《邏輯代數(shù)基礎(chǔ)h》ppt課件

1、內(nèi)容提要內(nèi)容提要分析和設(shè)計數(shù)字邏輯的重要數(shù)學(xué)工具分析和設(shè)計數(shù)字邏輯的重要數(shù)學(xué)工具邏邏輯代數(shù)的根本概念、公式和定理。輯代數(shù)的根本概念、公式和定理。邏輯函數(shù)的幾種表示方法真值表、函數(shù)表達(dá)邏輯函數(shù)的幾種表示方法真值表、函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖及其相互轉(zhuǎn)換。式、邏輯圖和卡諾圖及其相互轉(zhuǎn)換。邏輯函數(shù)的兩種化簡方法邏輯函數(shù)的兩種化簡方法公式化簡法和圖公式化簡法和圖形化簡法。形化簡法。Multisim10電路仿真軟件的用法。電路仿真軟件的用法。數(shù)字電子技術(shù)根底適用教程數(shù)字電子技術(shù)根底適用教程雙雙 語語 對對 照照與與 and或或 or非非 not與非與非 nand或非或非 nor與或非與或非 and-or

2、-invert異或異或 exclusive-or同或同或 exclusive-nor 真值表真值表 truth table函數(shù)式函數(shù)式 functional expression最小項最小項 miniterm波形圖波形圖 timing diagram化簡化簡 simplification卡諾圖卡諾圖 karnaugh map無關(guān)最小項無關(guān)最小項 dont care minterm雙雙 語語 對對 照照2.1 邏輯代數(shù)的根本運算和復(fù)合運算邏輯代數(shù)的根本運算和復(fù)合運算數(shù)字電路要研討的是電路的輸入輸出之間的邏數(shù)字電路要研討的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研討輯關(guān)系，

3、所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研討工具是邏輯代數(shù)布爾代數(shù)工具是邏輯代數(shù)布爾代數(shù) Boolean algebra 邏輯變量：描畫事物兩種對立的邏輯形狀的變邏輯變量：描畫事物兩種對立的邏輯形狀的變量。只需兩個值二值變量，即量。只需兩個值二值變量，即0和和1，中間值沒，中間值沒有意義。有意義。2.1.1邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯變量與邏輯函數(shù)0和和1表示兩個對立的邏輯形狀。表示兩個對立的邏輯形狀。例如：電位的低高例如：電位的低高0表示低電位，表示低電位，1表示高電位、表示高電位、開關(guān)的開合等。開關(guān)的開合等。邏輯函數(shù)：邏輯函數(shù)： 以邏輯變量為輸入，運算結(jié)果作為輸出，以邏輯變量為輸入，運算結(jié)果作為輸出，假

4、設(shè)輸入變量的值確定后，輸出的值也隨之假設(shè)輸入變量的值確定后，輸出的值也隨之確定，這種函數(shù)關(guān)系。確定，這種函數(shù)關(guān)系。C,.)B,F(A,Y 邏輯函數(shù)與普通函數(shù)一樣，可以用字母來表示：邏輯函數(shù)與普通函數(shù)一樣，可以用字母來表示：無論變量還是函數(shù)，其取值只需兩種：無論變量還是函數(shù)，其取值只需兩種：0或或1根本邏輯運算：與根本邏輯運算：與 ( and )、或、或 (or ) 非非 ( not ) 2.1.2根本邏輯運算根本邏輯運算1、“與邏輯與邏輯與邏輯：決議事件發(fā)生的各條件中，一切條件與邏輯：決議事件發(fā)生的各條件中，一切條件都具備，事件才會發(fā)生成立都具備，事件才會發(fā)生成立規(guī)定規(guī)定: 開關(guān)合為邏輯開關(guān)合

5、為邏輯“1 開關(guān)斷為邏輯開關(guān)斷為邏輯“0 燈亮為邏輯燈亮為邏輯“1 燈滅為邏輯燈滅為邏輯“0 邏輯符號：邏輯符號：AYB000100010111邏輯式：邏輯式：Y=AB邏輯乘法邏輯乘法邏輯與邏輯與真值表真值表真值表特點真值表特點: 有有0 出出0, 全全1出出1與邏輯運算規(guī)那么：與邏輯運算規(guī)那么：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=12、 “或邏輯或邏輯AEYBC或邏輯：決議事件發(fā)生的各條件中，有一個或一個以或邏輯：決議事件發(fā)生的各條件中，有一個或一個以上的條件具備，事件就會發(fā)生成立。上的條件具備，事件就會發(fā)生成立。規(guī)定規(guī)定: 開關(guān)合為邏輯開關(guān)合為邏輯“1 開關(guān)斷為邏輯開關(guān)斷為邏輯“0

