帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)

1、一、引言1二、認(rèn)識(shí)等離子體1三、單粒子軌道運(yùn)動(dòng)4 3.1帶電粒子在均勻電場中的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性5與垂直或平行時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡5與成任一夾角時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡5 3.2帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性6 3.2.1洛倫茲力6垂直于7與成任一夾角時(shí)8 3.3帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性10、和兩兩相互垂直10與成任一夾角，垂直它們構(gòu)成的平面12四、小結(jié)14參考文獻(xiàn)14等離子體的單粒子軌道運(yùn)動(dòng)帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)摘要：等離子體是由電子、離子等帶電粒子以及中性粒子（原子、分子、微粒等）組成的。只討論單個(gè)粒子在外加電磁場中的運(yùn)動(dòng)，忽略粒子間的相互作用，即單粒子軌道運(yùn)動(dòng)，它是描述等離子體運(yùn)動(dòng)

2、狀態(tài)的三種方法之一。這種方法能給出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的直觀物理圖像，是進(jìn)一步了解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。粒子軌道理論的基本方法是求解粒子的運(yùn)動(dòng)方程。本文中，我們著重介紹帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)特性。關(guān)鍵詞：等離子體；帶電粒子；電磁場；軌跡Abstract:A plasma is an ionised gas, consisting of free electrons, ions and atoms or molecules. It is discussed that a single particle moves in an external electromagnetic field, which i

3、s one of methods described the plasma motion. This method can give a concise physical picture about the charged particles. The solutionof particles motion is the basic method of particle orbit theory. In this thesis, I highlight the motion characteristics of the charged particle in even electrical a

4、nd magnetic field.Key words:Plasma; charged particles; electromagnetic field; track一、引言物質(zhì)的三態(tài)（固態(tài)、液態(tài)和氣態(tài)）人們?cè)缫阉究找姂T，可是被稱為物質(zhì)第四態(tài)的等離子體，盡管占宇宙中可見物質(zhì)的99%，可是我們對(duì)它的認(rèn)識(shí)依然很少。實(shí)際上，認(rèn)識(shí)等離子體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是人類認(rèn)識(shí)自然界，認(rèn)識(shí)地球空間環(huán)境，進(jìn)而沖出地球，走向太空的必要條件?？此粕衩氐牡入x子體其實(shí)廣泛存在于我們的這個(gè)世界，從熾熱的恒星、燦爛的氣態(tài)星云、浩瀚的星際間物質(zhì)，到多變的電離層和高速的太陽風(fēng)，都是等離子體的天下。21世紀(jì)人們已經(jīng)掌握和利用電場和磁場產(chǎn)生來

5、控制等離子體。最常見的等離子體是高溫電離氣體，如電弧、霓虹燈和日光燈中的發(fā)光氣體，又如閃電、極光等。金屬中的電子氣和半導(dǎo)體中的載流子以及電解質(zhì)溶液也可以看作是等離子體。在地球上，等離子體物質(zhì)遠(yuǎn)比固體、液體、氣體物質(zhì)少。在宇宙中，等離子體是物質(zhì)存在的主要形式，占宇宙中物質(zhì)總量的99%以上，如恒星(包括太陽)、星際物質(zhì)以及地球周圍的電離層等，都是等離子體。簡單的將等離子體分類，可以認(rèn)為等離子體是由電子、離子以及未電離的中性粒子組成，宏觀上呈現(xiàn)準(zhǔn)中性。單粒子軌道運(yùn)動(dòng)作為描述等離子體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中最簡單的一種，即在給定的電磁場中的運(yùn)動(dòng)，我們只考慮單個(gè)粒子在場中的運(yùn)動(dòng)，而忽略離子間的相互作用以及粒子對(duì)場的反

