高數(shù)A1空間解析幾何與向量代數(shù)答案

1、1自點(diǎn)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線，寫出各垂足的坐標(biāo)。解：按作圖規(guī)則作出空間直角坐標(biāo)系，作出如圖平行六面體。平面，垂足的坐標(biāo)為；平面，垂足的坐標(biāo)為；平面，垂足的坐標(biāo)為；軸，垂足的坐標(biāo)為；軸，垂足的坐標(biāo)為；軸，垂足的坐標(biāo)為。2在平面上，求與三點(diǎn)、和等距離的點(diǎn)。解：設(shè)所求點(diǎn)為 則， ，。由于與、三點(diǎn)等距，故，于是有：， 解此方程組，得，故所求的點(diǎn)為。3已知，求的模、方向余弦與方向角。解：由題設(shè)知： 則，于是，。4已知，求下列各向量的坐標(biāo)：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1) ；(2)；(3)；(4)5設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1)；(2)；(3)，問這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？解：(

2、1)，向量與軸的夾角為，則向量與軸垂直或平行于平面；(2)，向量與軸的夾角為，則向量與軸同向；(3)，則向量既垂直于軸，又垂直于軸，即向量垂直于面。6分別求出向量，及的模，并分別用單位向量，表示向量，。解：，。7設(shè)，和，求向量在軸上的投影及在軸上的分向量。解： 故在軸上的投影為13，在軸上的分向量為。8在坐標(biāo)面上求一與已知向量垂直的向量。解：設(shè)所求向量為，由題意，取，得，故與垂直。當(dāng)然任一不為零的數(shù)與的乘積也垂直。9求以，為頂點(diǎn)的三角形的面積。解：由向量的定義，可知三角形的面積為，因?yàn)?，所以，于是?10求與向量，都垂直的單位向量。解：由向量積的定義可各，若，則同時(shí)垂直于和，且，因此，與平行的

3、單位向量有兩個(gè)：和11設(shè)三向量，滿足，試證三向量，共面。證：由有兩邊與作數(shù)量積，得由于，所以，從而，共面。12將坐標(biāo)面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：由坐標(biāo)面上的曲線繞一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)生成的曲面方程的規(guī)律，所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，即。13畫出下列各方程所表示的曲面：a/2(1) o(1)；(2)；(3)。 2 3(2) （3）14指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？(1)；(2)；(3)；(4)。方程在平面解幾中表示在空間解幾中表示平行于軸的一直線與平面平行且過的平面斜率為1，在軸截距為1的直線平行于軸，過(0,1,0)，(-1,0,1)的平面圓心

4、在原點(diǎn)，半徑為2的圓以過軸的直線為軸，半徑為2的圓柱面雙曲線母線平行于軸的雙曲柱面15說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的？(1)；(2)。解：(1)由坐標(biāo)面上的雙曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周或是坐標(biāo)面上的雙曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到。(2)是坐標(biāo)面上關(guān)于軸對(duì)稱的一對(duì)相交直線，即和中之一條繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或是坐標(biāo)上關(guān)于軸對(duì)稱的一對(duì)相交直線，即和中之一條，繞軸旋轉(zhuǎn)一周。16指出下列方程組在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么圖形？(1)；(2)解：(1)在平面解析幾何中表示兩直線的交點(diǎn)；在空間解析幾何中表示兩平面的交線；(2)在平面解析幾何中表示橢圓與其一切線的交點(diǎn)；在空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面的交線。1

5、7分別求母線平行于軸及軸而且通過曲線的柱面方程。解：10從方程組中消去得：，此方程即母線平行于軸且通過已知曲線的柱面方程；20從方程組中消去得：，此方程即母線平行于軸且通過此曲線的柱面方程。18求球面與平面的交線在面上的投影的方程。解：由，得，代入，消去得，即，這就是通過球面與平面的交線，并且母線平行于軸的柱面方程，將它與聯(lián)系，得：，即為所求的投影方程。19求平面與面的夾角。解：為此平面的法向量，設(shè)此平面與的夾角為，則，故。20分別按下列條件求平面方程(1)平行于面且經(jīng)過點(diǎn)； (2)通過軸和點(diǎn)； (3)平行于軸且經(jīng)過兩點(diǎn)和。解：(1)因?yàn)樗笃矫嫫叫杏诿?，故為其法向量，由點(diǎn)法式可得：，即所求平

6、面的方程：。(2)因所求平面通過軸，其方程可設(shè)為，已知點(diǎn)在此平面上，因而有，即，代入（*）式得：，即所求平面的方程為：。(3)從共面式入手，設(shè)為所求平面上的任一點(diǎn)，點(diǎn)和分別用，表示，則，共面，從而，于是可得所求平面方程為：。21用對(duì)稱式方程及參數(shù)式方程表示直線：。解：因?yàn)橹本€的方向向量可設(shè)為，在直線上巧取一點(diǎn)（令，解直線的方程組即可得，），則直線的對(duì)稱式方程為，參數(shù)方程為：，。22求過點(diǎn)且與兩平面和平行的直線方程。解：因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄颗c不平行，所以兩平面相交于一直線，此直線的方向向量，故所求直線方程為。23求直線與平面的夾角。解：已知直線的方向向量，已知平面的法向量，而，所以，故直線與平面的

7、夾解為0。24確定直線 和平面間的位置關(guān)系。解：直線的方向向量 平面的法向量從而，由此可知直線平等于平面或直線在平面上。再將直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面方程左邊，得，即不在平面上，故直線平行于平面。25設(shè)，證明、三點(diǎn)共線。解：因?yàn)樗?即，共線，為公共點(diǎn)，故、三點(diǎn)共線。26設(shè)有兩個(gè)力，和，同時(shí)作用于一個(gè)點(diǎn)上，試求它們的合力的大小和方向。解：設(shè) 于是， 得：，故其方向余弦為，從而方向角為：，。27設(shè)向量的兩個(gè)方向余弦為，又，求的坐標(biāo)。解：因?yàn)?，故?由公式， 于是得或。28證明垂直于。證：，故。29已知三點(diǎn)，且，求(1)與的夾角；(2)在上的射影。解：，； ，；，；可設(shè)，；因而可得：(1)，所以；(

8、2)。30求出球面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線。解：兩曲面的交線為，將(2)代入(1)得，所以或，由(2)知，故取。因此交線方程為或。這是在平面上圓心為，半徑為2的圓曲線。31求過點(diǎn)而與直線，平行的平面方程。解：因?yàn)橹本€的方向向量，直線的方向向量。 取 ，則通過點(diǎn)并以為法向量的平面方程即為所求的平面方程。32求點(diǎn)在平面上的投影。解：從點(diǎn)作平面的垂線，則垂線的方向向量就是平面的法向量，所以垂線方程為。為求出垂足，將垂線方程化為參數(shù)方程，將其代入平面方程，得，求得垂足（即投影）的坐標(biāo)為。33求點(diǎn)到直線的距離。解一：因?yàn)橐阎本€的方向向量，由平面的點(diǎn)法式方程得，過點(diǎn)且垂直于直線的平面方程為。解方程組，得垂足的坐標(biāo)，于是，即為所求的距離。解二：在直線上任取點(diǎn)，以，為鄰邊的平行四邊形的面積，點(diǎn)到直線的距離為，而，于是，而，故。34設(shè)，為單位向量，且滿足，求。解：因?yàn)?，所以。而，同理可知：；，于是?/p>