6、燈亮為邏輯燈亮為邏輯“1 燈滅為邏輯燈滅為邏輯“0 AYBC00001001010111010011101101111111真值表真值表 1ABCY邏輯符號：邏輯符號：邏輯式：邏輯式：Y=A+B+C邏輯加法邏輯加法邏輯或邏輯或AEYBC真值表特點：真值表特點： 有有1 出出1, 全全0出出0?；蜻壿嬤\算規(guī)那么或邏輯運算規(guī)那么:0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=13、 “非邏輯非邏輯“非邏輯：決議事件發(fā)生的條件只需一個，條件非邏輯：決議事件發(fā)生的條件只需一個，條件不具備時事件發(fā)生成立，條件具備不具備時事件發(fā)生成立，條件具備時事件反而不發(fā)生。時事件反而不發(fā)生。規(guī)定規(guī)定: 開關(guān)合為邏輯開關(guān)合

7、為邏輯“1 開關(guān)斷為邏輯開關(guān)斷為邏輯“0 燈亮為邏輯燈亮為邏輯“1 燈滅為邏輯燈滅為邏輯“0 AEYR邏輯符號：邏輯符號：邏輯非邏輯非邏輯反邏輯反AY0110真值表真值表AEYR真值表特點真值表特點: 1出出0, 0出出1。AY 邏輯式：邏輯式：運算規(guī)那么：運算規(guī)那么：10,01AY12.1.32.1.3復(fù)合邏輯運算復(fù)合邏輯運算“與、與、“或、或、“非是三種根本的邏輯關(guān)非是三種根本的邏輯關(guān)系，任何其它的邏輯關(guān)系都可以以它們?yōu)楦紫?，任何其它的邏輯關(guān)系都可以以它們?yōu)楦妆硎尽１硎?。CBAY與非與非(nand)：條件條件A、B、C都具備，那都具備，那么么F 不發(fā)生。不發(fā)生。&ABCY其他幾

8、種常用的邏輯關(guān)系如下表：其他幾種常用的邏輯關(guān)系如下表：AYBC 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0與非真值表特點與非真值表特點: 有有0 出出1, 全全1出出0。真值表真值表CBAY或非或非(nor)：條件條件A、B、C任一具備，任一具備，那么那么F 不發(fā)不發(fā)生。生。 1ABCYBABABAY異或異或(exclusive-or )：條件條件A、B有一個有一個具備，另一個不具具備，另一個不具備那么備那么F 發(fā)生。發(fā)生。=1ABY同或同或(exclusive-nor )：條件：條件A、B一樣，那么一樣，那么

9、F 發(fā)生。發(fā)生。=1ABYBABAABY根本邏輯關(guān)系小結(jié)根本邏輯關(guān)系小結(jié) 邏輯邏輯 符號符號 表示式表示式與與&ABYABY1或或非非1YAY=ABY=A+B與非與非&ABY或非或非ABY1異或異或=1ABYY= ABAY ABY BAY表表2.1.6與或非邏輯真值表與或非邏輯真值表邏輯符號邏輯符號2.2 邏輯代數(shù)的根本公式和常用公式邏輯代數(shù)的根本公式和常用公式2.2.1 根本公式根本公式2.2.2常用公式常用公式2.3邏輯代數(shù)的根本運算規(guī)那么邏輯代數(shù)的根本運算規(guī)那么2.3.1 代入規(guī)那么：代入規(guī)那么： 任何一個含有某變量的等式，假設(shè)等式中一切任何一個含有某變量的等式，假設(shè)等式

10、中一切出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式，那出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式，那么等式依然成立。這一規(guī)那么稱為代入規(guī)那么。么等式依然成立。這一規(guī)那么稱為代入規(guī)那么。 運算順序：運算順序：1. 2.與乘與乘 3.或加或加替代等式兩邊的替代等式兩邊的A，等式依然成立，即，等式依然成立，即BAAB假設(shè)假設(shè)用用ACZ CBABACBAC例如：例如：nnAAAAAAAA.321321還可以推行到還可以推行到n個變量個變量或或nnAAAAAAAA.321321用途：擴(kuò)展定理的運用范圍用途：擴(kuò)展定理的運用范圍Z=AC【例【例2.3.1】知等式】知等式CC，試證，試證明將一切出現(xiàn)明將一切出現(xiàn)C的地方

11、用的地方用DE代入后，等式依代入后，等式依然成立。然成立。證明：證明：左邊左邊DEDEDE右邊右邊DEDE所以，左邊右邊所以，左邊右邊2.3.2 反演規(guī)那么：將函數(shù)式反演規(guī)那么：將函數(shù)式 F 中一切的中一切的 + 變量及常數(shù)均取反變量及常數(shù)均取反 求反運算求反運算互補運算互補運算1.運算順序：先括號運算順序：先括號 再乘法再乘法 后加法后加法2.多個變量上的反號先不動多個變量上的反號先不動留意留意:用途：實現(xiàn)互補運算求反運算用途：實現(xiàn)互補運算求反運算新表達(dá)式：新表達(dá)式：F顯然：顯然：FF (變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變)【例【例2.3.3】 求函數(shù)求函數(shù) 的

