流體力學(xué)相似原理與ppt課件

1、 第五章第五章 類似原理與量綱分析類似原理與量綱分析 流動類似流動類似類似準那么類似準那么 模型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒?量綱分析量綱分析 5 51 1 流動類似流動類似 幾何類似幾何類似運動類似運動類似動力類似動力類似初始條件和邊境條件的初始條件和邊境條件的類似類似原型：流體實踐流動的實物。 模型：通常把原型實物按一定比例關(guān)系減少或放大的代表物，稱為模型。 模型實驗：根據(jù)類似原理把流體流動原型按一定比例減少制成模型，模擬與實踐情況類似的流體進展觀測和分析研討，然后將模型實驗的成果換算和運用到原型中，分析判別原型的情況。 關(guān)鍵問題：模型流體和原型流體堅持流動類似。 流動類似：兩個流動的相應(yīng)點上的同名物理量

2、如速度、壓強、各種作用力等具有各自的固定比例關(guān)系，那么這兩個流動就是類似的。 模型和原型保證流動類似，應(yīng)滿足： 幾何類似運動類似 動力類似 初始條件和邊境條件類似 一、幾何類似一、幾何類似 幾何類似是指原型與模型的外形類似，其各對應(yīng)角幾何類似是指原型與模型的外形類似，其各對應(yīng)角相等，而且對應(yīng)部分的線尺寸均成一定比例。相等，而且對應(yīng)部分的線尺寸均成一定比例。 對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等 p = m p = m 以角標以角標p p表示原型表示原型(prototype)(prototype)，m m表示模型表示模型(model)(model)。 線性尺寸成比例線性尺寸成比例 mpmplddll式中l(wèi)長度比

3、尺； lp原型某一部位長度； lm模型對應(yīng)部位的長度。面積比尺 222lmpmpAllAA333lmpmpvllVV 由上式可知，幾何類似是經(jīng)過長度比尺l來表示的。只需任一對應(yīng)長度都維持固定的比尺關(guān)系l，就保證了流動的幾何類似。體積比尺 二、運動類似二、運動類似 運動類似是指原型與模型兩個流動的流速場和加速度運動類似是指原型與模型兩個流動的流速場和加速度場類似。要求兩個流場中一切對應(yīng)的速度和加速度的方向場類似。要求兩個流場中一切對應(yīng)的速度和加速度的方向?qū)?yīng)一致，大小都維持固定的比例關(guān)系。對應(yīng)一致，大小都維持固定的比例關(guān)系。mpuuumpttttlmmppmputltluu2222)(tlmpm

4、pmmppmpattlltltlaa速度比尺時間比尺那么加速度比尺 由上可知，運動類似是經(jīng)過長度比尺l和時間比尺t來表示的。長度比尺已由幾何類似定出。 因此，運動類似就規(guī)定了時間比尺，只需對任一對應(yīng)點的流速和加速度都維持固定的比尺關(guān)系，也就是固定了長度比尺l和時間比尺t，就保證了運動類似。umpvvv 由于各相應(yīng)點速度成比例，所以相應(yīng)斷面平均流速有同樣的速度比尺，即 三、動力類似三、動力類似 動力類似是指原型與模型兩個流動的力場幾何類似。動力類似是指原型與模型兩個流動的力場幾何類似。要求兩個流場中一切對應(yīng)點的各種作用力的方向?qū)?yīng)一致，要求兩個流場中一切對應(yīng)點的各種作用力的方向?qū)?yīng)一致，大小都維

5、持固定比例關(guān)系。大小都維持固定比例關(guān)系。mpfFFaVmmmpppmpfaVaVFF3lV2tla即式中 Fp原型某點上的作用力； Fm模型對應(yīng)點上的作用力。由牛頓第二定律：F = ma = V a那么力的比尺為由于222223vltlltllf2222mmmpppmpvlvlFF那么 即上式可寫成 2222mmmmppppvlFvlF22vlFNemepeNN)()( 上式闡明，兩個流動動力類似，它們的牛頓數(shù)相等；反之兩個流動的牛頓數(shù)相等，那么兩個流動動力類似。 在類似原理中，兩個動力類似流動中的無量綱數(shù)，如牛頓數(shù)，稱為類似準數(shù)。動力類似條件類似準數(shù)相等稱為類似準那么。 無量綱數(shù)在類似原理中

