尺規(guī)作圖 角平分線

1、1. 作一個(gè)角等于已知角的方法已知：AOB，求作：AOB=AOB.OABCDOABCD作法：1.以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；A，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)C；為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點(diǎn)D；畫射線OB，則AOB=AOB.2. 先任意畫出一個(gè)ABC，使A B=AB , BC=BC，CA =CA.作法：畫一個(gè)ABC ，使AB=AB, AC=AC，BC=BC ：（1）畫BC=BC；（2)分別以點(diǎn)B,C為圓心，線段AB，AC長(zhǎng)為半徑 畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A; (3)連接線段AB，AC.2、 角的平分線導(dǎo)入：小明家居住在通州區(qū)一棟居民樓

2、的一樓，剛好位于一條暖氣和天然氣管道所成角的平分線上的P點(diǎn)，要從P 點(diǎn)建成兩條管道，分別與暖氣管道和天然氣管道相連.問(wèn)題1：怎樣修建管道最短？問(wèn)題2: 新修建的兩條管道的長(zhǎng)有什么關(guān)系，畫來(lái)看一看.角的平分線的畫法圖12.3-1是一個(gè)平分角的儀器，其中AB= AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD 著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就 是這個(gè)角的平分線,你能說(shuō)明它的道理嗎？作已知角的平分線的方法.已知：AOB.求作：AOB的平分線.作法：（1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N. (2)分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部相

3、交于點(diǎn)C. (3)畫射線OC.射線OC即為所求（如圖).理論根據(jù)：作角平分線的理論根據(jù)是三角形全等的判定方法：“SSS”拓展：根據(jù)角平分線的作法還可以作已知角的四等分線注意： “大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫弧”是因?yàn)槿粢孕』虻扔?MN 的長(zhǎng)為半徑畫弧時(shí)，畫出的兩弧不能相交如圖所示，已知AOB，求作：AOM AOB.角的平分線的性質(zhì)如圖12.3-3，任意作一個(gè)角AOB，作出 AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P，點(diǎn)P 畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測(cè)量 PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取 幾個(gè)點(diǎn)試一試. 通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？ 1.性質(zhì)：角的平分線上的

4、點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 要點(diǎn)精析： (1)點(diǎn)一定要在角平分線上； (2)點(diǎn)到角兩邊的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長(zhǎng)度； (3)角平分線的性質(zhì)可用來(lái)證明兩條線段相等2.書(shū)寫格式：如圖，OP平分AOB， PD OA于點(diǎn)D，PEOB于 點(diǎn)E, PDPE.例1、如圖, AOC=BOC，點(diǎn) P 在OC 上，PDOA,PEQB，垂足分別為D，E.求證PD=PE.證明：PDOA, PEOB,PDO=PEO=90°. 在PDO和PEO中，PDO=PEO,AOC=BOC, OP=OP,PDO PEO(AAS).PD=PE.例1】如圖，在ABC中，C90°，AD平分CAB，DEAB于E，F(xiàn)在AC

5、上，BEFC， 求證：BDDF.導(dǎo)引：要證BDDF，可考慮證兩線段所在的 BDE和FDC全等，兩個(gè)三角形中已有一角和一邊相等，只要再證DECD即可，這可由AD平分CAB及垂直條件證得1、如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA 和OB 的距離相等.2、如圖，在ABC中，C90°，ACBC，AD 平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB 6 cm，則DBE的周長(zhǎng)是() A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm3、如圖，已知在ABC中，CD是AB邊上的高線， BE平分ABC，交CD于點(diǎn)E，BC50，DE14，則BCE的面積等于_總結(jié)：角的平分線圖形結(jié)構(gòu)中的“兩種數(shù)量關(guān)系”：

6、如圖，OC平分AOB，PDOA于D，PEOB于E，DE交OC于點(diǎn)F. (1)角的相等關(guān)系：AOCBOCPDFPEF；ODPOEPDFOEFODFPEFP 90°；DPOEPOODFOEF. (2)線段的相等關(guān)系：ODOE，DPEP，DFEF.3、 角平分線的判定 角平分線的性質(zhì)為：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.交換上述已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？判定方法：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上書(shū)寫格式：如圖，PDOA，PEOB，PDPE, 點(diǎn)P在AOB的平分線上(或AOCBOC)【例1】 如圖，BECF，DFAC于點(diǎn)F，DEAB于點(diǎn)E，BF和CE相交

7、于點(diǎn)D. 求證：AD平分BAC.導(dǎo)引：要證AD平分BAC，已知條件中有兩個(gè)垂直，即有點(diǎn)到角的兩邊的距離，再證這兩個(gè)距離相等即 可證明結(jié)論，證這兩條垂線段相等，可通過(guò)證明BDE和CDF全等來(lái)完成證明角平分線的“兩種方法”(1)定義法：應(yīng)用角平分線的定義.(2)定理法：應(yīng)用“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”來(lái)判定 . 判定角平分線時(shí)，需要滿足兩個(gè)條件：“垂直”和“相等”.1、在正方形網(wǎng)格中，AOB的位置如圖所示，到AOB 兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是() A點(diǎn)M B點(diǎn)N C點(diǎn)P D點(diǎn)Q2、 如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得SPAB SPCD，則滿足此條件的點(diǎn)P

8、() A有且只有1個(gè) B有且只有2個(gè) C組成E的平分線 D組成E的平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)三角形的角平分線如圖，ABC的角平分線BM， CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC， CA的距離相等. 三角形得角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，這個(gè)交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心.1 到ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是ABC的() A三條中線的交點(diǎn) B三條角平分線的交點(diǎn) C三條高的交點(diǎn) D以上均不對(duì)2 如圖，ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則 SABOSBCOSCAO_.3 如圖，ABC的ABC的外角的平分線BD與 ACB的外角的平分線CE相 交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到 三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.角的平