求極限地方法及例題總結(jié)材料

1、sin(-+i)'-IJTf 9Jx" +1 3xz + sm z-倒7i EM(sm利用導(dǎo)數(shù)絲定義求極限hm2ZrSt ®it=hmxx= 1*3=2*解*康式"m 丁" +1 x + sin x-3hm-x + si n x8.用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限lim 3X 1-2例 1 x 1 x1解:原式=訕上竺書(shū)工x 51 (x -1) 3x 12)limx >13x-3(x-1)(、3x 12)注：本題也可以用洛比達(dá)法則lim i n(、n 2 - n -1)解：原式=lim mg1)分子分母同除以nT：:Jn 2 n

2、-1上下同除以nlimn )：:32例3 n心2n 3n解：原式n 1lim 3 = 1飛+13.兩個(gè)重要極限1lim (1 + x)' =e(2) x >0；說(shuō)明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，1sin 3x “五lim=1 lim(1 -2x)'x =e例如：x >0 3x ，x宀=eZv還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式,xlim (13) ex x;等等。利用兩個(gè)重要極限求極限1 - cosxlim2例5 x 10 3x 解：原式= 注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2 x 2si nlim 2x >0 3x2 si n2二 lim -x >0 x

3、212 (-)2lim(1-3sinx)' lim(1-3sinx)x_ 0= x >01_6sin x_3sin x1-6sin xlim(1 -3sinJ.o_6二 e_3n1-33 ，市_3)二 elim (-)n lim (13)例7 n心n 1 =n一宀n 14.等價(jià)無(wú)窮小定理2無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮小(即極限是 0)。nim【(1n 1即有:定理3當(dāng)XT 0時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮小(即極限是 0),且相互等價(jià),x sin x tanx arcsin x arctanx ln(1 x)ex - 1 。說(shuō)明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量 x換成g(x)時(shí)(g(x)T

4、0),仍有上面的等價(jià) 關(guān)系成立，例如：當(dāng)x > 0時(shí)，e3x -13x ； ln(1 - X?)-x2。定理4如果函數(shù)f(x), g(x), f1(x),g1(x)都是X > X。時(shí)的無(wú)窮小，且f(x)f1(x)f (x)lim 二丿limf1(x)， g(x)g1(x)，則當(dāng)x " g1(x)存在時(shí)，x >x0 g(x)也存在且等于f1(X)f(x)f1 (x)lim 1limlimf (X) f gdx)，即 XTX0 g(x) = f g1(X)。利用等價(jià)無(wú)窮小代換(定理4)求極限xl n(13x)lim2例 9 x >0 arctan(x ) x 3x

5、 解：匚 乂0時(shí)，1 n(1+3x)3x , arctan(x2)x2，二原式=四 x2 二。x sin x.e -elim 例 10 xT° x - sin xsin x # x_sin x.e (e -1)lim 解：原式=x >0x-sinx注：下面的解法是錯(cuò)誤的：sin x 才e (x si nx) 二 lim1x >0x - sin xxsin xlim(e-1(e -1) 原式=x )0x -sin xJimx sinx x 刃 x - sin x正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣:tan xsi nx lim3limj0x3x=0X3tan (x2 sin1)lim例

6、 11 x)0sin x解:當(dāng) x - 0 時(shí)，X sin x是無(wú)窮小，.tan(x2sin)與x2 sin1等價(jià)xx所以,2 . 1x si nilim = lim xsin = 0原式=x >0x xx 。(最后一步用到定理2)五、利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小，有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小。用等價(jià)無(wú)窮小替 換求極限常常行之有效。1 xsinx -1sinsin(x -1)xm.(x)limL例 1.ex -12. t ln x5 洛比達(dá)法則定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值(或無(wú)窮大)時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：（1）f（x）和g（x）的極限都是o或都是無(wú)窮大；

7、（2） f（x）和g（x）都可導(dǎo)，且g（x）的導(dǎo)數(shù)不為o；.f "（x）lim（3）g （x）存在（或是無(wú)窮大）；.f （x）f （x）f（x） f （x）limlimlimlim貝朋限g（x）也一定存在，且等于 g（x），即 g（x） = g（x）。說(shuō)明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要 有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)0 :證所求極限是否為“ 0 ”型或“二”型；條件（2） 一般都滿足，而條件（3） 則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外， 洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使 用之前都需要注意條件。利用洛比達(dá)法則求

