圖表形式數(shù)列題分類解析

1、圖表形式數(shù)列題分類解析一、三角形式的圖表例1 如圖1所示是一個(gè)類似“楊輝三角”的圖形，第n行共有n個(gè)數(shù)，且該行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是n，中間任意一個(gè)數(shù)都等于第n1行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和. an,1,an,2,.an,n(n=1,2,3,.)分別表示第n行的第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，第n 個(gè)數(shù).求an,2(n2且nN)的通項(xiàng)公式. 數(shù)列.于是有123474723451114115.解 由圖1知a2,2=2,a3,2=4,a4,2=7,a5,2=11,.，從而可知an,2是一階等差a3,2-a2,2=2.(1)a4,2-a3,2=3.(2)a5,2-a4,2=4.(3).an,2-a(n-1),2=

2、n-1.(n-1)將以上n-1個(gè)等式對(duì)應(yīng)相加，有an,2-a2,2=2+3+4+.+(n-1)=即an,2n2-n+2=(n2且nN)2(n+1)(n-2)(n+1)(n-2)an,2=+222例2 如圖2所示，把正三角形ABC分成有限個(gè)全等的小正三角形，并且在每個(gè)小正三角形的頂點(diǎn)上都放置一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得任意兩個(gè)相鄰的小正三角形組成的菱形的兩組相對(duì)頂點(diǎn)上的實(shí)數(shù)的乘積相等.設(shè)點(diǎn)A為第一行，BC為第n行.記點(diǎn)A上的數(shù)為a11，第i行中的第j個(gè)數(shù)為aij (1ji).已知a11=1, a21=11, a22= 24(1)求a31, a32, a33；(2)試歸納出第n行中的第m個(gè)數(shù)anm的表達(dá)式(

3、用含n，m的式子表示，不必證明)；1114n-1(3)記Sn=an1+an2+ +ann,證明: n+ +.S1S2Sn3解 (1)a11a32=a21a22,a32=.81a22a31=a21a32,a31=.41. 16111. a31=,a32=,a33=4816111(2)由a11=1,a21=,a31=.可歸納出a11,a21,a31, ,an1是公比為的等比數(shù)列.2421故an1=n-1. 211111.可歸納出an1,an2,an3, ,ann是公由a21=,a22=;a31=,a32=,a33=2448161比為的等比數(shù)列. 2111故anm=n-1m-1,即anm=n+m-2

4、. 22211()n-11-()n11(3)由(2)知Sn=()n-21-()n, 1221-21n-1111,()n1-()n, ()2221n-21n1n-21n1()=2n-2. ()1-()()222221n-21n1n1n1n1n21又()1-()=4()1-()()+1-()=1,122n-2. 222222Sna21a33=a22a32,a33=1114n-1n+ +. S1S2Sn3小結(jié) 求解這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行的項(xiàng)與行列式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常需轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列并結(jié)合求和方法進(jìn)行求解.二、矩形形式的圖表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是 .解 由已知有1=120,2=020+12

5、1,3=120+121,4=020+021+122,5=120+021+122,6=020+121+122,進(jìn)而知7=120+121+122寫成二進(jìn)制為:111于是知二進(jìn)制為06位數(shù)時(shí)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是1234526-1111111化成十進(jìn)制為:12+12+12+12+12+12=63. 2-1小結(jié) 通過閱讀，將陌生的問題熟悉化，然后找到解決的方法，即轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列來進(jìn)行求解.三、矩陣形式的圖表例4 下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù) (1)寫出a45的值； (2)寫出aij的計(jì)算公式；(3)證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+

6、1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.解 (1)按第一行依次可知a13=10,a14=13，a15=16；按第2行依次可知a23=17,a24=22，a25=27；最后，按第列可知a35=38,a45=49.(2)由于該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，所以它的通項(xiàng)公式為a1j=4+3(j-1)，而第2行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列，于是它的通項(xiàng)公式為第i行是首項(xiàng)為4+3(i-1)，公差為2i+1的等差數(shù)列，a2j=7+5(j-1)通過遞推易知，故有aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=i(2j+1)+j.(3)(必要性)若正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j，

7、使得N=i(2j+1)+j從而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1)，這說明正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積(充分性)若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)，從而N=k(2l+1)+l=akl.由此可見，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.小結(jié) 求解這類題目的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)圖表所給的信息尋找規(guī)律進(jìn)行求解.四、回旋形式的圖表例5 如圖3，一粒子在

8、區(qū)域(x,y)|x0,y0上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B1(0,1)，接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長度. (1)設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)An、Bn、Cn時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為an、bn、cn，試寫出an、bn、cn的通項(xiàng)公式；(2)求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(16,44)所需的時(shí)間； (3)已知粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，求它經(jīng)過2004秒后所處的坐標(biāo).解 (1)由圖3可設(shè)A1(1,0),A2(2,0), ,An(n,0)，當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)An時(shí)，有 a1=3,a2=a1+1,a3=a1+12=a1+34,a4=a3+1,a5=a3+20=a3+54,a6=a5