6、稱為牛頓數(shù)Ne 四、初始條件和邊境條件的類似 初始條件：適用于非恒定流。邊境條件：有幾何、運動和動力三個方面的要素。如固體邊境上的法線流速為零，自在液面上的壓強為大氣壓強等 。 五、流動類似的含義 幾何類似是運動類似和動力類似的前提與根據(jù)； 動力類似是決議兩個流體運動類似的主導(dǎo)要素； 運動類似是幾何類似和動力類似的表現(xiàn)；凡流動類似的流動，必是幾何類似、運動類似和動力類似的流動。5 52 2 類似準那么類似準那么雷諾準那么雷諾準那么佛汝德準那么佛汝德準那么歐拉準那么歐拉準那么 5 52 2 類似準那么類似準那么 在模型實驗中，只需使其中起主導(dǎo)作用外力滿在模型實驗中，只需使其中起主導(dǎo)作用外力滿足類

7、似條件，就可以根本上反映出流體的運動形足類似條件，就可以根本上反映出流體的運動形狀。狀。 一、雷諾準那么一、雷諾準那么 作用在流體上的力主要是粘性力。作用在流體上的力主要是粘性力。 牛頓內(nèi)摩擦定律牛頓內(nèi)摩擦定律 粘性力粘性力 dyduAdyduATvlmmmmmpppppmpTdyduAdyduATTTfvlvl22粘性力比尺由于作用力僅思索粘性力，F(xiàn) = T ，即 于是 上式闡明，假設(shè)作用在流體上的力主要是粘性力時，兩個流動動力類似，它們的雷諾數(shù)應(yīng)相等。反之，兩個流動的雷諾數(shù)相等，那么這兩個流動一定是在粘性力作用下動力類似。mepeRR)()(1vlmmmppplvlv化簡后或者 無量綱數(shù)即

8、 雷諾數(shù) 上式闡明，假設(shè)作用在流體上主要是重力，兩個流動動力類似，它們的佛汝德數(shù)相等，反之，兩個流動的佛汝德數(shù)相等，那么這兩個流動一定是在重力作用下動力類似。3lgmmmpppmpGgVgVGG322lgvl12lgvmmmppplgvlgv22glvFr2mrprFF)()( 二、佛汝德準那么二、佛汝德準那么 作用在流體上的力主要是重力。即：重力作用在流體上的力主要是重力。即：重力 G G = mg = Vg= mg = Vg重力比尺重力比尺 由于作用力F中僅思索重力G，因此 F = G，即f = G于是化簡得：或 無量綱量佛汝德數(shù)所以 上式闡明，假設(shè)作用在流體上的力主要是壓力，兩個流動動力

9、類似，那么它們的歐拉數(shù)應(yīng)相等。反之，兩個流動的歐拉數(shù)相等，那么這兩個流動一定是在壓力作用下動力類似。 2lpmmppmpPApApPPPf222lpvl12vp22mmmpppvpvp2vpEumpEuEu)()( 三、歐拉準那么三、歐拉準那么 作用在流體上的力主要是壓力作用在流體上的力主要是壓力P P。即：壓力。即：壓力 P = P = pApA由于作用力F中只思索壓力P，因此 F = P，即壓力比尺于是可得化簡得那么 無量綱數(shù)歐拉數(shù) 所以5 53 3 模型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒災(zāi)Ｐ吐傻倪x擇模型律的選擇模型設(shè)計模型設(shè)計 5 53 3 模型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒?模型的設(shè)計，首先要處理模型與原型各種比尺模型的設(shè)計

10、，首先要處理模型與原型各種比尺的選擇問題，即所謂模型律的問題。的選擇問題，即所謂模型律的問題。 一、模型律的選擇一、模型律的選擇 在進展模型設(shè)計時，根據(jù)原型的物理量確定模型的量在進展模型設(shè)計時，根據(jù)原型的物理量確定模型的量值，這就是模型律的選擇，模型律的選擇應(yīng)根據(jù)類似準那值，這就是模型律的選擇，模型律的選擇應(yīng)根據(jù)類似準那么來確定。么來確定。 如今僅思索粘性力與重力同時滿足類似。如今僅思索粘性力與重力同時滿足類似。由雷諾準那么由雷諾準那么1vllv12lgvlv那么1由佛汝德準那么通常g = 1，那么上式為223ll/ 123l1lv1lv1l 要同時滿足雷諾準那么和佛汝德準那么兩個條件，式1和

