尺規(guī)作圖 角平分線

1、1. 作一個角等于已知角的方法已知：AOB，求作：AOB=AOB.OABCDOABCD作法：1.以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；A，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點C；為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D；畫射線OB，則AOB=AOB.2. 先任意畫出一個ABC，使A B=AB , BC=BC，CA =CA.作法：畫一個ABC ，使AB=AB, AC=AC，BC=BC ：（1）畫BC=BC；（2)分別以點B,C為圓心，線段AB，AC長為半徑 畫弧，兩弧相交于點A; (3)連接線段AB，AC.2、 角的平分線導入：小明家居住在通州區(qū)一棟居民樓

2、的一樓，剛好位于一條暖氣和天然氣管道所成角的平分線上的P點，要從P 點建成兩條管道，分別與暖氣管道和天然氣管道相連.問題1：怎樣修建管道最短？問題2: 新修建的兩條管道的長有什么關(guān)系，畫來看一看.角的平分線的畫法圖12.3-1是一個平分角的儀器，其中AB= AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD 著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就 是這個角的平分線,你能說明它的道理嗎？作已知角的平分線的方法.已知：AOB.求作：AOB的平分線.作法：（1)以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N. (2)分別以點M，N為圓心，大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部相

3、交于點C. (3)畫射線OC.射線OC即為所求（如圖).理論根據(jù)：作角平分線的理論根據(jù)是三角形全等的判定方法：“SSS”拓展：根據(jù)角平分線的作法還可以作已知角的四等分線注意： “大于 MN的長為半徑畫弧”是因為若以小或等于 MN 的長為半徑畫弧時，畫出的兩弧不能相交如圖所示，已知AOB，求作：AOM AOB.角的平分線的性質(zhì)如圖12.3-3，任意作一個角AOB，作出 AOB的平分線OC.在OC上任取一點P，點P 畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量 PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取 幾個點試一試. 通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？ 1.性質(zhì)：角的平分線上的

4、點到角的兩邊的距離相等 要點精析： (1)點一定要在角平分線上； (2)點到角兩邊的距離是指點到角兩邊垂線段的長度； (3)角平分線的性質(zhì)可用來證明兩條線段相等2.書寫格式：如圖，OP平分AOB， PD OA于點D，PEOB于 點E, PDPE.例1、如圖, AOC=BOC，點 P 在OC 上，PDOA,PEQB，垂足分別為D，E.求證PD=PE.證明：PDOA, PEOB,PDO=PEO=90°. 在PDO和PEO中，PDO=PEO,AOC=BOC, OP=OP,PDO PEO(AAS).PD=PE.例1】如圖，在ABC中，C90°，AD平分CAB，DEAB于E，F(xiàn)在AC

5、上，BEFC， 求證：BDDF.導引：要證BDDF，可考慮證兩線段所在的 BDE和FDC全等，兩個三角形中已有一角和一邊相等，只要再證DECD即可，這可由AD平分CAB及垂直條件證得1、如圖，在直線MN上求作一點P，使點P到射線OA 和OB 的距離相等.2、如圖，在ABC中，C90°，ACBC，AD 平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB 6 cm，則DBE的周長是() A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm3、如圖，已知在ABC中，CD是AB邊上的高線， BE平分ABC，交CD于點E，BC50，DE14，則BCE的面積等于_總結(jié)：角的平分線圖形結(jié)構(gòu)中的“兩種數(shù)量關(guān)系”：

6、如圖，OC平分AOB，PDOA于D，PEOB于E，DE交OC于點F. (1)角的相等關(guān)系：AOCBOCPDFPEF；ODPOEPDFOEFODFPEFP 90°；DPOEPOODFOEF. (2)線段的相等關(guān)系：ODOE，DPEP，DFEF.3、 角平分線的判定 角平分線的性質(zhì)為：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等.交換上述已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？判定方法：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上書寫格式：如圖，PDOA，PEOB，PDPE, 點P在AOB的平分線上(或AOCBOC)【例1】 如圖，BECF，DFAC于點F，DEAB于點E，BF和CE相交

7、于點D. 求證：AD平分BAC.導引：要證AD平分BAC，已知條件中有兩個垂直，即有點到角的兩邊的距離，再證這兩個距離相等即 可證明結(jié)論，證這兩條垂線段相等，可通過證明BDE和CDF全等來完成證明角平分線的“兩種方法”(1)定義法：應用角平分線的定義.(2)定理法：應用“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”來判定 . 判定角平分線時，需要滿足兩個條件：“垂直”和“相等”.1、在正方形網(wǎng)格中，AOB的位置如圖所示，到AOB 兩邊距離相等的點應是() A點M B點N C點P D點Q2、 如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BA和CD的延長線交于點E，若點P使得SPAB SPCD，則滿足此條件的點P

8、() A有且只有1個 B有且只有2個 C組成E的平分線 D組成E的平分線所在的直線(E點除外)三角形的角平分線如圖，ABC的角平分線BM， CN相交于點P.求證：點P到三邊AB，BC， CA的距離相等. 三角形得角平分線的交點到三邊的距離相等，這個交點叫作三角形的內(nèi)心.1 到ABC的三條邊距離相等的點是ABC的() A三條中線的交點 B三條角平分線的交點 C三條高的交點 D以上均不對2 如圖，ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則 SABOSBCOSCAO_.3 如圖，ABC的ABC的外角的平分線BD與 ACB的外角的平分線CE相 交于點P.求證：點P到 三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.角的平