李錦旭數(shù)列型不等式放縮技巧九法

1、山東省臨沭縣實驗中學(xué) 李錦旭（276700）證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：一 利用重要不等式放縮1 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項為，即注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公

2、式均可供選用。例2 已知函數(shù)，若，且在0，1上的最小值為，求證：（02年全國聯(lián)賽山東預(yù)賽題）簡析 例3 求證.簡析 不等式左邊=，故原結(jié)論成立.2利用有用結(jié)論例4 求證簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有： 法1利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)可得即法2利用貝努利不等式的一個特例(此處)得 注：例4是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例5 已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。（90年全國卷壓軸題） 簡析 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運用柯西（）不等式

3、的簡捷證法：而由不等式得(時取等號)（），得證！例6已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮：，即例7已知不等式表示不超過的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證（05年湖北卷第（22）題）簡析當(dāng)時，即 于是當(dāng)時有 注：本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來進行有效地放縮；引入有用結(jié)論在解題中即時應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新

4、意識。例8設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析 引入一個結(jié)論：若則（證略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。注：上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例4所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式

5、、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文1。二 部分放縮 例9 設(shè)求證： 解析 又（只將其中一個變成，進行部分放縮），于是例10設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時證明對所有 有；（02年全國高考題） 解析 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立即，則當(dāng)時，成立。利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項，可得 注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三 添減項放縮 上述例4之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。例11 設(shè)，求證.簡析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例12設(shè)數(shù)列滿足 （）證明對一切正整數(shù)成立；（）令，判

6、定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（）進行減項放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1 構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故 再如例4，令則，即遞增，有，得證！注：由此可得例4的加強命題并可改造成為探索性問題：求對任意使恒成立的正整數(shù)的最大值；同理可得理科姊妹題的加強命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！ 2構(gòu)造函數(shù)例13 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時（）求的值；（）設(shè)，證明（04年遼寧卷第21題）解析 （）=1 ；（）由得且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例14 數(shù)列由下列條件確定：，（

7、I）證明：對總有；(II)證明：對總有（02年北京卷第（19）題） 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當(dāng)時在遞增，故對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。注：本題有著深厚的科學(xué)背景：是計算機開平方設(shè)計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學(xué)背景數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限：是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。類題有06年湖南卷理科第19題：已知函數(shù),數(shù)列滿足:證明:();().（證略）五 換元放縮例15求證 簡析 令，這里則有，從而有 注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例16 設(shè)，求證.簡析 令，則，應(yīng)用二

8、項式定理進行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例10中利用部分放縮所得結(jié)論 進行遞推放縮來證明，同理例6中所得和、例7中、 例12（）之法2所得都是進行遞推放縮的關(guān)鍵式。七 轉(zhuǎn)化為加強命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強命題，就容易多了（略）。例17 設(shè)，定義，求證：對一切正整數(shù)有解析 用數(shù)學(xué)歸納法推時的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因為出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：對一切正

9、整數(shù)有（證明從略）例18 數(shù)列滿足證明（01年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題）簡析 將問題一般化：先證明其加強命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步：因此對一切有 例19已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)n有a1a2an2n?。?6年江西卷理科第22題）解析：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個等比數(shù)列，其首項為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n1）1（2）證：據(jù)1得，a1a2an，為證a1a2an2顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強不等式：對每個nN*，有1（）3（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3得，1（）11。故2式成立，從而結(jié)論成立。八 分項討論例20 已

10、知數(shù)列的前項和滿足 （）寫出數(shù)列的前3項；（）求數(shù)列的通項公式；（）證明：對任意的整數(shù)，有（04年全國卷）簡析 （）略，（） ；（）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當(dāng)且為奇數(shù)時（減項放縮），于是當(dāng)且為偶數(shù)時當(dāng)且為奇數(shù)時（添項放縮）由知由得證。九數(shù)學(xué)歸納法例21（）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（）設(shè)正數(shù)滿足，證明（05年全國卷第22題） 解析 這道高考題內(nèi)蘊豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問題。（）略，只證（）：法1由為下凸函數(shù)得又，所以考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森（jensen）不等式（若為上的下凸函數(shù)，則對任意，有 特別地，若則有若為上凸函數(shù)則改“”為“”）的證明思路與方法有：法2 （用數(shù)學(xué)歸納法證明）（i）當(dāng)n=1時，由（）知命題成立.（ii）假定當(dāng)時命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當(dāng)時命題也成立.根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立.法3構(gòu)造函數(shù)利用（）知，當(dāng)對任意.（式是比式更強的結(jié)果）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時，由（I）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即若正數(shù)對（*）式的連續(xù)兩