12、反函數(shù)。的反函數(shù)。CDCABY)(CDCBCADCCBAY)(解：根據(jù)反演規(guī)那么可以寫出結(jié)果為解：根據(jù)反演規(guī)那么可以寫出結(jié)果為例例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF與或式與或式留意留意括號括號01 DCBAFDBDACBCAF 1求反求反或或)(EDCBA 例例2：EDCBAF2 EDCBAF 2與或式與或式反號不動反號不動EDCBAF 2EDACABAF 2求反求反或或2.3.3 對偶規(guī)那么：對偶規(guī)那么： + 0 1 新表達(dá)式：新表達(dá)式：F對偶表達(dá)式對偶表達(dá)式留意留意:1、變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變、變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變運算順序：先括號運算順序：先括號 再乘法再乘

13、法 后加法后加法2.假設(shè)兩個邏輯表達(dá)式假設(shè)兩個邏輯表達(dá)式 F=G，那么它們的，那么它們的對偶表達(dá)式也相等，即對偶表達(dá)式也相等，即 F = G用途：減少需證明的公式。用途：減少需證明的公式。將函數(shù)式將函數(shù)式 F 中一切的中一切的【例【例2.3.4】 證明恒等式證明恒等式A+BC=A+BA+C解：根據(jù)對偶規(guī)那么，解：根據(jù)對偶規(guī)那么，A+BC的對偶式為的對偶式為:AB+C=AB+ACA+BA+C的對偶式為的對偶式為AB+AC因?qū)ε际揭粯樱室驅(qū)ε际揭粯樱蔄+BC與與A+BA+C相相等。等。)()()(CACBBABAF例：求對偶表達(dá)式例：求對偶表達(dá)式CABCBABAF2.4 邏輯函數(shù)的表示法邏輯函

14、數(shù)的表示法 1. 真值表真值表 2. 函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式 3. 邏輯圖邏輯圖 4. 卡諾圖卡諾圖 5. 波形圖波形圖【例【例2.4.1】個人表決一件事情，結(jié)果按】個人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從少數(shù)服從多數(shù)的原那么決議，試建立該邏輯函數(shù)。多數(shù)的原那么決議，試建立該邏輯函數(shù)。解：解：1. 邏輯籠統(tǒng)，確定輸入、輸出邏輯變量。邏輯籠統(tǒng)，確定輸入、輸出邏輯變量。3人意見為輸入邏輯變量：，人意見為輸入邏輯變量：，表決結(jié)果為輸出邏輯變量，表決結(jié)果為輸出邏輯變量，Y。 2. 形狀賦值形狀賦值:，:贊同為，不贊同為贊同為，不贊同為 Y:經(jīng)過為，沒經(jīng)過為。經(jīng)過為，沒經(jīng)過為。 3. 根據(jù)題意及上述規(guī)定列出函數(shù)

15、關(guān)系式。根據(jù)題意及上述規(guī)定列出函數(shù)關(guān)系式。結(jié)果結(jié)果Y經(jīng)過的條件：經(jīng)過的條件： A和和B贊同：贊同：AB B和和C贊同：贊同：BC A和和C贊同：贊同：AC A、B和和C都贊同：都贊同：ABC那么結(jié)果那么結(jié)果Y能夠經(jīng)過的邏輯表達(dá)式為：能夠經(jīng)過的邏輯表達(dá)式為：YA,B,C=AB+BC+AC+ABC2.4 邏輯函數(shù)的表示法邏輯函數(shù)的表示法5種表示方法種表示方法2.邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式(logic expression ):1111&1ABY 3.邏輯電路邏輯電路圖圖:logic circuit4.卡諾圖卡諾圖(karnaugh map )n2n個輸入變量個輸入變量 種組合。種組合。BABAF

16、1.真值表真值表(truth table )：將邏輯函數(shù)輸入變量：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。表的方式一一對應(yīng)列出的表格。5. 波形圖波形圖將輸入、輸出的一切能夠形狀一一對應(yīng)地列將輸入、輸出的一切能夠形狀一一對應(yīng)地列出。出。 n個變量可以有個變量可以有2n個輸入形狀。個輸入形狀。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2.1.1真值表描畫真值表描畫列真值表的方法：普通按二進(jìn)制的順序，輸出與輸列真值表

17、的方法：普通按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入形狀一一對應(yīng)，列出一切能夠的形狀。入形狀一一對應(yīng)，列出一切能夠的形狀。例如：例如：將真值表中函數(shù)值將真值表中函數(shù)值為為1的項相加，得到的項相加，得到邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)“與或式與或式ABCCABCBAF變量賦值為變量賦值為1時用該變量表示；變量賦值為時用該變量表示；變量賦值為0時用該時用該變量的反來表示。變量的反來表示。【例【例2.4.2】個人表決一件事情，結(jié)果按】個人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服少數(shù)服從多數(shù)的原那么決議，試畫出該邏輯函數(shù)的真值從多數(shù)的原那么決議，試畫出該邏輯函數(shù)的真值表。表。結(jié)果，結(jié)果，3人表決少數(shù)服從多數(shù)的真值表如下：人表決少數(shù)服從多數(shù)的真

