 1 0時， y 1 x 1x1；當 x1x1x1 = 1 ，所以=1 0時， y1 =y1= ±1x 1x1x1x 1-（ 1）若y 2=x1+ x2，求 y 2 的值x1x2-（ 2）若y 3=x1+ x 2+ x 3，則 y 3的

5、值為；x1x 2x 3（ 3）由以上探究猜想，x2016 共有y 2016 =x 1+ x 2 + x 3+? +個不同的值，在y2016 這些不同x 1x 2x 3x2016的值中，最大的值和最小的值的差等于9（ 1 ）填空：（）_ ；（）_ ；（）_ ；（ 2 ）猜想：a-b ）（ a n-1 +a n-2 b+a n-3 b 2+?+ab n-2 +b n-1 ） = _ （其中 n 為正整n 2）（數(shù)，且；）利用（2 ）猜想的結論計（ 3算：98722 +2 +2+? +2 +2+1 2 10-2 9+2 8-? -2 3+22 - 21 仔細閱讀下面的例題，找出其中規(guī)律，并解決問0

6、題：例：求1 2 2223242017的值 .2解：令 S1 2222 32 422017 ，則 2S22223242522018，所以 2S S20181，即S= 22018，21所以 1222232422017 220181仿照以上推理過程，計算下列式子的值：51015525354013323334353201611 如圖所示，用棋子擺成的“上 ”字：如果按照以上規(guī)律繼續(xù)擺下去，那么通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)：（ 1 ）第四、第五個“上 ”字分別需用第一個 “上 ”字 第二個 “上”字第三個 “上 ”字和-枚棋子（ 2 ）n 個 “上”字需用枚棋子第-（ 3 ）如果某一圖形共有102枚棋子，你知道

7、它是第幾個“上 ”字嗎？12 觀察下列三行數(shù)：0， 3， 8， 15，24, ?2， 5，10 ， 17 ，26 ，?0， 6，16 ， 30 ，48 ，?（ 1 ）第 行數(shù)按什么規(guī)律排列的，請寫出來？（ 2 ）第 、 行數(shù)與第 行數(shù)分別對比有什么關系？）（ 3 ）取每行的第個數(shù)，求這三個數(shù)的和13 觀察下列各式：? ?由上面的規(guī)律：（ 1）求的值；（ 2）求? +2+1 的個位數(shù)字（ 3）你能用其它方法求出的值嗎？14 有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：第一個數(shù)是；第二個數(shù)是；第三個數(shù)是；?對任何正整數(shù)n ，第 n 個數(shù)與第（n+1 ）個數(shù)的和等于（ 1 ）經(jīng)過探究，我們發(fā)現(xiàn)：設這列數(shù)的第5

8、個數(shù)為a ，那么，哪個正確？請你直接寫出正確的結論；（ 2 ）請你觀察第1 個數(shù)、第 2 個數(shù)、第 3 個數(shù)，猜想這列數(shù)的第n 個數(shù)（即用正整數(shù)n 表示第n 數(shù)），-并且證明你的猜想滿“第 n 個數(shù)與第（n+1 ）個數(shù)的和足等于”；（3）設 M 表示，?，這 2016個數(shù)的和，即，求證：15 觀察下列等式：111第 1個等式： a 1(1)1323第 2個等式： a 211 ( 11 )352 35第 3等式： a 311 (11 )57257第 4個等式： a 411 ( 11 )792 79請解答下列問題：（ 1 ）按以上規(guī)律寫出第 5 個等式： a 5 （ 2 ）用含 n 的式子表示第n

9、 個等式： a n （ n 為正整數(shù)）（ 3 ）求 a1+a2+a3+a 4+?+a2018的值16 這是一個很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞？阿基米德對國王說： “我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒， 第三格放四粒， 第四格放八粒 ? ?按這個方法放滿整個棋盤就行?！眹跻詾橐涣硕嗌偌Z食，就隨口答應了,結果國王輸了（ 1）我們知道, 國際象棋共有64 個格子 , 則在第64 格中應放多少米？（用冪表示）（ 2）請?zhí)骄康冢? ）中的數(shù)的末位數(shù)字是多少? （簡要寫出探究過程）（ 3）你知道國王輸給了阿基米德多少粒米嗎?為解決這個問題 , 我們先來看下