6、作用。粒子軌道理論適用于稀薄等離子體，對(duì)于稠密等離子體也可以提供某些描述，但由于沒有考慮集體效應(yīng)，局限性很大。粒子軌道理論基本方法是求解粒子的運(yùn)動(dòng)方程。利用粒子軌道運(yùn)動(dòng)來描述等離子體的行為的前提是假定磁場和電場是預(yù)先確定的，不會(huì)受到帶電粒子運(yùn)動(dòng)的影響。二、認(rèn)識(shí)等離子體大家早已熟知物質(zhì)的固體、液體和氣體三態(tài)。將固體加熱到熔點(diǎn)時(shí)，粒子的平均動(dòng)能超過晶格的結(jié)合能，固體會(huì)變成液體；將液體加熱到沸點(diǎn)時(shí)，粒子的動(dòng)能會(huì)超過粒子之間的結(jié)合能，液體會(huì)變成氣體。如果將氣體進(jìn)一步加熱，氣體則會(huì)部分電離或完全電離，即原子的外層電子會(huì)擺脫原子核的束縛成為自由電子，而失去外層電子的原子變成帶電的離子。當(dāng)帶電粒子的比例超過

7、一定程度時(shí)，電離氣體凸顯出明顯的電磁性質(zhì)，而其中正離子和負(fù)離子（電子）的數(shù)目相等，因此被稱為等離子體（plasma），又被稱為物質(zhì)的第四態(tài)。“plasma”一詞最早在生物學(xué)名詞原生質(zhì)中出現(xiàn)。1839年，捷克生物學(xué)家浦基尼最先將“原生質(zhì)”的名詞引入科學(xué)詞匯。它表示一種在其內(nèi)部散布許多粒子的膠狀物質(zhì)，是組成細(xì)胞體的一部分，也稱為“血漿”。1929年，郎繆爾和托克斯在研究氣體放電時(shí)首次將“plasma”一詞用于物理學(xué)領(lǐng)域，用來表示所觀察到的放電物質(zhì)，該詞來源為古希臘語，即為可塑物質(zhì)或漿狀物質(zhì)之意，我國大陸學(xué)者將之翻譯成“等離子體”，而臺(tái)灣學(xué)者翻譯成“電漿”。 根據(jù)印度天體物理學(xué)家沙哈的計(jì)算，宇宙中的

8、99%的可見物質(zhì)都處于等離子體狀態(tài)。從熾熱的恒星、燦爛的氣態(tài)星云、浩瀚的星際見物質(zhì)，到多變的電離層和高速的太陽風(fēng)，都是等離子體的天下。地球上的生物生活在另外的1%中，人們最早見到的等離子體是火焰、閃電和極光。但當(dāng)今人類接觸到越來越多的等離子體，如熒光燈和霓虹燈里炫目的電弧。等離子體顯示屏中彩色的放電、聚變裝置中燃燒的等離子體，盡管它們大多是由人工產(chǎn)生的。固、液、起三態(tài)僅僅存在于低溫高密度的參數(shù)區(qū)域，而等離子體存在的參數(shù)空間非常寬廣。從星際空間的稀薄等離子體到太陽核心的致密等離子體，粒子數(shù)密度從到，跨越了30個(gè)量級(jí)（采用國際單位制）；從火焰的低溫等離子體到聚變實(shí)驗(yàn)的高溫等離子體，溫度從到跨越了7

9、個(gè)量級(jí)（采用電子伏特為單位）。等離子體物質(zhì)第四態(tài)圖1 等離子體存在的參量空間圖2 常見的等離子體形態(tài)包括人造等離子體熒光燈、霓虹燈燈管中的電離氣體核聚變實(shí)驗(yàn)中的高溫電離氣體電焊時(shí)產(chǎn)生的高溫電弧，電弧燈中的電弧火箭噴出的氣體等離子顯示器和電視太空飛船重返地球時(shí)在飛船的熱屏蔽層前端產(chǎn)生的等離子體在生產(chǎn)集成電路用來蝕刻電介質(zhì)層的等離子體等離子球地球上的等離子體火焰（上部的高溫部分）閃電球狀閃電大氣層中的電離層極光中高層大氣閃電太空和天體物理中的等離子體太陽和其他恒星（其中等離子體由于熱核聚變供給能量產(chǎn)生）太陽風(fēng)行星際物質(zhì)（存在于行星之間）星際物質(zhì)（存在于恒星之間）星系際物質(zhì)（存在于星系之間）木衛(wèi)一與

