江蘇高考數(shù)學(xué)試卷及答案

1、數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1本試卷共4頁(yè)，均為非選擇題(第1題第20題，共20題)。本卷滿(mǎn)分為160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一片交回。簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符。4作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效。5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗。參考公式：錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上

2、1已知集合，那么 2若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中i是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為 3已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為 4一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為 5函數(shù)的定義域?yàn)?6某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為 7已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的值是 8在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為，則其離心率的值是 9函數(shù)滿(mǎn)足，且在區(qū)間上， 則的值為 10如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為 11若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值

3、的和為 12在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)l交于另一點(diǎn)D若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 13在中，角所對(duì)的邊分別為，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，且，則的最小值為 14已知集合，將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得成立的n的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿(mǎn)分14分）在平行六面體中，求證：（1）；（2）16（本小題滿(mǎn)分14分）已知為銳角，（1）求的值；（2）求的值17（本小題滿(mǎn)分14分）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧（P為此圓弧的

4、中點(diǎn)）和線(xiàn)段MN構(gòu)成已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線(xiàn)段上，均在圓弧上設(shè)OC與MN所成的角為（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大18（本小題滿(mǎn)分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P若直線(xiàn)l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；直線(xiàn)l與橢圓C交于

5、兩點(diǎn)若的面積為，求直線(xiàn)l的方程19（本小題滿(mǎn)分16分）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)若存在，滿(mǎn)足且，則稱(chēng)為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”（1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；（3）已知函數(shù)，對(duì)任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由20（本小題滿(mǎn)分16分）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列（1）設(shè)，若對(duì)均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在，使得對(duì)均成立，并求的取值范圍（用表示）數(shù)學(xué)試題參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本思想方法每小題5分，共計(jì)70分11，8223904852，+）6782910113123

6、1391427二、解答題15本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力滿(mǎn)分14分證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C （2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC又因?yàn)锳1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1

7、BC16本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和（差）及二倍角的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力滿(mǎn)分14分解：（1）因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，因此，?）因?yàn)闉殇J角，所以又因?yàn)?，所以，因此因?yàn)?，所以，因此?7本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力滿(mǎn)分14分解：（1）連結(jié)PO并延長(zhǎng)交MN于H，則PHMN，所以O(shè)H=10過(guò)O作OEBC于E，則OEMN，所以COE=，故OE=40cos，EC=40sin，則矩形ABCD的面積為240cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），CDP的面積為240cos（4040sin

8、）=1600（cossincos）過(guò)N作GNMN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G和K，則GK=KN=10令GOK=0，則sin0=，0（0，）當(dāng)0，）時(shí)，才能作出滿(mǎn)足條件的矩形ABCD，所以sin的取值范圍是，1）答：矩形ABCD的面積為800（4sincos+cos）平方米，CDP的面積為1600（cossincos），sin的取值范圍是，1）（2）因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k0），則年總產(chǎn)值為4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）設(shè)f（）

9、= sincos+cos，0，），則令，得=，當(dāng)（0，）時(shí)，所以f（）為增函數(shù)；當(dāng)（，）時(shí)，所以f（）為減函數(shù)，因此，當(dāng)=時(shí)，f（）取到最大值答：當(dāng)=時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大18本小題主要考查直線(xiàn)方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力滿(mǎn)分16分解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為（2）設(shè)直線(xiàn)l與圓O相切于，則，所以直線(xiàn)l的方程為，即由，消去y，得（*）因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以因?yàn)椋砸虼?，點(diǎn)P的坐

10、標(biāo)為因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以，從而設(shè)，由（*）得，所以因?yàn)?，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為綜上，直線(xiàn)l的方程為 19本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理能力滿(mǎn)分16分解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程組無(wú)解，因此，f（x）與g（x）不存在“S”點(diǎn)（2）函數(shù)，則設(shè)x0為f（x）與g（x）的“S”點(diǎn)，由f（x0）=g（x0）且f（x0）=g（x0），得，即，（*）得，即，則當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足方程組（*），即為f（x）與g（x）的

11、“S”點(diǎn)因此，a的值為（3）對(duì)任意a0，設(shè)因?yàn)椋襤（x）的圖象是不間斷的，所以存在（0，1），使得，令，則b0函數(shù)，則由f（x）=g（x）且f（x）=g（x），得，即（*）此時(shí)，滿(mǎn)足方程組（*），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”因此，對(duì)任意a0，存在b0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+）內(nèi)存在“S點(diǎn)”20本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力滿(mǎn)分16分解：（1）由條件知：因?yàn)閷?duì)n=1，2，3，4均成立，即對(duì)n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得因此

12、，d的取值范圍為 （2）由條件知：若存在d，使得（n=2，3，m+1）成立，即，即當(dāng)時(shí)，d滿(mǎn)足因?yàn)?，則，從而，對(duì)均成立因此，取d=0時(shí)，對(duì)均成立下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，從而因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為設(shè)，當(dāng)x0時(shí)，所以單調(diào)遞減，從而f（0）=1當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為因此，d的取值范圍為數(shù)學(xué)(附加題)21【選做題】本題包括 A、B、C、D 四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A選修41：幾何證明選講(本小題滿(mǎn)分10分)如圖，圓O的半徑為2，AB

13、為圓O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C若，求 BC 的長(zhǎng)B選修42：矩陣與變換(本小題滿(mǎn)分10分)已知矩陣（1）求的逆矩陣；（2）若點(diǎn)P在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿(mǎn)分10分)在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的方程為，曲線(xiàn)C的方程為，求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)D選修45：不等式選講(本小題滿(mǎn)分10分)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x+2y+2z=6，求的最小值【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A

14、B=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)（1）求異面直線(xiàn)BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線(xiàn)CC1與平面AQC1所成角的正弦值23(本小題滿(mǎn)分10分)設(shè)，對(duì)1，2，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)st時(shí)，有，則稱(chēng)是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱(chēng)為其逆序數(shù)例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2記為1，2，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)數(shù)學(xué)(附加題)參考答案21【選做題】A選修41：幾何證明選講本小題主要考查圓與三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力滿(mǎn)分10分證明：連結(jié)OC因?yàn)镻C

15、與圓O相切，所以O(shè)CPC又因?yàn)镻C=，OC=2，所以O(shè)P=4又因?yàn)镺B=2，從而B(niǎo)為RtOCP斜邊的中點(diǎn)，所以BC=2B選修42：矩陣與變換本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、線(xiàn)性變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力滿(mǎn)分10分解：（1）因?yàn)?，所以A可逆，從而（2）設(shè)P(x，y)，則，所以，因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，1)C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題主要考查曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力滿(mǎn)分10分解：因?yàn)榍€(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，所以曲線(xiàn)C的圓心為（2，0），直徑為4的圓因?yàn)橹本€(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為，則直線(xiàn)l過(guò)A（4，0），傾斜角為，所以A為直線(xiàn)l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則OAB=連結(jié)OB，

16、因?yàn)镺A為直徑，從而OBA=，所以因此，直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)為D選修45：不等式選講本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力滿(mǎn)分10分證明：由柯西不等式，得因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)，所以的最小值為4 22【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線(xiàn)所成角和線(xiàn)面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力滿(mǎn)分10分解：如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz因?yàn)锳B=AA1=2，所以（1）因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以，從而，故因此，異面直線(xiàn)BP與AC1所成角的余弦值為（2）因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以，因此，設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取，設(shè)直線(xiàn)CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線(xiàn)CC1與平面AQC1所成角的正弦值為23【必做題】本小題主要考查計(jì)數(shù)原理、排列