10、面的解題過程：用分數(shù)表示無限循環(huán)小數(shù)：解：設等式兩邊同時乘以2將 得： 9x2 , 則 x， 910,得請參照以上解法求出國王輸給阿基米德的米粒數(shù)（用冪的形式表示）17 觀察下列等式：第一個等式：第二個等式：-第三個等式：第四個等式：按上述規(guī)律，回答下列問題：請寫出第六個等式：_；用含 n 的代數(shù)式表示n 個等第式：_ _ ；_ 得出最簡結果；計算：18我國古籍周髀算經(jīng)中早有記“”.，下面我們來探究兩類特殊的勾股載勾三股四弦五數(shù)通過觀察完成下面兩個表格中的空格（以a、 b 、 c 為下Rt ABC的三邊，且a b c ）：表一表二abcabc34568105121381517724251024

11、269411237a 為大于（ 1 ）仔細觀察，表一中1的奇數(shù)，此時 b、 c 的數(shù)量關系是_ ，a、 b 、 c 之間的數(shù)量關系是_ ；a 為大于（ 2 ）仔細觀察，表二中4的偶數(shù)，此時 b、 c 的數(shù)量關系是_ ，a、 b 、 c 之間的數(shù)量關系是_ ；“ 3， 4 ， 5”與表二中的 “ 6， 8 ， 10 ”成倍數(shù)關系，表一中（ 3 ）我們還發(fā)現(xiàn)，表一中的三邊長的 “5，12 ， 13 ”與表二中的“10，24，26”恰好也成倍數(shù)關系? ? 請直接利用這一規(guī)律計算：在Rt ABC34中，當 a， b時，斜邊 c的值 .5519 觀察以下一系列等式： 2 1 2 0=2 1=2 0； 2

12、 2 2 1=4 2=21 ； 2 3 2 2=8 4=2 2； _： ?-（ 1 ）請按這個順序仿照前面的等式寫出第 個等式： _；（ 2 ）根據(jù)你上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含字n 的式子表示第n 個等式：母_；-3 ）請利用上述規(guī)律計（算：2 0+2 1+2 2+2 3+?+2 100 21 ，1，1 ，1 ，1? 根據(jù)規(guī)律可0觀察下列有規(guī)律的數(shù)：，1 知26122030421 第 7 個數(shù)是 _ ，第 n個數(shù)是 _（ n為正整數(shù)）；21 是第 _ 個數(shù)算.26122030422016201721 觀察下列算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？12= 1 2 3 ；12+22= 2

13、35 ； 12+22+32= 3 47 ；12+22+32+42= 4 5 9； ?6666(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算下面算式的值；1 22 23 28 2_；請用一個含 n 的算式表示這個規(guī)律：(2)1 2223 2n 2_22 觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規(guī)律：(1) 在 和后面的橫線上分別寫出相應的等式： 1 1 2； 1 3 2 2； 1 3 5 3 2； _ ； _ ；? .(2) 通過猜想寫出與第 n 個點陣圖相對應的等式23 把 2100個連續(xù)的正整數(shù)1、 2 、 3 、 ? ?、 2100 ，按如圖方式排列成一個數(shù)表，如圖用一個正方形框在表中任意框4 個數(shù)，設左上

14、角的數(shù)x 住為（ 1 ） 另外三個數(shù)用x 的式子表示出來，從小到大排_含列是（ 2 ） 被框住 4 個數(shù)的和為 416 時， x 值為多少？（ 3 ） 能否框住四個數(shù)和為324 ？若能，求出 x 值；若不能，說明理由（ 4 ） 從左到右，第1 至第 7 列各數(shù)之和分別為a 1、 a2 、a3 、 a4 、a5 、 a6、 a7 ，請直接寫出7 個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)之差-1258114bb5，?24 觀察下面的一組分式：b ，b 23 ，b 4aaaaa（ 1 ）求第 10 個分式是多少？（ 2 ）列出第 n 個分式25 一張長方形的桌子有6 個座位，小剛和小麗分別用長方形桌子設計了一種擺放

15、方式：（ 1 ）小剛按方式一將桌子拼在一起如左圖 .3 張桌子在一起共有 _個座位， n 張桌子拼在一起共有 _個座位。（ 2 ）小麗按方式二將桌子拼在一起如右圖 .3 張桌子在一起共有 _ 個座位， m 張桌子拼在一起共有 _ 個座位。（ 3 ）某食堂有A 、 B 兩個餐廳，現(xiàn)有300張這樣的長方形桌子，計劃把這些桌子全放在兩個餐廳，每個餐廳都要放有桌子。將a 張桌子放在A 餐廳，按方式一每6 張桌子拼成一張大桌子；將其余桌子都放在B 餐廳，按照方式二每4 張桌子拼成一張大桌子。若兩個餐廳一共有1185個座位，A 、B兩個餐廳各有多少個座位？26 生活與數(shù)學（ 1 ）吉姆同學在某月的日歷上圈

