大學(xué)物理教程郭振平主編機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波

1、一、基本知識(shí)點(diǎn)機(jī)械振動(dòng)：物體在平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)叫做。胡克定律:彈簧彈性力的大小與位移的大小成正比，而且的方向與位移方向相反，即式中，為彈簧的勁度系數(shù)。具有這種性質(zhì)的力稱為線性回復(fù)力。簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:式中為振幅，表示振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值；是決定簡諧振動(dòng)狀態(tài)的物理量，稱為在時(shí)刻振動(dòng)的相位，單位是弧度；為初相位，是時(shí)刻的相位；為角頻率。簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程:簡諧振動(dòng)的頻率：振動(dòng)物體在單位時(shí)間內(nèi)完整振動(dòng)的次數(shù)，單位是赫茲。簡諧振動(dòng)的周期：振動(dòng)物體完成一次完整振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間，單位是秒。關(guān)系：周期是頻率的倒數(shù)；=/簡諧振動(dòng)物體的速度:簡諧振動(dòng)物體的加速度:振幅：初相位：式中

2、，為t=0時(shí)刻的初始位移，為t=0s時(shí)刻的初始速度。旋轉(zhuǎn)矢量法:用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量末端在一條軸線上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來表示簡諧振動(dòng)的方法。以簡諧振動(dòng)的平衡位置作為軸的坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)出發(fā)作一矢量（其長度等于簡諧振動(dòng)振幅）。設(shè)時(shí)刻，矢量與軸所成的角等于初相位。若矢量以角速度（其大小等于簡諧振動(dòng)角頻率）勻速繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則在任一時(shí)刻矢量末端在軸上的投影點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)的位移為，顯然，在軸上做簡諧振動(dòng)。如圖10-1所示。圖10-1 簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法彈簧振子的彈性勢(shì)能： 彈簧振子的動(dòng)能：系統(tǒng)的總機(jī)械能：表明總機(jī)械能總量守恒。兩個(gè)同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成:設(shè)兩個(gè)在同一直線上的同頻率的簡諧振動(dòng)，以平衡位置為坐標(biāo)

3、原點(diǎn)，在任一時(shí)刻的位移分別為合振動(dòng)的位移：=合振動(dòng)的初相位:合振動(dòng)的振幅：（1） 當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)同相時(shí)，即，則合振動(dòng)的振幅有最大值為；（2） 當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)反相時(shí)，即，則合振動(dòng)的振幅有最小值為；（3） 當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)既不是同相，也不是反相時(shí)，合振動(dòng)的振幅介于最大值與最小值之間，即其取值范圍為。兩個(gè)同方向、不同頻率簡諧振動(dòng)的合成：設(shè)角頻率和非常接近，振動(dòng)方程分別為和合振動(dòng)為拍：合振動(dòng)振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱，周期性緩慢變化的現(xiàn)象。拍頻：機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播過程。橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直的波。縱波：振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行的波。波線：波沿著某一方向傳播所畫的射線。波面：在傳播過程中任

4、一時(shí)刻相位相同的點(diǎn)所組成的面。也叫波陣面或同相面。波前：波源開始振動(dòng)后，離波源最遠(yuǎn)的波面。球面波：波陣面是球面的波。平面波：波陣面是平面的波。波長：波在傳播過程中，沿同一波線上相位差為2的兩個(gè)相鄰質(zhì)點(diǎn)的距離。用表示，單位是m。波數(shù)：在2的長度內(nèi)含有的完整波的數(shù)目，記作k，。周期：波前進(jìn)一個(gè)波長距離所需要的時(shí)間，用T來表示，單位是s。波動(dòng)的周期等于波源振動(dòng)的周期。頻率：在單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)所傳播的完整波的數(shù)目。波的頻率等于周期的倒數(shù)，用表示，單位是Hz。波速：振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度，即某一振動(dòng)狀態(tài)（振動(dòng)相位）在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離，用u表示，單位是m/s。在固體中橫波的波速為式中G是固體材料的剪

5、切模量，是固體材料的密度?？v波在固體中的傳播速率為式中Y是固體材料的楊氏模量。在流體中只能形成和傳播縱波，其傳播速率可以表示為式中B是流體的體變模量，是介質(zhì)的密度。對(duì)于理想氣體，縱波的波速表示為P是氣體的壓力，是氣體的密度，是氣體的比熱容比。簡諧波：各質(zhì)點(diǎn)都做簡諧振動(dòng)的媒質(zhì)中傳播的波。平面簡諧波：波陣面是平面的簡諧波。平面簡諧波的波函數(shù)：式中，A為振幅，為角頻率，為初相位，t為波由波源傳播到x處的時(shí)間，y為媒質(zhì)中x處質(zhì)點(diǎn)做簡諧振動(dòng)的位移。平面簡諧波的波函數(shù)的等價(jià)形式：關(guān)系：，沿x軸負(fù)方向傳播的波函數(shù)：波函數(shù)的物理意義：(1) 當(dāng)確定一個(gè)任意給定的質(zhì)元，其坐標(biāo)x=x0時(shí)，由波函數(shù)給出x0處質(zhì)元的

6、振動(dòng)方程式中是x0處質(zhì)元振動(dòng)的初相位。(2) 若是任意給定時(shí)間t=t0，由波函數(shù)給出波線上各質(zhì)元位移隨他們的平衡位置坐標(biāo)做余弦式變化體現(xiàn)了波的空間周期性。(3) 如果x和t都發(fā)生變化，則波函數(shù)表示波線上任意x處的質(zhì)元在不同時(shí)刻t的位移分布情況，即y(t, x)。質(zhì)元的振動(dòng)速度：質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能：質(zhì)元的相對(duì)形變：質(zhì)元的彈性勢(shì)能：Ep 質(zhì)元的總機(jī)械能:波的能量密度：波傳播的媒質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量。用w來表示，則介質(zhì)中x處在t時(shí)刻的能量密度是平均能量密度：在一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值，用表示，有表明，介質(zhì)中波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方和介質(zhì)密度的乘積成正比。能流：單位時(shí)間內(nèi)通過某一面積的能