18、值表如下：A B CY0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 00 00 01 10 01 11 11 12.4.2邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式(functional expression) 把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用通常采用“與或的方式。與或的方式。例：例：1.普通式普通式2.最簡式最簡式3. 規(guī)范式規(guī)范式Y(jié)A

19、,B,C=AB+BC+AC+ABCCBAABABF1.最簡式描畫最簡式描畫特點：用最簡式實現(xiàn)電路可以用較少的元器件來實現(xiàn)，特點：用最簡式實現(xiàn)電路可以用較少的元器件來實現(xiàn)，元器件間的連線最少，到達(dá)簡化電路、節(jié)省器件、便元器件間的連線最少，到達(dá)簡化電路、節(jié)省器件、便于維修調(diào)試、降低消費本錢的效果。于維修調(diào)試、降低消費本錢的效果。最簡式描畫包括：最簡式描畫包括：最簡最簡-與或式與或式最簡最簡-或與式或與式最簡最簡-與非與非-與非式與非式最簡最簡-與或非式與或非式最簡最簡-或非或非-或非式或非式)( )(),(DCBADCBAY1最簡與或式，它要求：最簡與或式，它要求：1式中所含的與項最少；式中所含的

20、與項最少；2各與項中所含的變量數(shù)最少。各與項中所含的變量數(shù)最少。例如，例如，2最簡或與式，它要求：1式中所含的或項最少；2各或項中所含的變量最少。例如，DCABDCBAY),(3最簡與非最簡與非-與非式與非式最簡與非最簡與非-與非式由最簡的與或式變換而來，它要求：與非式由最簡的與或式變換而來，它要求：1式中所含的與非項最少；式中所含的與非項最少；2各與非項中所含的變量數(shù)最少。各與非項中所含的變量數(shù)最少。例如，例如，DCABDCABDCABDCBAY),(4最簡與或非式，它要求：1式中所含的與項最少；2各與項中所含的變量數(shù)最少。假設(shè)得到該函數(shù)的反函數(shù)的最簡與或式，經(jīng)過變換就可以得到該函數(shù)的最簡與

21、或非式。例如，DCABYDCABY5最簡或非最簡或非-或非式，它要求：或非式，它要求：1式中所含的或非項最少；式中所含的或非項最少；2各或非項中所含的變量數(shù)最少。各或非項中所含的變量數(shù)最少。由最簡與或非式，變換可得。例如，由最簡與或非式，變換可得。例如，DCABYDCABYDCBA2、最小項、最小項 (miniterm) 和規(guī)范與或表達(dá)式和規(guī)范與或表達(dá)式1 1最小項定義：設(shè)有最小項定義：設(shè)有n n個邏輯變量，由它們組個邏輯變量，由它們組成具有成具有n n個變量的與項中，每個變量以原變量個變量的與項中，每個變量以原變量或反變量的方式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，那么稱或反變量的方式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，

22、那么稱這個與項為最小項。對于這個與項為最小項。對于n n個變量來說，可有個變量來說，可有2n2n個最小項；個最小項；以三變量為例：以三變量為例：ABC為三個變量，為三個變量，n=3, 23=8，所，所以有以有8個最小項：個最小項：BC,A,CBAC,BA,CBAABC,CABC,BA,CBA1 1在輸入變量的任何一組取值下，必有一個且在輸入變量的任何一組取值下，必有一個且僅一個最小項的值為僅一個最小項的值為1 1，其他最小項的值均為，其他最小項的值均為0 0；2 2全部最小項之和為全部最小項之和為1 1；3 3任何兩個不同的最小項的乘積為任何兩個不同的最小項的乘積為0 0。4 4具有相鄰性的具

23、有相鄰性的2 2個最小項之和可以合并為一個最小項之和可以合并為一項，合并后的結(jié)果中只保管這兩項公共因子。項，合并后的結(jié)果中只保管這兩項公共因子。 最小項的性質(zhì)：最小項的性質(zhì)：將最小項為將最小項為1時各輸入變量的取值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，時各輸入變量的取值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，與它等值的十進(jìn)制數(shù)與它等值的十進(jìn)制數(shù)i作為最小項的編號，并把最小作為最小項的編號，并把最小項記作項記作mi,i=0(2n-1)；例如：當(dāng)例如：當(dāng)CBA項為項為1時，對應(yīng)的變量取值為時，對應(yīng)的變量取值為010 ，對，對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為2，那么該最小項的編號為，那么該最小項的編號為m2。之所以稱之為最小項，是由于該項已包含了一

24、之所以稱之為最小項，是由于該項已包含了一切的輸入變量，不能夠再分解。切的輸入變量，不能夠再分解。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：對于三變量的例如：對于三變量的邏輯函數(shù)，假設(shè)某邏輯函數(shù)，假設(shè)某一項的變量數(shù)少于一項的變量數(shù)少于3個，那么該項可繼個，那么該項可繼續(xù)分解；假設(shè)變量續(xù)分解；假設(shè)變量數(shù)等于數(shù)等于3個，那么該個，那么該項不能繼續(xù)分解。項不能繼續(xù)分解。不能分解不能分解CBACBACABCBAABCCCBBAA )(任何一個邏輯函數(shù)