10、木星之間的流量管吸積盤星際星云在地球上自然存在的等離子體之所以很少見，是因?yàn)樵诔叵職怏w的電離度非常低。所謂電離度，就是氣體中被電離的粒子數(shù)目與中性粒子數(shù)目之比。在氣體處于熱力學(xué)平衡時(shí)，電離度1由沙哈方程確定：（1）式中，和分別為帶電粒子數(shù)密度和中性粒子數(shù)密度，為溫度，為波爾茲曼常量（）,為對(duì)應(yīng)氣體的電離能（最外層電子逸出所需要的能量）。以氮?dú)鉃槔诔叵?，?。?，可以求得。由此可知，在常溫下，氣體電離度非常低，還不具有等離子提的性質(zhì)。等離子體是由電子、離子等帶電粒子以及中性粒子（原子、分子、微粒等）組成的，宏觀上呈現(xiàn)準(zhǔn)中性，且具有集體效應(yīng)的混合氣體。所謂準(zhǔn)中性是指在等離子體中的正負(fù)離子數(shù)目

11、基本相等，系統(tǒng)在宏觀上呈現(xiàn)中性，但在小尺度上則呈現(xiàn)電磁性。而集體效應(yīng)則突出地反映了等離子體與中性氣體的區(qū)別。中性氣體中粒子的相互作用是粒子間頻繁的碰撞，兩個(gè)粒子只有在碰撞的瞬間才有相互作用，除此之外沒有相互作用。而等離子體中帶電粒子之間的相互作用是長程庫侖力作用，體系內(nèi)的多個(gè)帶電粒子均同時(shí)且持續(xù)地參與作用，任何帶電粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均受到其他帶電粒子（包括近處和遠(yuǎn)處）的影響。另外，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可以形成局部的電荷集中，從而產(chǎn)生電場，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)也可以產(chǎn)生電流，從而產(chǎn)生磁場，這些電磁場又會(huì)影響其他帶電粒子的運(yùn)動(dòng)。因此等離子體呈現(xiàn)出集體效應(yīng)。按照這個(gè)一般的定義，許多物質(zhì)都可以歸入等離子體的范疇，例如

12、，電解質(zhì)溶液，它含有相等的正負(fù)離子，可稱之為電解質(zhì)等離子體；金屬，由自由電子和固定不動(dòng)的帶正電的晶格組成，稱之為固體等離子體。由電子和空穴組成的半導(dǎo)體，也屬于固體等離子體。三、單粒子軌道運(yùn)動(dòng)迄今為止，理論上描述等離子體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有三種方法。第一種是單粒子軌道運(yùn)動(dòng)，這是最簡單的一種，即在給定的電磁場中的運(yùn)動(dòng)，不考慮帶電粒子運(yùn)動(dòng)對(duì)場的反作用以及帶電粒子間的相互作用。這種方法能給出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的直觀物理圖像，是進(jìn)一步了解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。本文著重討論帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律， 針對(duì)帶電粒子處于均勻電磁場環(huán)境 , 研究特殊情況和一般情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。3.1 帶電粒子在均勻電場中的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性

13、3.1.1 與垂直或平行時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡2 帶電粒子在電場中，它所受的力是通過電場實(shí)現(xiàn)的，電場是矢量，既有大小又有方向。電場的方向和大小與電子無關(guān)。在均勻電場中，任何位置的場強(qiáng)大小和方向相同。在特殊的情況下，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)只有兩種。一是粒子的初速度平行射入電場，二是帶電粒子垂直射入電場。當(dāng)帶電粒子平行射入電場時(shí)，帶電粒子由于電場作用，它所受的電場力與初速度方向平行，所以電子做的是變速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)電子垂直射入電場時(shí)，由于帶電粒子的初速度與電場方向垂直，帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，它做的是類平拋運(yùn)動(dòng)。3.1.2 與成任一夾角時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡3 當(dāng)與有一夾角時(shí)（、都在、平面內(nèi)），忽略重力

14、影響。由牛順第二定律，得 (1)當(dāng)時(shí)，（1）式變?yōu)椋?）所以 （3）(3)式積分得到 （4）由初始條件可得（5）所以有 (6)(6)式積分得 （7a）（7b）（7c）再把初始條件時(shí)，代入上式，有（8）則 （9）它表示帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線。圖3 利用mathmatic模擬的拋物線圖3是利用mathmatic生成的模擬圖像，表1是模擬過程中各個(gè)常量的取值，在這里，時(shí)間的取值范圍是，可以看出，利用數(shù)值模擬生成的圖像與我們的理論假想完全一致，說明前面的推導(dǎo)完全正確。在生成圖像過程中，時(shí)間的取值發(fā)生變化，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)圖像取得的部分也會(huì)隨之改變，完全符合拋物線的性質(zhì)。表1 模擬過程中常

