A全等三角形之手拉手模型、倍長中線-截長補(bǔ)短法

1、手拉手模型要點一：手拉手模型特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點 結(jié)論：1ABD AEC 2+BOC=180° 3OA平分BOC變形： 例1.如圖在直線的同一側(cè)作兩個等邊三角形與，連結(jié)與，證明1(2)(3) 與之間的夾角為(4)(5)(6) 平分(7)變式精練1：如圖兩個等邊三角形與，連結(jié)與，證明1（2）（3） 與之間的夾角為（4） 與的交點設(shè)為,平分變式精練2：如圖兩個等邊三角形與，連結(jié)與，證明1(2）(3） 與之間的夾角為(4） 與的交點設(shè)為,平分例2：如圖，兩個正方形與,連結(jié),二者相交于點問：1是否成立？（2） 是否與相等？（3） 與之間的夾角為多少度

2、？（4） 是否平分？例3：如圖兩個等腰直角三角形與，連結(jié),二者相交于點問：1是否成立？2是否與相等？3與之間的夾角為多少度？4是否平分？例4：兩個等腰三角形與，其中,連結(jié)與，問：1是否成立？2是否與相等？3與之間的夾角為多少度？4是否平分？例5：如圖，點A. B. C在同一條直線上，分別以AB、BC為邊在直線AC的同側(cè)作等邊三角形ABD、BCE.連接AE、DC，AE與DC所在直線相交于F，連接FB.判斷線段FB、FE與FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！揪?】如圖，三角形ABC和三角形CDE都是等邊三角形，點A,E,D,同在一條直線上，且角EBD=62°，求角AEB的度數(shù)

3、 倍長與中點有關(guān)的線段倍長中線類考點說明：但凡出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而到達(dá)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的：將題中已知和未知條件集中在一對三角形中、構(gòu)造全等三角形、平移線段?！痉椒ňv】常用輔助線添加方法倍長中線 ABC中 方式1： 延長AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長 作CFAD于F， 延長MD到N， 作BEAD的延長線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD【例1】 已知：中，是中線求證：【練1】在中，則邊上的中線的長的取值范圍是什么？【練2】如下圖，在的邊上取兩點、，使，連接、，求證：【練3】如圖，

4、在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上的一點，且BD=CF，連結(jié)DF交BC于E求證：DE=EF(倍長中線、截長補(bǔ)短)【例2】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，延長交于，求證：【練1】如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于，求證：【練2】如圖，在ABC中，AB>AC，E為BC邊的中點，AD為BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G. 求證：BF=CG.【練3】如圖，在中，交于點，點是中點，交的延長線于點，交于點，假設(shè)，求證：為的角平分線【練4】如下圖，已知中，平分，、分別在、上，求證：【例3】已知為的中線，的平分線

5、分別交于、交于求證：【練1】在中，是斜邊的中點，、分別在邊、上，滿足假設(shè)，則線段的長度為_【練2】如圖，ABC中，AB=2AC，AD平分BC且ADAC，則BAC=_.【練3】在中，點為的中點，點、分別為、上的點，且1假設(shè)，以線段、為邊能否構(gòu)成一個三角形？假設(shè)能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？2如果，求證【例4】如圖，等腰直角與等腰直角，為中點，連接、.探究、的關(guān)系.證角相等方法【練1】如圖，兩個正方形和，點為的中點，連接交于點.探究與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.證角相等方法【練2】如圖，在中，是邊的中線.求證：【例5】如下圖，在中，延長到，使，為的中點，連接、，求證【練1】已知中，為

6、的延長線，且，為的邊上的中線求證：【練2】如圖,CB、CD分別是鈍角AEC和銳角ABC中線,且AC=AB,ACB=ABC.求證CE=2CD.【例16】如圖，兩個正方形和，點為的中點，連接交于點.探究與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.倍長中線與手拉手模型綜合應(yīng)用【練1】已知：如圖，正方形和正方形，點是線段的中點. 試說明線段與數(shù)量關(guān)系和關(guān)系. 如圖，假設(shè)將上題中正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)度數(shù)，其他條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？假設(shè)正確，請你證明；假設(shè)不正確，請說明理由.全等之截長補(bǔ)短：“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法(把長邊截成兩個短邊或把兩個短邊放到一起；出現(xiàn)角平分線進(jìn)行翻折；有具體角的度數(shù)說明要