25、表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項任何一個邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項之和，稱為最小項表達(dá)式，即規(guī)范與或表達(dá)式。之和，稱為最小項表達(dá)式，即規(guī)范與或表達(dá)式。例例1 1：將以下邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達(dá)式：將以下邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達(dá)式：CAABC)B,L(A,)BC(BA)CAB(CCAABC)B,L(A,CBABCACABABC 解：解：1367mmmm(1,3,6,7)m(1,3,6,7)從真值表寫出的與或表達(dá)式就是規(guī)范與或表達(dá)式從真值表寫出的與或表達(dá)式就是規(guī)范與或表達(dá)式2)規(guī)范與或表達(dá)式：每個與項都是最小項的與或表達(dá)規(guī)范與或表達(dá)式：每個與項都是最小項的與或表達(dá)式，稱為規(guī)范與或表達(dá)式。式，

26、稱為規(guī)范與或表達(dá)式。3從真值表求規(guī)范與或式從真值表求規(guī)范與或式1找出使邏輯函數(shù)找出使邏輯函數(shù)Y為為1的變量取值組合；的變量取值組合；2寫出使函數(shù)寫出使函數(shù)Y為為1的變量取值組合對應(yīng)的最的變量取值組合對應(yīng)的最小項；小項；3將這些最小項相或，即得到規(guī)范與或表達(dá)式。將這些最小項相或，即得到規(guī)范與或表達(dá)式。ABCY000001010011100101110111000101117653),(mmmmABCCABCBABCACBAY4從邏輯函數(shù)表達(dá)式求規(guī)范與或式從邏輯函數(shù)表達(dá)式求規(guī)范與或式1檢查表達(dá)式的每一個乘積項能否含有邏檢查表達(dá)式的每一個乘積項能否含有邏輯函數(shù)中一切的變量。輯函數(shù)中一切的變量。2利用

27、公式彌補乘積項中短少的變量，然利用公式彌補乘積項中短少的變量，然后展開化成最小項之和的方式。后展開化成最小項之和的方式。 7653)()()(),(mmmmABCCABCBABCAABCCBBABCAACCABABCACBCABCBAY 解：解： 例例2 ：將以下邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達(dá)式：將以下邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達(dá)式：CBAABABFCBABAABCBAABAB)(CBAABABFCBABCACCAB)( =m7+m6+m3+m5=m3,5,6,7 CBABCAABCBABCACABABC2.4.3 邏輯圖描畫邏輯圖描畫邏輯圖：把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線邏輯圖：把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏

28、輯符號和連線表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD 1FF=AB+CDABCDCDAB2.4.4卡諾圖描畫卡諾圖描畫 1.卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖的構(gòu)成在具有在具有n個變量的邏輯函數(shù)中，可以有個變量的邏輯函數(shù)中，可以有2n個最小個最小項，其中有些最小項之間只需一個因子不同，這項，其中有些最小項之間只需一個因子不同，這些最小項叫做邏輯相鄰的最小項。些最小項叫做邏輯相鄰的最小項。將個變量的全部最小項各用一個小方格表示，將個變量的全部最小項各用一個小方格表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項放在幾何相鄰的并使具有邏輯相鄰性的最小項放在幾何相鄰的位置上陳列起來，所得到的圖

29、形叫做變量的位置上陳列起來，所得到的圖形叫做變量的卡諾圖。卡諾圖。 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 1首先把邏輯函數(shù)化為最小項之和的方式；首先把邏輯函數(shù)化為最小項之和的方式；2然后在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置填然后在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置填入，其他位置上填入。入，其他位置上填入。即：任何一個邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填即：任何一個邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填入的那些最小項之和。入的那些最小項之和。 BAACDDBADCBAY15,11,10,9 ,8 ,6,4, 1im例：作出以下函數(shù)的卡諾圖例：作出以下函數(shù)的卡諾圖經(jīng)過配項法將經(jīng)過配項法將Y Y寫成規(guī)范與或表達(dá)式，即最小

30、項方式。寫成規(guī)范與或表達(dá)式，即最小項方式。DDCCBABBACDCCDBADCBAYABCD0001111000011110用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)0100100 0100 01 10111 11真值表、卡諾圖真值表、卡諾圖邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式方法：將真值表或卡諾圖中為方法：將真值表或卡諾圖中為1的的項相加，寫成項相加，寫成 “與或式。與或式。 真值表真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB此邏輯代數(shù)式并非是最簡單的方式，實踐上此真此邏輯代數(shù)式并非是最簡單的方式，實踐上此真值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為Y=

