量子力學(xué)講義

1、對稱性的重要意義：伽利略變換下的不變性牛頓力學(xué)的基石之一。 洛侖茲變換下的不變性相對論的基石之一。對稱性守恒律（量）21世紀(jì)的重大問題之一：理論越來越對稱，實(shí)驗越來越多地發(fā)現(xiàn)不對稱 “矛盾”？！（參見李政道物理學(xué)的挑戰(zhàn)）本篇主要內(nèi)容：1、轉(zhuǎn)動對稱性問題自旋與角動量；2、粒子交換對稱性問題全同粒子問題；3、時空交換對稱性問題對稱性與守恒律問題。第八章 自旋與角動量 電子自旋1925年實(shí)驗提出1928年相對論波動力學(xué)自動從理論上引入量子力學(xué)。自旋 描述微觀粒子特征的基本物理量。一、 關(guān)于自旋的實(shí)驗事實(shí)（原子物理已討論） 納黃線的精細(xì)結(jié)構(gòu)；復(fù)雜（反常）塞曼效應(yīng)；斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗。為了解釋實(shí)驗現(xiàn)象，

2、引入新的自由度（在內(nèi)稟空間中）。二、烏倫貝克-哥德斯密特假設(shè)1、 每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上（取作z軸）的投影只能取兩個值 。2、 每個電子的自旋磁矩與自旋角動量的關(guān)系為。 自旋磁矩與自旋角動量的比值稱電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率： 朗德因子。與軌道角動量的回轉(zhuǎn)比率比較： 朗德因子，知。注意：軌道角動量有經(jīng)典對應(yīng) ，自旋角動量沒有經(jīng)典對應(yīng)。如果設(shè)想為經(jīng)典自轉(zhuǎn)違背相對論。自旋是內(nèi)稟自由度（對經(jīng)典講，是全新的概念） 自旋算符與自旋波函數(shù)問題：自旋算符如何定義？自旋如何描述？基本思路 由對易關(guān)系定義算符。（無經(jīng)典對應(yīng)）已知“軌道”： 。一、自旋算符的對易關(guān)系及自旋算符的本征值定義：實(shí)驗表明：

3、。類比：角量子數(shù)。有 自旋量子數(shù)。二、泡利算符的對易關(guān)系及泡利算符的本征值令 泡利算符。反對易關(guān)系： 。易知 三、自旋算符在表象的矩陣表示表象中 。現(xiàn)在求： 令 ： 。：。： ， 取最簡形式，有 。這樣自旋算符的矩陣表示就全部求出：相應(yīng)的泡利矩陣為：四、電子自旋波函數(shù)取-表象：有 即，。取有 ，構(gòu)成正交歸一完備集。任一自旋波函數(shù)可以展開成。其中， 電子自旋向上的幾率；電子自旋向下的幾率。歸一化要求有。 引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材P290-293的例題1-3。例：教材P294 例4。（只講思路，不講計算細(xì)節(jié)） 求的本征函數(shù)和本征值。求該本征態(tài)中的可能值、相應(yīng)幾率和平均值。解：。本征值方程為 。由久期方程

4、。將代入方程求a，得 由歸一化條件，得 。于是有。同理得。將用展開，的幾率；的幾率。于是有。同理討論的相關(guān)問題。作業(yè)：習(xí)題、2，3，4，6。8.3 泡利方程 磁共振（重點(diǎn)講清思路，不推導(dǎo)細(xì)節(jié)）一、考慮自旋后的電子波函數(shù)將用展開，系數(shù)為的函數(shù)：。二、考慮自旋后的力學(xué)量算符一般形式： 。三、泡利方程將有電磁場的S-方程推廣到包含自旋的情況。自旋磁矩 泡利方程。四、用分離變量法求解泡利方程令 。設(shè) 定態(tài)。（關(guān)于，前面已經(jīng)討論，本章注意力在自旋問題）五、順磁共振和核磁共振1、自由電子在均勻恒定磁場中的運(yùn)動： 守恒，電子的自旋狀態(tài)要發(fā)生變化（高能態(tài)低能態(tài)），必然要與外界交換能量。2、再加上正弦場：。令

5、，由可得 。3、電子自旋共振： 若t=0時，電子處于自旋向下態(tài)，即。當(dāng)外場（稱為拉莫頻率）時，有。此式表明，當(dāng) 時，電子自旋向上的幾率為1，自旋向下的幾率為0。比較： z軸反轉(zhuǎn)，能級躍遷。可見，在半周期，與外界交換能量。這種在靜磁場作用下，電子的磁能級分裂，并在弱交變磁場的作用下所引起的共振吸收和共振發(fā)射的現(xiàn)象，稱為電子自旋共振?？捎妙愃频姆椒ㄓ懻摵舜殴舱瘢ㄗ詫W(xué)教材或參考有關(guān)文獻(xiàn)）。8.4 角動量算符的基本性質(zhì)（一般性討論 代數(shù)法的實(shí)例）一、角動量算符的定義式： 。二、角動量算符的本征值譜 設(shè) 1、引入新算符一系列對易關(guān)系 見教材P307 （9）（10）（11）。由此可得2、的本征值為 設(shè)m的

