知識講解正弦定理提高

1、編稿：李霞審稿：張林娟【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對直角三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，初步學(xué)會運用由特殊到一般的思維方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；2.會利用正弦定理解決兩類解三角形的問題；（1）已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而求出其它邊角）. 【要點梳理】要點一：學(xué)過的三角形知識1.中（1）一般約定：中角A、B、C所對的邊分別為、；（2）；（3）大邊對大角，大角對大邊，即；等邊對等角，等角對等邊，即；（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要點二：正弦定理及其證明正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對

2、角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：，即：，斜三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：法一：向量法（1）當(dāng)為銳角三角形時過作單位向量垂直于，則+=兩邊同乘以單位向量，得(+)=，即，同理：若過作垂直于得：，（2）當(dāng)為鈍角三角形時設(shè)，過作單位向量垂直于向量，同樣可證得：法二：構(gòu)造直角三角形（1）當(dāng)為銳角三角形時如圖，作邊上的高線交于，則:在中,，即，在中,即,，即.同理可證（2）當(dāng)為鈍角三角形時如圖，作邊上的高線交于，則:在中,，即，在中,即,，即.同理可證法三：圓轉(zhuǎn)化法（1）當(dāng)為銳角三角形時如圖，圓O是的外接圓，直徑為，則，（為的外接圓半徑）同理：，故：（2）當(dāng)為鈍角三角形時如圖，.法

3、四：面積法任意斜中，如圖作，則同理：，故，兩邊同除以即得：要點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；靈活利用正弦定理，還需知道它的幾個變式，比如：，,等等.要點三：利用正弦定理解三角形一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素.任何一個三角形都有六個元素：三邊和三角.在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，然后再進一步求出其他的邊和角.要點詮釋：已知a，b和A，用正弦定理求

4、B時的各種情況；(1)若A為銳角時：如圖：(2)若A為直角或鈍角時：判斷三角形形狀判斷三角形形狀的思路通常有以下兩種：（1）化邊為角；（2）化角為邊.對條件實施轉(zhuǎn)化時，考慮角的關(guān)系，主要有：(1)兩角是否相等？(2)三個角是否相等？（3）有無直角、鈍角？考查邊的關(guān)系，主要有：（1）兩邊是否相等？（2）三邊是否相等？要點詮釋：對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對解進行討論。此外，有的時候還要對邊角關(guān)系（例如，大邊對大角）進行討論從而舍掉不合理的解.【典型例題】類型一：正弦定理的簡單應(yīng)用

5、：【高清課堂：正弦定理例1】例1已知在中，求和B.【思路點撥】本題考查正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值，三角形中邊與角的對應(yīng)關(guān)系等。由正弦定理列出邊a滿足的方程，再根據(jù)三角形內(nèi)角和來確定角B的值?！窘馕觥浚?，【總結(jié)升華】1.正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；2.數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式1】在中，已知，求、.【答案】，根據(jù)正弦定理，.【變式2】在中，若，則等于 （ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。故選B.【變式3】中，BC3，則的周長為（）A B

6、C D【答案】由正弦定理得：，得bcsinBsin(B)故三角形的周長為：3bc，故選D例2.已知下列三角形的兩邊及其一邊的對角，判斷三角形的情況，有解的作出解答。(1)a=7,b=9,A=100 (2) a=10,b=20,A=75(3)a=10,c=5,C=60 (4) a=2【思路點撥】已知三角形兩邊及其中一邊的對角求解三角形的有可能有兩種情況，具體有幾解可以借助于要點梳理中要點三中的方法解決?！窘馕觥浚?）本題無解。（2）本題無解。（3）本題有一個解。利用正弦定理，可得：（4）本題有兩解。由正弦定理得：當(dāng)綜上所述：【總結(jié)升華】已知三角形兩邊及其中一邊的對角求解三角形的有可能有兩種情況，

7、具體方法可以借助于下了表格：A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<b無解無解a>bsinA兩解a=bsinA一解A<bsinA無解舉一反三：【變式1】在中，, , 求.【答案】由正弦定理，得., ，即【變式2】在，求和，【答案】由正弦定理得：，（方法一），或，當(dāng)時，（舍去）；當(dāng)時，（方法二），即為銳角，【高清課堂：正弦定理例3】【變式3】在中，求和【答案】，或當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，或類型三：利用正弦定理判斷三角形的形狀例3.根據(jù)下列條件，判定的形狀.【思路點撥】利用正弦定理將邊化成角，分析角之間的關(guān)系，再利用正弦定理將角化為邊，進而判斷三角形的

8、形狀.【解析】(1)由正弦定理得故是等腰三角形或直角三角形(2)由正弦定理得故是等邊三角形【總結(jié)升華】已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進行三角恒等變換求出三個角之間的關(guān)系式；其二化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式。舉一反三：【變式1】在中，若，試判斷的形狀.【答案】由及已知條件可得：，為三角形的內(nèi)角，或，所以為等腰三角形或直角三角形。【變式2】在ABC中，試判斷三角形的形狀.【答案】利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.又0A，B，AB即故此三角形是等腰三角形.類型四：利用正弦定理求三角形的面積例4.在中，角的對邊分別為，。（I）求的值；（）求的面積

9、?！舅悸伏c撥】先利用三角形內(nèi)角和求出C的正弦值，再利用正弦定理求邊，進而求三角形的面積.【解析】（）因為A、B、C為ABC的內(nèi)角，且，所以，于是（）由（）知，又因為，所以在ABC中，由正弦定理，得.于是ABC的面積.【總結(jié)升華】求三角形面積，應(yīng)根據(jù)已知條件選擇合適的計算方法，以減少計算量. 若已知三角形的兩邊，則可求其夾角，然后利用求解.舉一反三：【變式】在ABC中，已知，求的面積?！敬鸢浮坑桑?，又，即，所以三角形的解有兩種情況，或故的面積的面積為或.類型五：正弦定理的綜合運用例5.如圖，D是直角ABC斜邊BC上一點，ABAD，記CAD，ABC.(1)證明：sin cos 20；(2)若AC

10、DC，求的值【思路點撥】先利用直角三角形中邊，角的關(guān)系找到、的等量關(guān)系，然后在ADC中利用正弦定理，建立方程解之.【解析】(1)證明：ABAD，則ADB，C. 又BC90°，即290°，則290°，cos 2sin ，即cos 2sin 0.(2)在ADC中，即sin sin . 代入整理得：2sin2sin 0.解得sin ，或sin 舍去，又為銳角，則60°.【總結(jié)升華】以平面幾何圖形為背景，求解有關(guān)長度、角度、面積、最值和優(yōu)化等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正弦定理、余弦定理（即將要學(xué)習(xí)）加以解決舉一反三：【變式1】在ABC中，已知a5，B105°，C15°，則此三角形的最大邊的長為_【答案】在ABC中，大角對