8、極限說(shuō)明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)， 也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無(wú)窮 小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例121 -cosx lim x=03x2(例 4)解:lim原式=x Qsin x6x6 o （最后一步用到了重要極限）兀x cos一2例13limlimx 1 x -1解：原式=x 1:：xsin -2 2例14xsin x limx=0（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）1-cosx sinx lim 2 lim 解:原式=x )0 3x =x 6xsin x- xcosxlim2例 15 x0x sin x解：原式=lim0sin x - xcosx2x x=li

9、mx )0cosx -(cosx - xsin x)3x2lim 沖)x 0 3x2381 八 mo'n Xlim 1-1 = 0解：錯(cuò)誤解法：原式=x卩x x正確解法:原式In(1 x) - xxln(1 x)二 limx PIn(1 x) - xx x二 limx >011 x2x二 limx )02x(1 x)應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例x2si nx lim 例 19 J 3x cosx01 - 2cosxlim解：易見(jiàn)：該極限是“ 0 ”型，但用洛比達(dá)法則后得到：x廠3-sinx，此極限不存在，而原來(lái)極限卻是存在的。正確做法如下： 2sinx1 -1（分子

10、、分母同時(shí)除以x = 3（利用定理1和定理2）limxx小 cosx3 +原式=x6 連續(xù)性定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果&是函數(shù)f（x）的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有吧f（x）=f（x0）。利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限1lim x2ex例 4 x >21 1解:因?yàn)閤o=2是函數(shù) 仆）723的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以原式f/Fe7 極限存在準(zhǔn)則定理7 （準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。例 1.設(shè)a>0 Xi =Va,X2 =、；a+va = Ja + Xi,，Xn* =

11、Ja + Xn(n = 1,2，)求極限nimXn定理8 （準(zhǔn)則2）已知Xn，yn，Zn為三個(gè)數(shù)列，且滿足:()yn 乞 Xn 豈 Zn , (n =1,2,3,)lim yn = a lim zn = a（2） nnjoelim Xnlim xn = a則極限n匸一定存在，且極限值也是a，即n心。10. 夾逼定理寶理2藪列夫H定理】如議魏列心卜（x）'荷足F列乗辟<O >a <X. S7t (ii=krk+i,k+2'-) ±- hmy. =11111,jt.-a*寶理3 （函欽矢罡理呦黑驗(yàn) fGL）ubt）thGt）£T列條件丄半0 V

12、 JT-名|< 6(館看him 的科ID km (x) = Urn 1：，J=M那么hm 了打薦在.且尊干弘ji帕r-4««-i-v-*v-倒旳求 +竺零卜<*n+1丄】Iw +w + »2nITTIJTsjn 一 $iti smj因次一 <一所I*n+n+自 n nxdx =JT1*A* _沖 】_ 丁打缶,1_ T打 i / _ < . 疋2主尬 ffi itfli / sin = I«+ltjn t? fl + £ ffltj1七時(shí) t? » 打于捷由去詛定理可知匱瓷等于？n利用極限存在準(zhǔn)則求極限 例 2

13、0 已知 X1 = 6 , Xn = v'2 + Xn , (1, 2,)，求 nm Xn解:易證：數(shù)列Xn單調(diào)遞增，且有界（0< Xn <2），由準(zhǔn)則1極限nmXn存在,lim xn 二 a設(shè)n心。對(duì)已知的遞推公式Xn 1 =2 Xn兩邊求極限，得:2 a，解得：a = 2或a =所以lim xnn >：:例21lim (一11一 亠 亠八：n2 1.n221_ n2 nn11” < + +'解：易見(jiàn)：2 n T 小221nn2 n . n21lim n 二 1 因?yàn)閚匚卞nlim n 二 1n 心n21)=1*'n2 + nn "n

14、2 1.n22cos(-sin3 x) 1lim ( 所以由準(zhǔn)則2得：9.洛必達(dá)法則與等價(jià)無(wú)窮小替換結(jié)合法對(duì)于一些函數(shù)求極限問(wèn)題，洛必達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小結(jié)合御用，往往能化簡(jiǎn)運(yùn)算, 收到奇效。陰2：求挪8訕匹型畀世巴EX*旳 ,r (sinx-sinsinx)xKi lim-; =lim-; *rdr*MOT, (sin*sinsinx)i cos x(l - cos sin x) d. =hm兒wO12.利用定積分的定義求極限法積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問(wèn) 題。例5.求lim科( + 一5亍+斗訂:占gs7T78.利用復(fù)合函數(shù)求極限15?理S?i酉驚if白統(tǒng)計(jì)v刃截知+若1皿護(hù)=1 =心斑函擰f a盞nr豐