大學物理教程郭振平主編機械振動和機械波

1、一、基本知識點機械振動：物體在平衡位置附近的往復運動叫做。胡克定律:彈簧彈性力的大小與位移的大小成正比，而且的方向與位移方向相反，即式中，為彈簧的勁度系數(shù)。具有這種性質(zhì)的力稱為線性回復力。簡諧振動的運動學方程:式中為振幅，表示振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值；是決定簡諧振動狀態(tài)的物理量，稱為在時刻振動的相位，單位是弧度；為初相位，是時刻的相位；為角頻率。簡諧振動的動力學方程:簡諧振動的頻率：振動物體在單位時間內(nèi)完整振動的次數(shù)，單位是赫茲。簡諧振動的周期：振動物體完成一次完整振動所經(jīng)歷的時間，單位是秒。關(guān)系：周期是頻率的倒數(shù)；=/簡諧振動物體的速度:簡諧振動物體的加速度:振幅：初相位：式中

2、，為t=0時刻的初始位移，為t=0s時刻的初始速度。旋轉(zhuǎn)矢量法:用一個旋轉(zhuǎn)矢量末端在一條軸線上的投影點的運動來表示簡諧振動的方法。以簡諧振動的平衡位置作為軸的坐標原點，自點出發(fā)作一矢量（其長度等于簡諧振動振幅）。設(shè)時刻，矢量與軸所成的角等于初相位。若矢量以角速度（其大小等于簡諧振動角頻率）勻速繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，則在任一時刻矢量末端在軸上的投影點相對原點的位移為，顯然，在軸上做簡諧振動。如圖10-1所示。圖10-1 簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法彈簧振子的彈性勢能： 彈簧振子的動能：系統(tǒng)的總機械能：表明總機械能總量守恒。兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成:設(shè)兩個在同一直線上的同頻率的簡諧振動，以平衡位置為坐標

3、原點，在任一時刻的位移分別為合振動的位移：=合振動的初相位:合振動的振幅：（1） 當兩個分振動同相時，即，則合振動的振幅有最大值為；（2） 當兩個分振動反相時，即，則合振動的振幅有最小值為；（3） 當兩個分振動既不是同相，也不是反相時，合振動的振幅介于最大值與最小值之間，即其取值范圍為。兩個同方向、不同頻率簡諧振動的合成：設(shè)角頻率和非常接近，振動方程分別為和合振動為拍：合振動振幅時強時弱，周期性緩慢變化的現(xiàn)象。拍頻：機械波：機械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播過程。橫波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向垂直的波?？v波：振動方向和波的傳播方向相互平行的波。波線：波沿著某一方向傳播所畫的射線。波面：在傳播過程中任

4、一時刻相位相同的點所組成的面。也叫波陣面或同相面。波前：波源開始振動后，離波源最遠的波面。球面波：波陣面是球面的波。平面波：波陣面是平面的波。波長：波在傳播過程中，沿同一波線上相位差為2的兩個相鄰質(zhì)點的距離。用表示，單位是m。波數(shù)：在2的長度內(nèi)含有的完整波的數(shù)目，記作k，。周期：波前進一個波長距離所需要的時間，用T來表示，單位是s。波動的周期等于波源振動的周期。頻率：在單位時間內(nèi)波動所傳播的完整波的數(shù)目。波的頻率等于周期的倒數(shù)，用表示，單位是Hz。波速：振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度，即某一振動狀態(tài)（振動相位）在單位時間內(nèi)傳播的距離，用u表示，單位是m/s。在固體中橫波的波速為式中G是固體材料的剪

5、切模量，是固體材料的密度?？v波在固體中的傳播速率為式中Y是固體材料的楊氏模量。在流體中只能形成和傳播縱波，其傳播速率可以表示為式中B是流體的體變模量，是介質(zhì)的密度。對于理想氣體，縱波的波速表示為P是氣體的壓力，是氣體的密度，是氣體的比熱容比。簡諧波：各質(zhì)點都做簡諧振動的媒質(zhì)中傳播的波。平面簡諧波：波陣面是平面的簡諧波。平面簡諧波的波函數(shù)：式中，A為振幅，為角頻率，為初相位，t為波由波源傳播到x處的時間，y為媒質(zhì)中x處質(zhì)點做簡諧振動的位移。平面簡諧波的波函數(shù)的等價形式：關(guān)系：，沿x軸負方向傳播的波函數(shù)：波函數(shù)的物理意義：(1) 當確定一個任意給定的質(zhì)元，其坐標x=x0時，由波函數(shù)給出x0處質(zhì)元的

6、振動方程式中是x0處質(zhì)元振動的初相位。(2) 若是任意給定時間t=t0，由波函數(shù)給出波線上各質(zhì)元位移隨他們的平衡位置坐標做余弦式變化體現(xiàn)了波的空間周期性。(3) 如果x和t都發(fā)生變化，則波函數(shù)表示波線上任意x處的質(zhì)元在不同時刻t的位移分布情況，即y(t, x)。質(zhì)元的振動速度：質(zhì)元的振動動能：質(zhì)元的相對形變：質(zhì)元的彈性勢能：Ep 質(zhì)元的總機械能:波的能量密度：波傳播的媒質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量。用w來表示，則介質(zhì)中x處在t時刻的能量密度是平均能量密度：在一個周期內(nèi)能量密度的平均值，用表示，有表明，介質(zhì)中波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方和介質(zhì)密度的乘積成正比。能流：單位時間內(nèi)通過某一面積的能