15、量的取值3.2 帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性3.2.1 洛倫茲力4 帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，要受磁場的力，但是磁場是如何作用于它的？如圖4是一個(gè)陰極射線管。陰極射線管是一個(gè)真空放電管，在它兩個(gè)電極之間加上高電壓時(shí)，就會(huì)從它的陰極發(fā)射出電子束來。這樣的電子束即所謂陰極射線。電子束本身是不能用肉眼觀察到的，為此在管中附有熒光屏，電子束打在熒光屏上將發(fā)出熒光，這樣我們就可以看到電子的軌跡。沒有磁場時(shí)，電子束由陰極發(fā)出后沿直線前進(jìn)。如果早陰極射線管旁放一根磁棒電子束就會(huì)偏轉(zhuǎn)。這表明電子束受到了磁場的作用力。如圖4是是將磁鐵的極垂直地靠近陰極射線管一側(cè)的情形，這時(shí)磁場是沿水平方向的。從電子束偏轉(zhuǎn)的方向

16、可以看出，它受到的力是向下的。如圖4所示，電子的速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度和電子受到的力三個(gè)矢量彼此垂直。如果我們將磁棒在水平面偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度、使不再垂直，則電子束的偏轉(zhuǎn)將會(huì)變小。圖4 磁場使陰極射線管偏轉(zhuǎn)的演示 實(shí)驗(yàn)證明，運(yùn)動(dòng)帶電粒子在磁場中受的力與粒子的電荷、速度和磁感應(yīng)強(qiáng)度之間有如下關(guān)系：(10)按照矢量叉乘的定義，(10)式表明，的大小為 (11)為與之間的夾角，的方向與和構(gòu)成的平面垂直。上式還表明，帶電粒子受力的方向，與它的電荷的正負(fù)有關(guān)。（10）式給出的這個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中受的力，叫做洛倫茲力。 應(yīng)當(dāng)指出，由于洛倫茲力的方向總是與帶電粒子速度的方向垂直，洛倫茲力永遠(yuǎn)不對(duì)粒子做功。它只改變粒子運(yùn)

17、動(dòng)的方向，而不改變它的速率和動(dòng)能。 現(xiàn)在我們了解了帶電粒子在磁場中的受力，我們分兩種情況來討論帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)。3.2.2 粒子的初速度垂直于5 由于洛倫茲力永遠(yuǎn)在垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度的平面內(nèi)，而粒子的初速度也在這個(gè)平面內(nèi)，因此它的運(yùn)動(dòng)軌跡不會(huì)越出這個(gè)平面，由于洛倫茲力永遠(yuǎn)垂直于粒子的速度，它只改變粒子運(yùn)動(dòng)的方向，不改變其速率，因此粒子在上述平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)粒子的質(zhì)量為，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，則粒子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度為。這里維持粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力就是洛倫茲力，因與垂直，洛倫茲力的大小為，其中為粒子的電荷，按照牛頓第二定律，有由此得軌道的半徑為 （12）(12)式表明，與成正

18、比，與成反比。 粒子回繞一周所需要的時(shí)間（即周期）為（13）而單位時(shí)間里所繞的圈數(shù)（即頻率）為（14）叫做帶電粒子在磁場中的回旋共振頻率。上式表明，回旋共振頻率與粒子的速率和回旋半徑（又稱拉莫爾半徑）無關(guān)。3.2.3 粒子的初速度與成任一夾角時(shí)6 在普遍的情形下，與成任意夾角.這時(shí)我們可以把分解為和兩個(gè)分量，它們分別平行和垂直于?，F(xiàn)在我們?cè)O(shè)，則（15）令 ，（1）式為（16）其分量形式為（17）對(duì)上式積分得，（18）再積分得（19）已知與都是常數(shù)，且也是常數(shù)，則、和都是常數(shù)。若只有分量，磁場對(duì)粒子沒有作用力，粒子將沿的方向（或其反方向）作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若只有分量，則粒子在與垂直的平面內(nèi)作勻速圓