6、上限為j，則 。 相鄰的：。可見 是的本征矢，本征值為，即有。 同理有 。個。3、的本征值為j為m的最大值，將作用于，并利用，有j的取值范圍：設(shè)m有N個值，且已知 ，可見，j取零、整數(shù)和半整數(shù)。如軌道角動量j=l，電子自旋角動量。三、表象中角動量的矩陣表示已知 。問題：由 （1） （2）的非零矩陣元為 對（1）式兩邊取共軛：，兩邊同乘以（1）式：，取實(shí)部 。非零矩陣元 ，取共軛 。再利用與的關(guān)系，得到非零矩陣元：，。作業(yè)：習(xí)題、1，2，4；習(xí)題、3。8.5 兩個角動量的相加一、總角動量算符及其對易關(guān)系。二、總角動量的本征值與本征矢1、無耦合表象與耦合表象無耦合表象：以的共同本征態(tài)為基矢，記，有

7、耦合表象：以的共同本征態(tài)為基矢，記，有2、兩種表象基矢之間的關(guān)系 C-G系數(shù) 將用展開 給定： 稱為C-G系數(shù)，它是由“無耦合表象”到“耦合表象”的么正矩陣元。只要知道了C-G系數(shù)，就可以建立起兩種基矢的關(guān)系。*三、C-G系數(shù)的求法及應(yīng)用1、C-G系數(shù)不為零的條件（我們只給出結(jié)果，證明見教材）；。2、C-G系數(shù)的計算，C-G系數(shù)表（計算非常復(fù)雜，實(shí)用中可直接查表略）。 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)耦合：能級分裂精細(xì)結(jié)構(gòu)（同樣的n,l，能級有兩個）。 復(fù)雜（反常）塞曼效應(yīng)弱磁場中：分裂數(shù)不是三個，間隔也不盡相同。復(fù)雜（反常）塞曼效應(yīng) 自旋單態(tài)與三重態(tài)一、總自旋角動量及其對易關(guān)系。對于電子，。二、的共同本征態(tài)取

8、為力學(xué)量完全集：，。的共同本征態(tài)有4個：，。取為力學(xué)量完全集，顯然，都是的本征態(tài)，本征值分別為。問題是，它們是否是的本征矢？是的本征矢。證：。而 ，。同理可證明 。由 ，記的共同本征態(tài)為，則。不是的本征矢（自證）。但可以把的這兩個本征態(tài)疊加，構(gòu)成的本征態(tài)：令 ，要求 ，可得。由歸一化條件 小結(jié)列表的共同本征態(tài)S 1 1 1 0 三重態(tài)（對稱） 1 -1 0 0 單態(tài)（反對稱）作業(yè)：習(xí)題、4，5；習(xí)題、1，2，3。第九章 全同粒子9.1 全同性原理 全同粒子體系的波函數(shù)一、全同粒子與全同性原理全同粒子：固有（內(nèi)稟）性質(zhì)（質(zhì)量，電荷，自旋，）完全相同的粒子。量子力學(xué)中，全同粒子不可區(qū)分（經(jīng)典可用軌

9、道區(qū)分）全同性原理：在全同粒子中，兩全同粒子相互交換不改變體系的狀態(tài)“全同性”不只是一個抽象的概念，它是一個可觀測量見后面的討論。（在量子力學(xué)中的粒子，要么“全同”，要么“很不同”。）二、的交換對稱性交換算符。對兩粒子體系，如氦原子中的兩個電子：，顯然，具有交換不變性交換對稱性。推廣到一般情況N個全同粒子組成的體系，具有交換不變性交換對稱性 是一個守恒算符。三、波函數(shù)的交換性設(shè) 描述N個全同粒子組成的體系。由全同性原理知與描述同一狀態(tài)，即。即交換對稱性全同粒子體系的波函數(shù)對粒子交換具有一定對稱性：對稱波函數(shù)；反對稱波函數(shù)。守恒這種對稱性不隨時間而變化。四、波函數(shù)的交換對稱性決定于粒子的自旋實(shí)驗