31、AB，因此，有一個化簡問題。因此，有一個化簡問題。ABABBABABAY AB010101112.4.5波形圖描畫波形圖描畫 針對輸入量的變化波形，根據(jù)輸入變量和輸出針對輸入量的變化波形，根據(jù)輸入變量和輸出變量之間的邏輯關(guān)系，畫出輸出邏輯函數(shù)相應(yīng)變變量之間的邏輯關(guān)系，畫出輸出邏輯函數(shù)相應(yīng)變化的波形叫邏輯函數(shù)的波形圖化的波形叫邏輯函數(shù)的波形圖(timing diagram)表表示。示。波形圖的特點是可以經(jīng)過邏輯分析儀直接顯示，波形圖的特點是可以經(jīng)過邏輯分析儀直接顯示，便于用實驗的方法分析數(shù)字電路的邏輯功能。便于用實驗的方法分析數(shù)字電路的邏輯功能。【例【例2.4.3】知邏輯函數(shù)】知邏輯函數(shù) ，輸入

32、變量，輸入變量A、B、C波形圖形如圖波形圖形如圖2.4.4所示，試按照所示，試按照邏輯關(guān)系畫出輸出邏輯關(guān)系畫出輸出L的波形。的波形。)()(CBCBACBBCALABBABAAB)()(DECBABAL1并項法：并項法：2吸收法：吸收法：運用公式運用公式 1 AA運用吸收律運用吸收律 A+AB=A，消去多余的與項。，消去多余的與項。如如 CBACABCBAABCCCBACCAB2.5 邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法(simplify)最簡與或式最簡與或式乘積項的項數(shù)最少。乘積項的項數(shù)最少。每個乘積項中變量個數(shù)最少。每個乘積項中變量個數(shù)最少。將兩項合并為一項，消去一個將兩項合并為一項，

33、消去一個變量。如變量。如BA4配項法：配項法： EBABAL3消去法消去法:EBBA運用吸收律運用吸收律消去多余因子，如：消去多余因子，如：BABAA先經(jīng)過乘以先經(jīng)過乘以或加上或加上添加必要的乘積項，添加必要的乘積項，AAAA再用以上方法化簡。如：再用以上方法化簡。如：AABCDCAABBCDAABCDCAABCAAB BCDCAABLNoImageEBA【例【例2.5.1】化簡函數(shù)】化簡函數(shù)CBBDABCDBCABDDABCYBDBDABDABCABCDABC,CBBDABCDBCYCBABCACBCBABCBDBCDDCBBDDBC)(,)(CBBDABBCY1利用吸收法利用吸收法得到2利

34、用消去法利用消去法得到3 3利用吸收法利用吸收法Y=B例例1：反變量吸收反變量吸收提出提出AB=1提出提出A)CAB(CCBAABCBAB)CBA(B)A(CABACABCCABCBAF例例2：CBBCBAABF )(CBBCBAAB ）（反演反演CBAABCCCBAAB )()(配項配項CBBCAABCCBACBAAB 被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB )(CBCAAB 結(jié)論：異或門可以用結(jié)論：異或門可以用4個個與非門實現(xiàn)。與非門實現(xiàn)。例例3: 證明證明BABBAABABABAY BABBAA右邊)BA(B)BA(A BBABBAAA 0ABBA0 ABBA 左邊; 展開展開BABA

35、; AB=A+B異或門可以用異或門可以用4個與非門實現(xiàn)：個與非門實現(xiàn)：&ABYBABBAABABABAY 例例4：化簡為最簡邏輯代數(shù)式：化簡為最簡邏輯代數(shù)式ABCCABCBABCACBAY ABCCABCBABCACBAY )CC(ABCBA)CC(BA ABCBABA CBAB)AA( CBAB ACB 反變量吸收反變量吸收例例5：將：將Y化簡為最簡邏輯代數(shù)式。化簡為最簡邏輯代數(shù)式。 ;利用反演定理利用反演定理;利用公式利用公式A+AB=A+B；A=ACDBABAY)( CD)BA(BAY CDBABA)( CDBABA CDBA 由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是獨一的。由上例可知

36、，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是獨一的。代數(shù)化簡法的優(yōu)點是不受變量數(shù)目的限制。代數(shù)化簡法的優(yōu)點是不受變量數(shù)目的限制。缺陷是：沒有固定的步驟可循；需求熟練運用各種公式缺陷是：沒有固定的步驟可循；需求熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時還需求一和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時還需求一定的技巧和閱歷；有時很難斷定化簡結(jié)果能否最簡。定的技巧和閱歷；有時很難斷定化簡結(jié)果能否最簡。解法解法1 1： 解法解法2：例例6：化簡邏輯函數(shù)：化簡邏輯函數(shù)： BACBCBBAL2.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖簡法2.6.12.6.1卡諾圖特點卡諾圖特點特點：幾何位置相鄰的最小項在邏輯上也一

37、定相鄰，特點：幾何位置相鄰的最小項在邏輯上也一定相鄰，即兩個相鄰的最小項只需一個變量不同。即兩個相鄰的最小項只需一個變量不同。所以，從卡諾圖上可以直觀地判別出哪些最小項可以所以，從卡諾圖上可以直觀地判別出哪些最小項可以合并。合并。邏輯相鄰性邏輯相鄰性幾何相鄰幾何相鄰從卡諾圖的構(gòu)成可以得知，幾何位置相鄰的從卡諾圖的構(gòu)成可以得知，幾何位置相鄰的最小項在邏輯上也一定相鄰，即兩個最小項最小項在邏輯上也一定相鄰，即兩個最小項只需一個變量不同。只需一個變量不同。所以，從卡諾圖上可以直觀地判別出哪些最所以，從卡諾圖上可以直觀地判別出哪些最小項可以合并。小項可以合并。 2.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖簡法邏輯函數(shù)的卡