7、量，用P表示，單位W（瓦特）。若在介質(zhì)中取垂直于波速u的面積S，則在單位時間內(nèi)通過S面的能量等于體積uS內(nèi)的能量，有取其時間平均值，則能流密度：垂直于通過單位面積的平均能流，即單位時間流過垂直于波速方向的單位面積的能量。用I表示I又稱為波的強度，單位是W·m-2，。二、典型習題解題指導10-1原長為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當物體靜止時，彈簧長為?，F(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以放手時開始計時，取豎直向下為正向，寫出振動式。（g取m/s2）解：振動方程：，在本題中，所以；。取豎直向下為x正向，彈簧伸長為m時為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長，那么

8、：A=m，當t=0時，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為。所以：即：。10-2 一豎直懸掛的彈簧下端掛一物體，最初用手將物體在彈簧原長處托住，然后放手，此系統(tǒng)便上下振動起來，已知物體最低位置是初始位置下方處，求：1）振動頻率。2）物體在初始位置下方處的速度大小。解：1）由題知2A=10cm，所以A=5m，選彈簧原長下方5m處為平衡位置； 由，知，振動頻率：；2）物體在初始位置下方處，對應著是x=3m的位置，所以：，由，有：，而，那么速度的大小為： 。10-3 一質(zhì)點沿軸作簡諧振動，振幅為，周期為。當時，位移為，且向軸正方向運動。求：1）振動表達式。2）時，質(zhì)點的位置、速度和加速度。3）如果

9、在某時刻質(zhì)點位于，且向軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：1）由題已知 A=0.12m，T=2 s ， 又t=0時，由旋轉(zhuǎn)矢量圖10-2，可知：故振動方程為：；2）將t=0.5 s代入得：，方向指向坐標原點，即沿x軸負向；3）由題知，某時刻質(zhì)點位于，且向軸負方向運動，如圖示，質(zhì)點從位置回到平衡位置處需要走，建立比例式：， 圖10-2有： 。10-4 兩質(zhì)點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質(zhì)點1在 處，且向左運動時，另一個質(zhì)點2在 處，且向右運動。求這兩個質(zhì)點的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖10-3可知：當質(zhì)點1在 處，且向左運動時，相位為，而質(zhì)點2在 處，且向右運動，相位為

10、。所以它們的相位差為。圖10-310-5 當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？解：由，有：，1）當時，由，有：，；2）當時，有：，。10-6 對圖10-4中兩個同方向的簡諧振動曲線，1）求合振動的振幅。2）求合振動的振動表達式。解：通過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡單。由圖可知，兩個振動同頻率，且初相：，初相：，表明兩者處于反相狀態(tài)，（反相圖10-4，），合成振動的振幅： ；合成振動的相位：；合成振動的方程： 。10-7 兩個同方向，同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為，與第一個振動的位相差為。若第一個振動的振幅為。則1）第二個振動的振

11、幅為多少？2）兩簡諧振動的位相差為多少？解：如圖10-5，可利用余弦定理：由圖知 =mA=0.1 m ，再利用正弦定理：，有： 圖10-5，。說明A與A間夾角為/2，即兩振動的位相差為/2 。10-8 沿一平面簡諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點與，點振動相位比點落后，已知振動周期為，求波長和波速。解：根據(jù)題意，對于A、B兩點，而，10-9 已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標原點為處點的振動式為，波速為，求：1）平面波的波動式。2）若波沿軸負向傳播，波動式又如何?解：1）設(shè)平面波的波動式為，則點的振動式為：，與題設(shè)點的振動式比較，有：，平面波的波動式為：；2）若波沿軸負向傳播，同理，設(shè)平面波的波動式為

12、：，則點的振動式為：，與題設(shè)點的振動式比較，有：，平面波的波動式為：。10-10 一平面簡諧波在空間傳播，如圖10-6所示，已知點的振動規(guī)律為，試寫出：1）該平面簡諧波的表達式。2）點的振動表達式（點位于點右方處）。解：1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設(shè)以點為圖10-6原點平面簡諧波的表達式為：，則點的振動式：題設(shè)點的振動式比較，有：，該平面簡諧波的表達式為：2）B點的振動表達式可直接將坐標，代入波動方程：10-11一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，頻率為0.125 Hz，振幅為0.001 m，波速為380 m/s，設(shè)波源位于x=0處，且開始振動時位移為正向最大。試求：1)波動方程。2)處質(zhì)點的振動方程。3)時，處質(zhì)點的振動位移，以及，兩處質(zhì)點的振動相位差。4)時，處質(zhì)點的振動速度。解：由題中所給已知數(shù)值，可得周期、角頻率和波長分別為1) 由波源振動的初始條件可知初相位，因而波源的振動方程為沿X軸正方向傳播的波動方程為 (1)或者寫成 (2)式(1)、(2)中，時間t以s計，位移y以m計。2) 把帶入式(2)，得到該點的振動方程為3) 把，帶入式(2)，得到質(zhì)點的位移為又根據(jù)，可得與兩點的振動相位差為4) 將波動方程中的x視為常量，并求y對時間t的導數(shù)，即得x處質(zhì)點的振動速度 (3)或者 (4)將，帶入式(4)，得到質(zhì)點的振動速度為10-1