10、表明： 自旋為的半整數(shù)倍 費(fèi)米子波函數(shù)是反對稱的；自旋為的整數(shù)倍 玻色子波函數(shù)是對稱的。五、全同費(fèi)米體系的波函數(shù) 泡利不相容原理先以兩粒子為例 忽略相互作用，如何由單粒子波函數(shù)構(gòu)成體系的波函數(shù)？ 有交換簡并。問題：能用作為體系波函數(shù)嗎？否！不滿足反對稱要求，必須反對稱化：若兩粒子處于同一狀態(tài)，即 泡利不相容原理（1925）?？赏茝V到N個粒子組成的體系 見教材：繁而不難，這種表述不便。實(shí)際應(yīng)用將采用“二次量子化”處理 用“粒子數(shù)表象”。因全同粒子體系 只數(shù)“數(shù)”，不標(biāo)粒子坐標(biāo)（不可區(qū)分）。六、全同玻色子體系的波函數(shù)以兩粒子為例 波函數(shù)要對稱化。1、 當(dāng)時：。2、 當(dāng)時：。推廣到N個粒子體系的波函

11、數(shù)請自學(xué)教材（略講） 數(shù)學(xué)的排列組合問題。七、全同粒子體系的總波函數(shù)忽略自旋-軌道耦合：。波函數(shù)的交換對稱性總波函數(shù) 空間波函數(shù) 自旋波函數(shù)費(fèi)米子反對稱 對稱 反對稱反對稱 對稱玻色子 對稱 對稱 對稱反對稱 反對稱對二電子體系，總波函數(shù)的四種形式見教材P345。引導(dǎo)同學(xué)們自學(xué)教材中的例題 重點(diǎn)是P349 例2 如何構(gòu)成總波函數(shù)。例：教材習(xí)題、5 說明“全同性”是可以“觀測”的。解： 沒有交換對稱性。兩粒子的波函數(shù)可表為：。令，上式可化成 ，略去與本題無關(guān)的質(zhì)心運(yùn)動部分，相對運(yùn)動部分的波函數(shù)為在的球殼中找到另一個粒子的幾率為 幾率密度。 交換反對稱波函數(shù)。，這樣，反對稱的相對運(yùn)動波函數(shù)可表為。

12、由此可算出 。 交換對稱波函數(shù)。類似可以求得。作業(yè)：習(xí)題、1，2，4。 氦原子 仲氦和正氦（應(yīng)用實(shí)例）* 分子的形成一、：。二、的本征值和本征函數(shù)：已知的單粒子波函數(shù)。三、零級近似波函數(shù)，。四、基態(tài)能級的計算，。實(shí)驗：，誤差5.3（因為并不太?。Ｓ米兎址ㄓ嬎?，誤差。五、激發(fā)態(tài)能級的計算（只講思路）設(shè)mn，激發(fā)態(tài)是二重簡并，將零級近似波函數(shù)代入有， （“+”對稱；“-”反對稱） 兩電子相互作用庫侖能， 兩電子交換能量子效應(yīng)解釋化學(xué)共價鍵。交換密度 決定兩波函數(shù)的重合程度。六、仲氦與正氦氦原子中的電子波函數(shù)反對稱： 單態(tài)仲氦， 三重態(tài)正氦。*補(bǔ)充內(nèi)容 原子怎樣結(jié)合成分子（只定性說明） 這是一直使

13、化學(xué)家困惑的問題，直到量子力學(xué)產(chǎn)生之后才明白，共價鍵完全是一種量子力學(xué)效應(yīng)。正因為原子中的電子運(yùn)動服從量子力學(xué)規(guī)律，相同的兩個原子之間才產(chǎn)生了引力（交換能A），從而形成共價鍵。1、 能量最小原理：若干粒子在一起時，能量最低狀態(tài)是最穩(wěn)定的平衡態(tài)。這是 物理學(xué)的一條普遍原理。遠(yuǎn)離的兩個原子為什么會結(jié)合在一起構(gòu)成分子呢？因為“結(jié)合在一起時的能量”（電子重疊的作用十分重要） “遠(yuǎn)離時的能量”。2、 化學(xué)鍵 離子鍵與共價鍵 離子鍵：如 容易理解，吸引力能量。 共價鍵：如（氫分子） 原子整體是中性的，是什么引力使它們結(jié)合在一起？ 量子力學(xué)給化學(xué)家研究分子的形成和結(jié)構(gòu)提供了一個根本性的強(qiáng)有力武器，從此產(chǎn)生了一門新的學(xué)科 量子化學(xué)。3、 氫分子假定原子核A，B不動，忽略自旋-軌道相互作用，則。適當(dāng)取近似波函數(shù)。如何選擇？（基態(tài)）把相互作用作微擾，用兩氫原子的基態(tài)波函數(shù)在滿足對稱性要求下構(gòu)成： 三重態(tài) 單態(tài)由此得 三重態(tài) 單態(tài)（）K庫侖能；A交換能波函數(shù)對稱化的結(jié)果量子力學(xué)效應(yīng)。具體計算K