38、諾圖簡法2.6.12.6.1卡諾圖特點卡諾圖特點1.合并最小項的規(guī)那么合并最小項的規(guī)那么1. 相鄰單元的個數(shù)是相鄰單元的個數(shù)是2n個，并組成矩形時，可以個，并組成矩形時，可以合并，并消去合并，并消去n個因子。個因子。12個相鄰的最小項可以消去不同因子，保個相鄰的最小項可以消去不同因子，保管公因子，合并成一項。管公因子，合并成一項。24個相鄰并排成矩形的最小項可以合并成個相鄰并排成矩形的最小項可以合并成一項，并消去兩個因子。一項，并消去兩個因子。 38個相鄰并排成矩形的最小項可以個相鄰并排成矩形的最小項可以合并成一項，并消去三個因子。合并成一項，并消去三個因子。 2. 要合并的對應(yīng)方格必需陳列成

39、矩形或正方形。要合并的對應(yīng)方格必需陳列成矩形或正方形。ABCD0001 111000010000001 1001 11 10111 101110ADAB0000010 0011 10 00100 00CD00011110000111101.合并最小項的規(guī)那么合并最小項的規(guī)那么在邏輯函數(shù)的卡諾圖中，畫包圍圈規(guī)那么是：在邏輯函數(shù)的卡諾圖中，畫包圍圈規(guī)那么是：1圈里包圍的小方格數(shù)為圈里包圍的小方格數(shù)為2n個個n=0, 1, 2, 。 2圈里包圍的小方格數(shù)圈內(nèi)變量應(yīng)盡能夠的圈里包圍的小方格數(shù)圈內(nèi)變量應(yīng)盡能夠的多，化簡消去的變量就多；圈的個數(shù)盡能夠的少，多，化簡消去的變量就多；圈的個數(shù)盡能夠的少，那么化

40、簡結(jié)果中的與項個數(shù)就少。即圈越大越好，那么化簡結(jié)果中的與項個數(shù)就少。即圈越大越好，圈數(shù)越少越好。圈數(shù)越少越好。 3允許反復(fù)圈小方格，但每個圈里至少應(yīng)有一個允許反復(fù)圈小方格，但每個圈里至少應(yīng)有一個新的小方格。新的小方格。 4圈內(nèi)的小方格必需滿足相鄰關(guān)系。圈內(nèi)的小方格必需滿足相鄰關(guān)系。寫最簡與或式寫最簡與或式 每一個組合中的公因子構(gòu)成一個每一個組合中的公因子構(gòu)成一個“與項，然與項，然后將一切后將一切“與項相加，得最簡與項相加，得最簡“與或表示式。與或表示式。2.畫包圍圈規(guī)那畫包圍圈規(guī)那么么圖形法化簡的根本步驟圖形法化簡的根本步驟邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式或真值表或真值表卡諾圖卡諾圖)15,13,12,1

41、1, 8 , 7 , 5 , 3(),(mDCBAY A BC D00011110000011010110111111100000 1 1 合并最小項合并最小項圈越大越好，但每個圈中標(biāo)圈越大越好，但每個圈中標(biāo)的方格數(shù)目必需為個。同一的方格數(shù)目必需為個。同一個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都要有新的方格，否那么每個圈都要有新的方格，否那么它就是多余的。不能漏掉任何它就是多余的。不能漏掉任何一個標(biāo)的方格。一個標(biāo)的方格。i2最簡與或表達(dá)式最簡與或表達(dá)式 A BC D00011110000011010110111111100000DCACDBDDCBAY ),(冗余項冗余

42、項 2 2 3 3 將代表每個圈將代表每個圈的乘積項相加的乘積項相加例例1：化簡：化簡F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011011010 0111 11 11111 111110ADCCBDBDCBDCBDBCBDCAF 例例2：化簡：化簡ABCD00011110000111111111100111111110ABDDBAABDF ABCD00011110000111111111100111111110ABDDBAF 例例3：用卡諾圖化簡邏輯代數(shù)式：用卡諾圖化簡邏輯代數(shù)式 首先：首先： 邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)

43、式卡諾圖卡諾圖 CAB01000111101 11 11 10 00 00 00 0AB1 1CBACBAABY CBABY CB兩點闡明：兩點闡明：1、在有些情況下，最小項的圈法不只一種，、在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不一樣，哪得到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不一樣，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才干確定。個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才干確定。不是最簡不是最簡最簡最簡ABCD00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 0 10 1 1 10 0 1 10 0 0 0DCACBACBAADABCD00 01 11 10 00 01 11

