公開課問題就是答案之數(shù)列第一問

1、20.【 2014全國卷（理17）】已知數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ， a1 =1， an0 ， an an 1Sn 1，其中為常數(shù) .( )證明： an 2an；（）是否存在，使得 an 為等差數(shù)列？并說明理由 .【解析】： ( )由題設 anan1Sn1， an 1an2Sn 1 1，兩式相減an 1an 2anan 1 ，由于 an0 ，所以 an 2an6 分（）由題設 a1 =1， a1a2S11，可得 a211，由 ( )知 a31假設 an 為等差數(shù)列，則a1 , a2, a3 成等差數(shù)列，a1 a3 2a2 ，解得4 ；證明4時， an 為等差數(shù)列：由an2 an4知數(shù)

2、列奇數(shù)項構成的數(shù)列a是首項為1，公差為4 的等差數(shù)列 a2m 14m32 m 1令 nn 1， an2n1 (n2m 1)2m 1, 則 m2數(shù)列偶數(shù)項構成的數(shù)列a2 m是首項為 3，公差為4 的等差數(shù)列 a2 m 4m 1令 n2m, 則 mn2n1( n2m)， an2 an2n 1（ n N * ）， an 1an2因此，存在存在4，使得 an 為等差數(shù)列 .12 分22.【 2014全國卷（理17）】已知數(shù)列an滿足 a1 =1 ， an 1 3an1.（）證明an1 是等比數(shù)列，并求an 的通項公式；2（）證明：1113a1a2+ an2 .【解析】（ 1）a1 = 1, an+ 1

3、 = 3an + 1.n N * . an+ 1 +11= 3(an +1= 3an + 1+2).22 an +1是首項為 a1+1=3 ,公比為 3的等比數(shù)列。222(2)由（ 1）知 an13n3n -1 122，故 an2，n，2an3 -111，當 n1121a1時，an3n-1n -1 ；31所以1 1 111 111- 3n31）3a1a2a3an1323n-11（1-3n，311-223故 11113a1a2a3an224.【 2014全國大綱卷（文17）】數(shù)列 a n 滿足 a1=1，a2 =2， an+2=2an+1 -an+2.（ 1）設 bn=an+1-an，證明 b

4、n 是等差數(shù)列；（ 2）求數(shù)列 a n 的通項公式 .【解析】（ 1）由 an+2 =2an+1 -an+2 得 an+2- an+1 =an+1-an+2 ，即 bn+1=bn+2,又 b1 =a2-a1=1.所以 b n 是首項為1，公差為2 的等差數(shù)列；nn（ 1） 由（ 1）得 bn=1+2 （n-1），即 an+1-an=2n-1. 于是(ak 1ak )(2 k 1)k 1k 1222于是 an-a1=n -2n，即 an=n -2n +1+a 1.又 a1 =1，所以 a n 的通項公式為 an=n -2n +2.27.【 2014安徽卷（文18）】數(shù)列an 滿足 a11,nan

5、 1(n1)ann(n 1),n N *.( ) 證明：數(shù)列an是等差數(shù)列；n( ) 設 bn3nan，求數(shù)列bn的前 n 項和 Sn .【解析】（）證：由已知可得an1an1 ，即 an 1an1所以 an 是以 a1n1nn 1n1為首項， 1 為公差的等差數(shù)列。n1an1（）解：由（）得(n1) 1n ，所以 an n2，從而 bnn 3nnSn123nn313 23 333Sn 1 322 333 34（n-1）3nn 3n +1得：2Sn3132333nn 3n+13(13n )n 3n +113(12n)3n +132(2 n1) 3n+13所以 Sn431.【2014北京卷（文

6、15）】已知an 是等差數(shù)列， 滿足 a13，a412 ，數(shù)列bn 滿足 b14，b420 ，且 bnan是等比數(shù)列 .（ 1）求數(shù)列 an 和 bn 的通項公式；（ 2）求數(shù)列 bn 的前 n 項和 .【解析】（ I）設等差數(shù)列an的公差為 d ，由題意得： da4a11233，33所以 ana1(n1)d3n(n1,2,L ) ，設等比數(shù)列bnan 的公比為 q ，由題意得：q3b4a420128，解得 q2 .b1a143所以 bnan(b1a1) qn 12n 1 ，從而 bn3n2n 1 (n1,2,L ) .（ II ）由（ 1）知， bn3n2n1(n 1,2,L )，數(shù)列3n的

7、前 n 項和為 3 n( n1) ，數(shù)列2n1的前 n 項和為 112n2n1，212所以數(shù)列bn的前 n 項和為3 n( n 1)2n1 .234【.2014遼寧卷（理 17）】已知首項都是1 的兩個數(shù)列（），滿足.(1)令，求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前 n 項和 .【解析】（ 1）因為，an 1an2,cn 1cn2所以bnbn 1所以數(shù)列 cn 是以首項 c11 ，公差 d2的等差數(shù)列，故cn2 n1.2n 1知 ancnbn(2 nn1（ ）由 bn31)3于是數(shù)列前 n 項和 Sn1 303 31(2 n1) 3 n 13Sn1 313 32(2 n 1) 3n相減得2Sn

8、12(31323n1 ) (2 n1) 3n2 (2 n2)3n所以 Sn( n1)3n1.7.(15年廣東文科) 設數(shù)列an的前 n 項 和為 Sn ， n 已 知 a11 ， a2352 時 ， a3， 且 當 n4Sn 25Sn8Sn 1Sn 1 241求 a4 的值；2證明：an 11 an為等比數(shù)列；23 求數(shù)列an 的通項公式【答案】（ 1） 71n 1；（ 2）證明見解析； （3） an2n 182考點： 1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的通項公式；3、等差數(shù)列的通項公式.（ 18）（本小題滿分12 分）已知數(shù)列 an的前 n 項和 Sn(n2n) 3n （）求 liman；（）證明：a1a2ann2223 nSn12n（ 18）解：（ I ） lim anlim Sn SnnSnnSnlim (1Sn1 )nSn1 lim Sn 1 ,nSnSn 1n111limlim,nSnnn133liman2 .nSn3a1S6 3;I