16、出2× 2 個數(shù)，正方形的方框內(nèi)的四個數(shù)的和是32 ，那么第一個數(shù)是；（ 2 ）瑪麗也在上面的日歷上圈出2 × 2 個數(shù)，斜框內(nèi)的四個數(shù)的和是42 ，則它們分別是；（ 3 ）莉莉也在日歷上圈出5 個數(shù)，呈十字框形，它們的和是50 ，則中間的數(shù)是；-（ 4 ）某月有 5 個星期日的和是75 ，則這個月中最后一個星期日是號；（ 5 ）若干個偶數(shù)按每行8 個數(shù)排成下圖： 圖中方框內(nèi)的9 個數(shù)的和與中間的數(shù)的關系是； 湯姆所畫的斜框內(nèi)9 個數(shù)的和為360 ，則斜框的中間一個數(shù)是；托馬斯也畫了一個斜框，斜框252 ，則斜框的中間一個數(shù)內(nèi)9 個數(shù)的和為是27 我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，如

17、 4657 4 10361025 10 1 7 10 0 ，數(shù)要用 10 個數(shù)碼（又叫數(shù)字）： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、7 、 8 、 9 ，在電子計算機中用的二進制，只要兩個數(shù)碼：0和1，如二進制中11012 2121 020 等于十進制的數(shù)6 ， 1101011 2 51 2 40 2 312 0 等于十進制的數(shù)53. 那么二進制中的1 2 20 2 1數(shù)101011等于十進制中的哪個數(shù)？“奇特數(shù) ”，如： 828 如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方那么稱這個正整數(shù)212 ，差，為352，?因此 8、16、165232, 24 7224這三個數(shù)都是奇特數(shù)

18、.(1)56是奇特數(shù)嗎？為什么？(2) 設兩個連續(xù)奇數(shù)為2n1 和 2n1 ( 其中 n 取正整數(shù) )，由這兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8 的倍數(shù)嗎？為什么？29 如下數(shù)表是由1 開始的連續(xù)自然數(shù)組成的，觀察規(guī)律并完成各題的解答-（ 1）表示第9行的最后一個數(shù)是（ 2）用含 n 的代數(shù)式表示：第n 行的第一個數(shù)，第 n 行共有個數(shù)；第n行各數(shù)是之和是x ，也稱為取整函數(shù)，x 表示不超過 x 的最大整數(shù)30 高斯函數(shù)即. 例如：2.92 ，1.52.試探索：（ 1）5_,_；（ 2） 2.72.3_；（ 3） 2017 32017 42017 52017 62017 72017 8_.111111

19、111111-參考答案1（ 1）；（ 2）；（ 3）【解析】分析：（ 1 ）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，即可得出答案；（ 2 ）先變形，再根據(jù)規(guī)律得出答案即可；（ 3 ）先變形，再根據(jù)算式得出即可詳解：（ 1 ）1）（ a2018 +a 2017 +a 2016 +? +a 2 +a+1=a 2019 1 （ a ）故答案為：a 2019 1 ；（ 2 ） 2 2018 +2 2017 +2 2016 +? +2 2+2+1=（ 2 1 ） ×（ 22018 +2 2017 +2 2016 +?+2 2 +2+1 ）=2 2019 1故答案為：2 2019 1 ；（ 3）（）（）點睛：本題

20、考查了整式的混合運算的應用，能根據(jù)題目中的算式得出規(guī)律是解答此題的關鍵，難度適中2 1725(4n+1)【解析】試題分析：對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點試題解析：（1 ）第 4 個圖案中火柴有4× 4+1=17；第 6 個圖案中火柴4× 6+1=25；有（ 2 ）n=時，火柴的根數(shù)4 × 1+1=5 ；當1是當 n=2時，火柴的根數(shù)是4× 2+1=9 ；當 n=3時，火柴的根數(shù)是4× 3+1=13 ；所以第n 個圖形中火柴有4n+1

21、（ 3 ） f(1)=2 × 1-1=1 ，f(2)=2× 2-1=3 ，f(3)=2× 3-1=5 ，-f 1 f2f 2017（）（）（ 2?2017-2 11+ 2?2-1 +1)201720172 （12+ +2017） -20172017（ 1 2017）-2017=2017.20172017（ 4 ） 4 × 1+1+4 × 2+1+ +4 ×2017+1=4 ×（ 1+2+ +2017） +1 ×20171=4 × ×（ 1+2017）× 2017+20172=2 