44、10 1 1 0 10 1 1 10 0 1 10 0 0 0CBADCBADABC0100 01 11 101 11 1112、有時化簡結(jié)果不獨一。、有時化簡結(jié)果不獨一。ABC0100 01 11 101 11 111CBCABAY CABACBY 2.6.3 2.6.3具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡無關(guān)項：無關(guān)項：在函數(shù)式里寫入還是不寫入在函數(shù)式里寫入還是不寫入, 其函數(shù)值都不其函數(shù)值都不改動的最小項叫無關(guān)項。改動的最小項叫無關(guān)項。無關(guān)項有兩種無關(guān)項有兩種:1.約束項約束項:有些變量的取值不能夠出現(xiàn)有些變量的取值不能夠出現(xiàn), 其對其對應(yīng)的最小項恒等于應(yīng)的最小項恒等于0,叫

45、叫_.2.恣意項恣意項:某些變量的取值下某些變量的取值下, 函數(shù)值是函數(shù)值是1還還是是0皆可皆可, 并不影響電路的功能并不影響電路的功能, 這些變量取這些變量取值下所對應(yīng)的最小項叫值下所對應(yīng)的最小項叫_1、無關(guān)項概念、無關(guān)項概念例如：判別一位十進(jìn)制數(shù)能否為偶數(shù)。例如：判別一位十進(jìn)制數(shù)能否為偶數(shù)。輸入變量輸入變量A，B，C，D取取值為值為00001001時，邏輯時，邏輯函數(shù)函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時為題意，偶數(shù)時為1，奇數(shù)時，奇數(shù)時為為0。ABCD0001 111000011110A，B，C，D取值為取值為1010 1111的情況不會出現(xiàn)或不的情況不會出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)，對

46、應(yīng)的最小項屬于隨意項。用符號允許出現(xiàn)，對應(yīng)的最小項屬于隨意項。用符號“、“或或“d表示。表示。)(0,2,4,6,8D)C,B,Y(A,約束項之和構(gòu)成的邏輯表達(dá)式約束條件，用一個值恒為 0 的條件等式表示。0)15,14,13,12,11,10(d含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下方式：含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下方式：)2,13,14,15d(10,11,1,8)m(0,2,4,6D)C,B,F(A,2、具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡、具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡在邏輯函數(shù)的化簡中，充分利用約束項可以得到更在邏輯函數(shù)的化簡中，充分利用約束項可以得到更加簡單的邏輯表達(dá)式，因此相應(yīng)的邏輯電路也更

47、簡單。加簡單的邏輯表達(dá)式，因此相應(yīng)的邏輯電路也更簡單。 假設(shè)約束項對化簡有利，那么取假設(shè)約束項對化簡有利，那么取1；假設(shè)約束項對化簡；假設(shè)約束項對化簡不利，那么取不利，那么取0。不利用約束項的不利用約束項的化簡結(jié)果為：化簡結(jié)果為：DCBDAY利用約束項的利用約束項的化簡結(jié)果為：化簡結(jié)果為：DY ABCD0001 111000011110例例1：知真值表如圖，用卡諾圖化簡。：知真值表如圖，用卡諾圖化簡。ABCF0000001001000110100111011111101形狀未給出，即是無關(guān)項。形狀未給出，即是無關(guān)項。ABC0001111001化簡時可以將無關(guān)項當(dāng)作化簡時可以將無關(guān)項當(dāng)作1或或

48、0，目的是得，目的是得到最簡結(jié)果。到最簡結(jié)果。以為是以為是1AF=A采用畫采用畫1的包圍圈化簡，結(jié)果通常為與或表示式。假的包圍圈化簡，結(jié)果通常為與或表示式。假設(shè)要求用其他方式表示怎樣辦？設(shè)要求用其他方式表示怎樣辦？常用的邏輯函數(shù)表達(dá)式有五種：常用的邏輯函數(shù)表達(dá)式有五種：1、與或：畫、與或：畫1的包圍圈直接得出；的包圍圈直接得出； 2、或與：畫、或與：畫0的包圍圈，再運用反演律變換得出；的包圍圈，再運用反演律變換得出；3、與非、與非-與非：畫與非：畫1的包圍圈，再運用反演律變換的包圍圈，再運用反演律變換得出；得出；4、或非、或非-或非：畫或非：畫0的包圍圈，再運用反演律變換的包圍圈，再運用反演律變換得出；得出；5、與或非：畫、與或非：畫0的包圍圈直接得出。的包圍圈直接得出。1、最簡與非、最簡與非-與非表達(dá)式與非表達(dá)式非號最少、并且每個非號下面乘積項中的變量也最非號最少、并且每個非號下面乘積項中的變量也最少的與非少的與非- -與非表達(dá)式。與非表達(dá)式。CABACABACABAY在最簡與或表達(dá)在最簡與或表達(dá)式的根底上兩次取式的根底上兩次取反反用摩根定律用摩根定律去掉下面的非去掉下面的非號號2、最簡或與表達(dá)式、最簡或與表達(dá)式括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式。表達(dá)式。CABA