9、+1,，a2n-1=a2n-3+(2n-1)4,a2n=a2n-1+1,a2n-1=a1+43+5+ +(2n-1)4n2-1，a2n=a2n-1+1=4n2.b2n-1=a2n-1-2(2n-1)=4n2-4n+1，b2n=a2n+22n=4n2+4n c2n-1=b2n-1+(2n-1)=4n2-2n=(2n-1)2+(2n-1)c2n=a2n+2n=4n2+2n=(2n)2+(2n).故c2n=n+n.(2)由圖3可知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(16,44)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn)C44所用的時(shí)間C44再加上(4416)28秒，所以t=442+44+28=2008秒.(3)由c-1n=n2+n20

10、04，解得1n2.取最大值n=44，經(jīng)計(jì)算，得C4419802004，從而可知粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過1980秒后到達(dá)點(diǎn)C44，再向左運(yùn)行24秒后到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(20，44).小結(jié) 從起始項(xiàng)入手，逐步展開解題思維.由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題的一般方法，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)所在.五、幾何計(jì)數(shù)形式的圖表例6 如圖3，第n個(gè)圖形由n+2邊形“擴(kuò)展”而來的.記第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為an(n=1,2,3,.，則a2005解 (方法一)由圖3易知，a1=12=34,a2=20=45,a3=442=67,從而知an=(n+2)(n+3)(n=1,2,3.)a2005=20072

11、008=4030056.(方法二)由于第n個(gè)圖形是由n+2邊形“擴(kuò)展”而來的，這個(gè)圖形共由n+3個(gè)n+2邊形組成，而每個(gè)n+2邊形共有n+2個(gè)頂點(diǎn)，故第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為. an=(n+2)(n+3)(n=1,2,3.，.a)2005=2007200=8403005小結(jié) 求解幾何計(jì)數(shù)形式的數(shù)列題通常采用“歸納猜想證明”的解題思路.【自測題】1.把“楊輝三角”向左對(duì)齊如圖4所示，分別按圖中虛線由上至下把劃到的數(shù)相加，寫在虛線左下端點(diǎn)(左邊豎線的左側(cè))處，將這些和由上至下排列得到一個(gè)數(shù)列an.(1)觀察數(shù)列an，寫出一個(gè)你能發(fā)現(xiàn)的遞推公式(不必證明)；(2)設(shè)(an+2-Aan+1)=B(an+1

12、-Aan)，求A,B的值，并求an.2.n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列，如右表所示. 根據(jù)規(guī)律，從2002到2004的箭頭的方向依次為 0 34 78 11 12 56 910A. B. C. D.3.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按圖5的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊.4.將棱長相等的正方體按如圖6所示的形狀擺放，從上往下依次為第1層，第2層，第3層，則第2005層正方體的個(gè)數(shù)為A.4011 B.4009 C.2011015 D.200901015.把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小，左大右小的原則寫成2n-11113511117911131111 15171929如右表所示的數(shù)表.已知

13、第k行有2k-1個(gè)數(shù)，第t行的第s個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為A(t,s)，則A(8,17)= .6.如圖7所示，一個(gè)粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0，1)，接著它按如圖7所示的x軸、y軸的平行方向來回運(yùn)動(dòng)，(即(0，0)(0，1)(1，1)(1，0)(2，0)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位，那么粒子運(yùn)動(dòng)到(3，0)點(diǎn)時(shí)經(jīng)過了 秒，2000秒時(shí)這個(gè)粒子所處的位置為 .7.已知楊輝三角如圖8所示.11 11 2 11 3 3 1 將第4行的第1個(gè)數(shù)乘以1，第2個(gè)數(shù)乘以2，第3個(gè)數(shù)乘以4，第4個(gè)數(shù)乘以8后，這一行的所有數(shù)字之和等于 (用數(shù)字作答)；若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q(q1)，將

14、楊輝三角的第n+1行的第1個(gè)數(shù)乘以a1，第2個(gè)數(shù)乘以a2，第n+1個(gè)數(shù)乘以an+1后，這一行的所有數(shù)字之和等于 (用a1,q,n表示).8.已知OBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,0)，(0,2)，設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn)，P2為線段CO的中點(diǎn)，P3為線段OP都有1的中點(diǎn)，P1P2的中點(diǎn).對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，4為線段PPn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn)，Pn的坐標(biāo)為(xn,yn)，設(shè)an=(1)求a1,a2,a3的值；(2)猜測an的值，并加以證明；(3)證明：yn+4=1-1yn+yn+1+yn+2. 2yn； 4(4)若記bn=y4n+4-y4n，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列.【參考答案】1.(1)a1 = a2 = 1, an+2 = a n +1 + an. (2)A=1+1-1-51+1+n1-5n1，B=或A=，B=；an=() (). 22222251. 6.15 (24，44). 7.27 a1(1+q)n. 2871338.(1)由于y1=1,y2=1,y3=,y4=1,y5=,y6=，則有 244111113a1=+1+=2,a2=+1=2,a3=+1+=2. 2222442.B. 3.4n+2. 4.C. 5.(2)an+1=y+yn+1111yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+n=yn+