22、15;（ 1+2017）× 2017+2017=4037× 2017.是 2017倍數(shù) .11143（ 1）(2)n(n 1)nn 1(a 1)(a 5)【解析】【分析】(1) 觀察已知算式，可總結出裂項原理.(2) 利用裂項原理，可以計算給定算式.【詳解】（ 1 ）觀察算式，可以把分母上的數(shù)化為兩個相鄰自然數(shù)的積，再裂項，可總結結論有111n n1 n n 1 .1111(2)a1 a2 a2 a3a 3 a4a 4 a 511111111=a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 511=a1a54=a 1 a 5.【點睛】列項法的使用11111111

23、11n-12 23 +nn 1= 1223+nn 1=1-n 1= n 1 .-111 ，注意：1-nn 1nn 11111推廣：n n 22 n n 24（ 11+5 +15 =1；（2 ）67671n11n .n 1n 1 n 1n 11111,.2n 12n12 2n 1 2n 11 + n1 + 1n1 =1，證明見解析 .nn1nn1【解析】【分析】（ 1）根據(jù)觀察到的規(guī)律寫出第6 個等式即可；2 ）根據(jù)觀察到的規(guī)律寫出n 個等式，然后根據(jù)分式的運算對等式的左邊進行化簡即（第可得證 .【詳解】（ 1 ）觀察可知6 個等式為：15151 ，第6767故答案為：15151 ；6767（

24、2 ）猜想：1n-11n-11，nn1nn1n （ n-1 ） n-1n （ n1 ）證明：左邊 = 1n-11n-1= n1=1 ，nn1nn1n （ n1 ）n （ n1 ）右邊 =1，左邊=右邊， 原等式成立，1n-11n-1 第 n 個等式為：1 ，nn 1nn1故答案為：1n-11n-11.nn1nn1【點睛】本題考查了規(guī)律題，通過觀察、歸納、抽象出等式的規(guī)律與序號的關系是解題的關鍵 .5（ 1），（ 2）【解析】試題分析：（ 1 ）經(jīng)過觀察、分析可得：；（ 2 ）由（ 1 ）中所得規(guī)律將（2 ）中每個形如“”的式子分解為“”的形式，再利用乘法的結合律把“互為倒數(shù)的兩個數(shù)結合在一起先

25、乘”就可計算出結果了.-試題解析：（1），；（ 2）原式 = .點睛：求解本題有兩個關鍵點：（ 1 ）觀察、分析所給的式子，找到規(guī)律，能把化成的形式；（ 2 ）由（ 1 ）中所得規(guī)律把原式改寫為：的形式后，能夠發(fā)現(xiàn)除了第一個因數(shù)“”和最后一個因數(shù)“”外，從第二個因數(shù)開始，依次每兩個因數(shù)都是互為倒數(shù)的，這樣就可利用乘法的結合律簡便的算出結果了.6 (1)n ， n+1 (2) 25502500(3) 13005000【解析】試題分析：（ 1 ）通過觀察，從1 開始的連續(xù)自然數(shù)的立方和等于最后一個數(shù)的平方與比它大 1 的數(shù)的平方的積的，然后寫出即可；（ 2 ）根據(jù)（ 1 ）的公式，令n=100即可

26、求解.試題解析：(1)n n+1(2)由 (1) 得 1 3+2 3+3 3+ ?+99 3+1003= × 100 2 ×101 2=25 502 500(3)2 3+4 3+63+98 3+100 3=(2 ×1)×2) 3+(2 ×3)+?3+(23+333333333333333333?+(2××5=× 1× 2×3+?× 49× 50×(+2+? +49)=13005049)+(20)2+2+2+2+2=21+3+50007 (1) ( 1) n 1n(n是正整數(shù) ) (2) 100(3)2017是其中的第2017個數(shù)【解析】試題分析：觀察這個有規(guī)律的數(shù)我們可發(fā)現(xiàn)，它的所有的奇數(shù)都是正數(shù)，所有的偶數(shù)都是負數(shù)，那么們可以表示出n 項的數(shù)就應該是我它的第（-1 ） n+1n （ n 是正整數(shù)）， n 是奇 n+1是偶數(shù)，當數(shù)時，（ -1 ） n+1 n就是正n 是偶數(shù)時， n+1是奇數(shù)，（ -1）n+1n 就是負數(shù)，符合了這個數(shù)列的規(guī)律可數(shù)，當-