選修知識總結(jié)

1、第一章常用邏輯用語（1）命題命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，表示命題，故復合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。（2）復合命題的真值“非p”形式復合命題的真假可以用下表表示： p非p真假假真“p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假“p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式

2、復合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。（3）四種命題如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題；如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題；如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆

3、否命題。兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。（4）條件一般地，如果已知pÞq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件?？煞譃樗念悾海?）充分不必要條件，即pÞq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qÞp；(3)既充分又必要條件，即pÞq，又有qÞp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。一般地，如果既有pÞq，又有qÞp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pÞq且qÞp。這時p既是q的充分條件，

4、又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。（5）全稱命題與特稱命題這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。注意：1.一個語句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都不是命題；2.判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價命題 ，逆命題與其否命題是等價命題 ，一真俱真，一假俱假，當一個命題的真假不易判

5、斷時，可考慮判斷其等價命題的真假；3.判斷命題充要條件的三種方法：（1）定義法；（2）利用集合間的包含關(guān)系判斷，若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；（3）等價法：即利用等價關(guān)系判斷，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運用等價法；第二章圓錐曲線與方程一曲線方程（1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明1、“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標。建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x,y)表示曲線上任意一點M的坐標。(1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設點。(2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當?shù)淖鴺讼怠?、現(xiàn)(限)：由限制條件

6、，列出幾何等式。寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確。3、“代”：代換用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化簡化方程f(x,y)=0為最簡形式。要注意同解變形。5、證明證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點?；喌倪^程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍)。這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設現(xiàn)(限)代化”（2）求曲線方程的常見方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個步驟來

7、求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個方法又叫相關(guān)點法或坐標代換法。即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。待定系數(shù)法2圓錐曲線綜合問題（1）圓錐曲線中的最值問題、范圍問題通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)

8、或不等式知識，以及觀形、設參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。解題時要注意函數(shù)思想的運用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。圓錐曲線的弦長求法：設圓錐曲線Cf(x，y)=0與直線ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應的最值注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍。（2）對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法。

9、（3）實際應用題數(shù)學應用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實際應用問題，如橋梁的設計、探照燈反光鏡的設計、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運行軌道的計算等。涉及與圓錐曲線有關(guān)的應用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：（4）知識交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強區(qū)分度的綜合題。2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（1）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何

10、角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點。（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數(shù)與交點的個數(shù)是一樣的。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件3直線與圓錐曲線相交的弦長公式設直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,

11、y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b24ac。則弦長公式為：d=。（有誤）焦點弦長：（點是圓錐曲線上的任意一點，是焦點，是到相應于焦點的準線的距離，是離心率）。三、圓錐曲線方程及性質(zhì)1橢圓通徑1. 數(shù)學意義：定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦雙曲線和橢圓的通徑是2b2/a 拋物線的通徑是2p（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上即 x型）或（）（焦點在y軸上 即y型）。注：以上方程中的大小

12、，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢

13、圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。注意：（*）式中是差的絕對值，在條件下；時為雙

14、曲線的一支（含的一支）；時為雙曲線的另一支（含的一支）；當時，表示兩條射線；當時，不表示任何圖形；（可借助三角形理解 自己添加的）兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點注意：如何用方程確定焦點的位置?。?）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點

15、，他們是雙曲線的頂點。令，方程沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼

16、此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為： ，當時交點在軸，當時焦點在軸上。注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線

17、的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準線的距離。4、幾個常用結(jié)論（1）橢圓的焦點三角形：橢上一點P與橢圓的兩個焦點F1、F2組成的三角形稱為橢圓的焦點三角形，解決與橢圓焦點三角形有關(guān)的問題時，應注意橢圓的定義、正弦和余弦定理的運用。（2）關(guān)于拋物線焦點弦的幾個結(jié)論：設AB為過拋物線 y2=2px (

18、p>0 )焦點的弦，A(x1 ，y1)、B (x2 ,y2 ) ,直線AB的傾斜角為，則 x1x2=， y1y2=p2 ; |AB|=以AB為直徑的圓與準線相切；焦點F對A、B在準線上射影的張角為900；. 第三章 空間向量與立體幾何一、空間向量及其運算1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；平面向量僅限于研究同一平面

19、內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2向量運算和運算律加法交換率：加法結(jié)合率：數(shù)乘分配率：說明：引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作。注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個向量（）、，的充要條件是存在實數(shù)使注：上述定理包含兩個方面：性質(zhì)定理：若（0），則有，其中是唯一確定的實數(shù)。判斷定理：若存在唯一實

20、數(shù)，使（0），則有（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）。對于確定的和，表示空間與平行或共線，長度為 |，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量。若直線l，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導的表達式。推論：如果 l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式其中向量叫做直線l的方向向量。在l上取，則式可化為當時，點P是線段AB的中點，則或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB的中點公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推

21、論的用途：解決三點共線問題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作。注意：向量與直線a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使或?qū)臻g任一定點O，有在平面MAB內(nèi)，點P對應的實數(shù)對（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又代入，整理得由于對于空間任意一點P，只要滿足等式、之

22、一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點P，都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。5空間向量基本定理：如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使說明：由上述定理知，如果三個向量、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、生成的，所以我們把，叫做空間的一個基底，都叫做基向量；空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者

23、是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使6數(shù)量積ABO（4）ABO（3）（1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，則角AOB叫做向量與的夾角，記作ABO（1）OAB（2）說明：規(guī)定0,因而=；如果=，則稱與互相垂直，記作；在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同，圖（3）中AOB=，圖（4）中AOB=,從而有=.（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（3）

24、向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。ABl即=，向量:（4）性質(zhì)與運算律。=0=二、立體幾何中的向量方法1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。（1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角。（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。DBAC具體步驟如下：找過斜線上一點與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線

25、在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱

26、相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當作二面角的平面角有困難時,如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應用公式,求出二面角的大小。2空間的距離（1）點