7、量，用P表示，單位W（瓦特）。若在介質(zhì)中取垂直于波速u的面積S，則在單位時(shí)間內(nèi)通過S面的能量等于體積uS內(nèi)的能量，有取其時(shí)間平均值，則能流密度：垂直于通過單位面積的平均能流，即單位時(shí)間流過垂直于波速方向的單位面積的能量。用I表示I又稱為波的強(qiáng)度，單位是W·m-2，。二、典型習(xí)題解題指導(dǎo)10-1原長為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當(dāng)物體靜止時(shí)，彈簧長為?，F(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以放手時(shí)開始計(jì)時(shí)，取豎直向下為正向，寫出振動(dòng)式。（g取m/s2）解：振動(dòng)方程：，在本題中，所以；。取豎直向下為x正向，彈簧伸長為m時(shí)為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長，那么

8、：A=m，當(dāng)t=0時(shí)，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為。所以：即：。10-2 一豎直懸掛的彈簧下端掛一物體，最初用手將物體在彈簧原長處托住，然后放手，此系統(tǒng)便上下振動(dòng)起來，已知物體最低位置是初始位置下方處，求：1）振動(dòng)頻率。2）物體在初始位置下方處的速度大小。解：1）由題知2A=10cm，所以A=5m，選彈簧原長下方5m處為平衡位置； 由，知，振動(dòng)頻率：；2）物體在初始位置下方處，對(duì)應(yīng)著是x=3m的位置，所以：，由，有：，而，那么速度的大小為： 。10-3 一質(zhì)點(diǎn)沿軸作簡諧振動(dòng)，振幅為，周期為。當(dāng)時(shí)，位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：1）振動(dòng)表達(dá)式。2）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。3）如果

9、在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：1）由題已知 A=0.12m，T=2 s ， 又t=0時(shí)，由旋轉(zhuǎn)矢量圖10-2，可知：故振動(dòng)方程為：；2）將t=0.5 s代入得：，方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向；3）由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，如圖示，質(zhì)點(diǎn)從位置回到平衡位置處需要走，建立比例式：， 圖10-2有： 。10-4 兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖10-3可知：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為，而質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)，相位為

10、。所以它們的相位差為。圖10-310-5 當(dāng)簡諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解：由，有：，1）當(dāng)時(shí)，由，有：，；2）當(dāng)時(shí)，有：，。10-6 對(duì)圖10-4中兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)曲線，1）求合振動(dòng)的振幅。2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。解：通過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡單。由圖可知，兩個(gè)振動(dòng)同頻率，且初相：，初相：，表明兩者處于反相狀態(tài)，（反相圖10-4，），合成振動(dòng)的振幅： ；合成振動(dòng)的相位：；合成振動(dòng)的方程： 。10-7 兩個(gè)同方向，同頻率的簡諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則1）第二個(gè)振動(dòng)的振

11、幅為多少？2）兩簡諧振動(dòng)的位相差為多少？解：如圖10-5，可利用余弦定理：由圖知 =mA=0.1 m ，再利用正弦定理：，有： 圖10-5，。說明A與A間夾角為/2，即兩振動(dòng)的位相差為/2 。10-8 沿一平面簡諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點(diǎn)與，點(diǎn)振動(dòng)相位比點(diǎn)落后，已知振動(dòng)周期為，求波長和波速。解：根據(jù)題意，對(duì)于A、B兩點(diǎn)，而，10-9 已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)的振動(dòng)式為，波速為，求：1）平面波的波動(dòng)式。2）若波沿軸負(fù)向傳播，波動(dòng)式又如何?解：1）設(shè)平面波的波動(dòng)式為，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，平面波的波動(dòng)式為：；2）若波沿軸負(fù)向傳播，同理，設(shè)平面波的波動(dòng)式為

12、：，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，平面波的波動(dòng)式為：。10-10 一平面簡諧波在空間傳播，如圖10-6所示，已知點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為，試寫出：1）該平面簡諧波的表達(dá)式。2）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（點(diǎn)位于點(diǎn)右方處）。解：1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)為圖10-6原點(diǎn)平面簡諧波的表達(dá)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式：題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，該平面簡諧波的表達(dá)式為：2）B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式可直接將坐標(biāo)，代入波動(dòng)方程：10-11一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，頻率為0.125 Hz，振幅為0.001 m，波速為380 m/s，設(shè)波源位于x=0處，且開始振動(dòng)時(shí)位移為正向最大。試求：1)波動(dòng)方程。2)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。3)時(shí)，處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移，以及，兩處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差。4)時(shí)，處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。解：由題中所給已知數(shù)值，可得周期、角頻率和波長分別為1) 由波源振動(dòng)的初始條件可知初相位，因而波源的振動(dòng)方程為沿X軸正方向傳播的波動(dòng)方程為 (1)或者寫成 (2)式(1)、(2)中，時(shí)間t以s計(jì)，位移y以m計(jì)。2) 把帶入式(2)，得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程為3) 把，帶入式(2)，得到質(zhì)點(diǎn)的位移為又根據(jù)，可得與兩點(diǎn)的振動(dòng)相位差為4) 將波動(dòng)方程中的x視為常量，并求y對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即得x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度 (3)或者 (4)將，帶入式(4)，得到質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度為10-1