圓錐曲線的極坐標(biāo)方程介紹

1、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程介紹很多老師在講授圓錐曲線或進(jìn)行總復(fù)習(xí)時，為了解題方便的需要，對圓錐曲線的極坐標(biāo)方程作了相應(yīng)的介紹.因為介紹的不是很詳細(xì)，很多同學(xué)還是很不清楚.下面，我再詳細(xì)地介紹一下圓錐曲線的極坐標(biāo)方程.利用坐標(biāo)系來確定平面內(nèi)點的位置和建立曲線的方程，除了直角坐標(biāo)系外，常用的還有極坐標(biāo)系.它是用長度和角度來確定平面內(nèi)點的位置的一種坐標(biāo)系.在平面內(nèi)取一固定點O,從。引一條射線OX,再確定一個計算長度的單位長和計算角度的正方向（通常我們選取逆時針方向作為正方向）.這樣就構(gòu)成了一個極坐標(biāo).其中，O點叫做極點，OX叫極軸（如圖一）.設(shè)P是平面內(nèi)一點，連接線段OP,那么極點和P點的距離|OP|,叫

2、做P點的極半徑,通常用來表示；以極軸OX為始邊，射線OP為終邊的所成的XOP,叫做P點的極角,通常用來表示.（，）就是P點的極坐標(biāo).為了研究的方便，我們也允許取負(fù)值.當(dāng)0時，點P（,）的位置可按下列規(guī)則來確定:作射線OM（如圖二）使XOM,在OM的反向延長線上P點，使|OP|,那么P點就是極坐標(biāo)是（，）的點（0）.下面用極坐標(biāo)來求圓錐曲線的方程.根據(jù)圓錐曲線的定義，我們?nèi)缦陆⒅苯亲鴺?biāo)系：取焦點F為極點，作FG垂直于準(zhǔn)線l,垂足為G,取FG的反向延長線FX為極軸（如圖三），設(shè)焦點到準(zhǔn)線的距離為p（p0）.設(shè)P（,）是圓錐曲線上的任意一點，連接PE,過P作OQl,PMFX,垂足分別為Q、M,那么

3、由圓錐曲線的第二定義，得：|PQ|因為| PF |PQ|GM | pcos所以epcos就是ep(p0)1ecos這就是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程.注意：對于橢圓和雙曲線的一支，有b2一一p一(b,c0).然而對于拋物線，其中的p即c為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)中的p.下面我們就可以使用極坐標(biāo)方程的方法很容易的解出重慶市07年高考最后一題的第二問.(22)(本小題滿分12分)如圖，中心在原點。的橢圓的右焦點為F(3,0),右準(zhǔn)線的方程為：x=12。(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個不同點P1,P2,P3,使P1FP2P2FP3P3FP1,證明1用11IFP2I1IFP3I為定值，并求此定值。但是在高考中下面是答案中提供的方法，可以看到該解法明顯比極坐標(biāo)方程方法復(fù)雜.是允許使用極坐標(biāo)方程方法的.2X解：(I)設(shè)橢圓方程為a因焦點為F (3,0),故半焦距c 3.又右準(zhǔn)線l的方程為x2 a,從而由已知 c2-12,cV27 343.2故所求橢圓方程為 362 y27(II)記橢圓的右頂點為A,并設(shè) AFPi3),不失一般性,又設(shè)點P在l上的射影為Qi ,因橢圓的離心率FP2(9解得PQi|eFP cosi)(iFP cos i e123).1FP1 cos2(i1,2,3).因此FP而coscos故fP；FP2co