7、求角的度數(shù)，進(jìn)而得到角相等，全等)【例10】 如下圖，中，AD平分交BC于D。求證：AB=AC+CD?！揪?】如下圖，在中，的角平分線AD、CE相交于點O。求證：AE+CD=AC?！揪?】已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【練2】如圖,在四邊形ABCD中,ADBC，AE平分BAD交DC于點E，連接BE，且AEBE，求證：AB=AD+BC.【練3】已知：如圖,在ABC中,A=90，AB=AC，BD是ABC的平分線。求證：BC=AB+AD.【練4】點M，N在等邊三角形ABC的AB邊上運動，BD=DC，BDC=120°，MDN=60°，求證MN=MB

8、+NC 【例11】已知如下圖，在ABC中,AD是角平分線,且AC=AB+BD,試說明B=2C不只是邊，倍角也適用【練1】如圖，在ABC中，ABAC，BDAC交AC于點D求證：DBCBAC【例12】如下圖，已知，P為BN上一點，且于D，AB+BC=2BD，求證：。【練1】如圖，在四邊形ABCD中，BCBA, ADCD，BD平分， 求證： 【例13】如下圖，在中，AB=AC，CE垂直于BD的延長線于E。求證：BD=2CE?！揪?】已知：如圖示，在RtABC中，A=90°，ABC=2C，BD是ABC的平分線求證：CD=2AD【練2】如下圖，在中，AD為的平分線，=30，于E點，求證：AC-

9、AB=2BE?！揪?】正方形ABCD,E是BC上一點,AEEF,交DCH的平分線于點F，求證AE=EF【練4】已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE【例14】如下圖，已知/CD，的平分線恰好交于AD上一點E，求證：BC=AB+CD?！揪?】如圖，已知ADBC，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D求證：AD+BC=AB【練2】如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分DAE，求證：AE=EC+CD【練3】在ABC中，AD是BC邊上的高，B=2C求證：CD=AB+BD【練4】如

10、下圖,在三角形ABC中,ACB=90°,AC=BC,D為三角形ABC外一點,且ADBD,DEAC交AC的延長線于點E.試探求ED、AE和BC之間有何數(shù)量關(guān)系 【練5】在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點，BAE=EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【例15】如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證：AB-ACPB-PCD A 12 P B C【練1】已知為的中線，的平分線分別交于、交于 求證：如圖，E是的平分線上一點，垂足為C、D。求證：1OC=OD； 2DF=CF。 構(gòu)造等邊三角形1、如圖,已知AB

11、C中,AB=AC,D是CB延長線上一點,ADB=60，E是AD上一點，且有DE=DB.求證：AE=BE+BC.2、在等腰中，頂角，在邊上取點，使，求. 練習(xí)1、如圖,在ABC中,ACB=90°,BE平分ABC,DEAB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cmABCDA'B'C'D'練習(xí)2、在ABC和A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',點D,D'分別是BC,B'C'的中點,且AD=A'D',證眀：.倍長中線

12、練習(xí)3、如圖，在ABC中，BE是ABC的角平分線，ADBE，垂足為D，求證：2=1+C練習(xí)4、如圖1，已知ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在A、E的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E1試說明：BD=DE+CE2假設(shè)直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時BDCE，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果；3假設(shè)直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3位置時BDCE，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由如下圖，在RtABC中，ABAC，BAC90°，有過A的任一條直線AN，BDAN于D，CEAN于E，求證：DEBD

13、CE思路：截長補(bǔ)短法如圖,在ABC中,AB=AC,D是三角形外一點,且ABD=60,BD+DC=AB.求證：ACD=60.截長補(bǔ)短1、如圖，等腰直角與等腰直角，為中點，連接、.探究、的關(guān)系.輔助線的連法都一樣2、已知：如圖，正方形和正方形，點是線段的中點. 試說明線段與數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.輔助線的連法都一樣 如圖，假設(shè)將上題中正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)度數(shù)，其他條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？假設(shè)正確，請你證明；假設(shè)不正確，請說明理由.3、已知為的中線，的平分線分別交于、交于 求證：輔助線的連法都一樣【閱讀理解】已知：如圖1，等腰直角三角形ABC中，B=90°，AD是角平分線，交BC邊于點D求證：AC=AB+BD證明：如圖1，在AC上截取AE=AB，連接DE，則由已知條件易知：RtADBRtADEAASAED=B=90°，DE=DB又C=45°，DEC是等腰直角三角形DE=ECAC=AE+EC=AB+BD【解決問題】已知，如圖2，等腰直角三角形ABC中，B=90°，AD是BAC的平分線，交BC邊于點D，DEAC，垂足為E，假設(shè)AB=2，則三角形DEC的周長為 【數(shù)學(xué)思考】：現(xiàn)將原題中的“AD是內(nèi)角平分線，交BC邊于點D”換成“AD是外角平分線，交BC邊的延