19、周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)分量同時(shí)存在時(shí)，粒子的軌跡將成為一條螺旋線(圖5)，其螺距(即粒子每回轉(zhuǎn)一周時(shí)前進(jìn)的記錄)為圖5 帶電粒子在磁場中的螺旋運(yùn)動(dòng)（20）它與分量無關(guān)。而螺旋半徑為（21）圖6 利用mathmatic模擬的螺旋線圖6是利用mathamtic生成的模擬圖像，在這里我們發(fā)現(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)的螺旋線之間存在細(xì)微差異，但是我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，整個(gè)圖像的趨勢依然和標(biāo)準(zhǔn)螺旋線保持一致。與標(biāo)準(zhǔn)螺旋線之間的細(xì)微差異，主要是由于我們?cè)谀M過程中輸入的螺旋線方程不同于標(biāo)準(zhǔn)螺旋線方程，其中涉及了一些物理參量，從而造成圖像在直觀上與標(biāo)準(zhǔn)螺旋線存在差異，但是整個(gè)圖像的走勢完全符合標(biāo)準(zhǔn)螺旋線。如果我們?cè)谀M過程中對(duì)于時(shí)間的

20、取值過大，則會(huì)造成圖像過于密集而難以辨認(rèn)，所以我們?cè)谏蓤D像的過程中，最好選擇時(shí)間的取值在，這樣生成的圖像與標(biāo)準(zhǔn)螺旋線最為接近。 上述結(jié)果是一種簡單的磁聚焦原理。我們?cè)O(shè)想從磁場某點(diǎn)發(fā)射出一束很窄的帶電粒子流的速率差不多相等，且與磁感應(yīng)強(qiáng)度的夾角都很小,則 由于速度的垂直分量不同,在磁場的作用下,各粒子將沿不同半徑的螺旋線前進(jìn)。但由于它們速度的平行分量近似相等，經(jīng)過距離后它們又重新會(huì)聚在，這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象有些類似,所以叫做磁聚焦現(xiàn)象。 上面所講的是均與磁場中的磁聚焦現(xiàn)象，它要靠長螺線管來實(shí)現(xiàn)。然而實(shí)際上用的更多的是短線圈產(chǎn)生的非均勻磁場的聚焦作用，這里線圈的作用與光學(xué)中的透鏡相似，故稱

21、為磁透鏡。磁聚焦的原理在許多真空器件（特別是電子顯微鏡）中的應(yīng)用很廣泛。3.3 帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)特性3.3.1 、和兩兩相互垂直7 假設(shè)有一帶電粒子質(zhì)量為，若帶電量為，沿軸正方向，沿軸正方向，沿軸正方向射入、共同作用的區(qū)域里，根據(jù)公式可得 （22）(22)式中，其分量形式為（23）積分得（24）其中、和都是積分常數(shù)，由初始條件確定，再次積分得（25a)（25b）（25c）式中、和都是積分常數(shù)，由初始條件確定8。當(dāng)時(shí)，因此， （26）所以（25）式變?yōu)椋?7）令 則粒子的運(yùn)動(dòng)方程為（28）由此可看出 ， 帶電粒子的軌跡是一條旋輪線。3.3.2 與成任一夾角，垂直它們構(gòu)成的平面 一般情

22、況系下，為了計(jì)算方便，我們假設(shè)沿軸正方向，垂直于初速度與所構(gòu)成的平面（平面）。與成任意角，它的運(yùn)動(dòng)方程9為(29)其中，其分量方程為(30)初始條件為，,初速度，由（30）式得（31）令 ，解微分方程（32）將（32）式求導(dǎo)，得（33）初始條件時(shí)以及當(dāng)帶電粒子在初始位置時(shí)，代入（32）式和（33）式，得（34）把此結(jié)果代入，可求得（35）利用初始條件，得（36）同理可得（37）整理以上各式得（38a）（38b）（38c）用代替，代替，將（38）式積分并整理得 （39a）（39b） （39c）代入初始條件，且令，可以得（40a）（40b） （40c）上式即為在電磁場的一般情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程。四、小結(jié) 電磁場是電磁理論中的一個(gè)重要組成部分，帶電粒子在電磁場中會(huì)受到場強(qiáng)對(duì)它的作用力。一般時(shí)候，我們所用到的都是在一些特殊情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程，而實(shí)際中并不總是會(huì)出現(xiàn)這樣的情況。所以在文中我們推導(dǎo)出普遍情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程以便更好的應(yīng)用于實(shí)際。通過研究，我們得到以下結(jié)論