11、式2相等。即得： 要實現(xiàn)兩流動類似，一是模型的流速應(yīng)為原型流速的 倍；二是必需按 來選擇運動粘度的比值，但通常這后一條件難于實現(xiàn)。 假設(shè)模型與原型采用同一種介質(zhì)，即 ，根據(jù)粘性力和重力的類似，由式1和式2，有如下的條件： 顯然，要同時滿足以上兩個條件，那么 ,即模型不能減少，失去了模型實驗的價值。 從上述分析可見，普通情況下同時滿足兩個或兩個以上作用力類似是難以實現(xiàn)的。 二、模型設(shè)計二、模型設(shè)計 模型設(shè)計首先定出長度比尺模型設(shè)計首先定出長度比尺 ，再以選定的比尺，再以選定的比尺 減減少或放大原型的幾何尺度，得出模型流動的幾何邊境。少或放大原型的幾何尺度，得出模型流動的幾何邊境。通常，模型和原型

12、采用同一種類流體，那么通常，模型和原型采用同一種類流體，那么 ，然后，然后按所選用的類似準那么確定相應(yīng)的速度比尺，再按下式計算出模型按所選用的類似準那么確定相應(yīng)的速度比尺，再按下式計算出模型流的流量：流的流量：ll12lvmmppmpAvAvQQ2lvpmQQ 按以上步驟，便可實現(xiàn)原型、模型流動在相應(yīng)準那么控制下的流動類似?；?例1：一橋墩長lp =24m，墩寬bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水流平均流速vp=2.3m/s，兩橋臺的間隔Bp=90m。取 =50來設(shè)計水工模型實驗，試求模型各幾何尺寸和模型中的平均流速和流量。l 水深 由給定的 = 50 直接計算l)(48. 05024m

13、lllpm)(086. 0503 . 4mbblpm)(80. 15090mBBlpm)(164. 0502 . 8mhhlpm 解：1模型的各幾何尺寸 橋墩長 橋墩寬 橋臺間隔 2模型平均流速與流量 對普通水工建筑物的流動，起主要作用的是重力，所以模型實驗只需滿足佛汝德準那么。即 12lgvlv)/(325. 0503 . 2smvvlpmmplmmppmpvvAvAvQQ2)/(091. 03 . 250325. 02 . 8)3 . 490(3 . 2322smvvQQplmpm所以 在此g = 1，那么 ，模型的流速為模型流量為由于由于 ，例2：汽車高hp=1.5m，最大行速為108k

14、m/h，擬在風(fēng)洞中測定其阻力。風(fēng)洞的最大風(fēng)速為45m/s，問模型的最小高度為多少？假設(shè)模型中測得阻力為1.50kN，試求原型汽車所受的阻力。解：1求模型的最小高度hm對于分析氣體阻力問題，可按雷諾準那么計算。雷諾準那么為1vl1pmvlvv1)( 136004510001085 . 1mvvhhhmpplpm故 此處 ， ，2求原型汽車所受的阻力由在推導(dǎo)牛頓數(shù)得到的力的比尺為22vlf1lv112222llvlfkNFFmp50. 1故 那么5 54 4量綱分析量綱分析 量綱和量綱調(diào)和原理量綱和量綱調(diào)和原理量綱分析法量綱分析法一、量綱一、量綱(dimension)(dimension)和量綱調(diào)

15、和原理和量綱調(diào)和原理 1 1、量綱、量綱 表示物理量的種類，稱為這個物理量的量綱或稱因表示物理量的種類，稱為這個物理量的量綱或稱因次。次。 同一物理量，可以用不同的單位來度量，但只需獨同一物理量，可以用不同的單位來度量，但只需獨一的量綱。在物理量的代表符號前面加一的量綱。在物理量的代表符號前面加“dimdim表示量綱，表示量綱，例如速度例如速度v v的量綱表示為的量綱表示為dim vdim v。量綱可分為根本量綱和導(dǎo)出量綱。量綱可分為根本量綱和導(dǎo)出量綱。根本量綱必需具有獨立性，不能從其它根本量綱推導(dǎo)根本量綱必需具有獨立性，不能從其它根本量綱推導(dǎo)出來，而且可以用它來參與表示其它各物理量的量綱。在

16、出來，而且可以用它來參與表示其它各物理量的量綱。在流膂力學(xué)中常用長度、時間、質(zhì)量流膂力學(xué)中常用長度、時間、質(zhì)量L L、T T、M M作為根本作為根本量綱。量綱。由根本量綱推導(dǎo)出來的量綱，稱導(dǎo)出量綱。它可用三由根本量綱推導(dǎo)出來的量綱，稱導(dǎo)出量綱。它可用三個根本量綱的指數(shù)乘積方式來表示。對于任何一個物理量個根本量綱的指數(shù)乘積方式來表示。對于任何一個物理量x x，其量綱可寫作，其量綱可寫作MTLx dim1導(dǎo)出量綱速度 dim v = LT-1加速度 dim a = LT-2密度 dim = M L-3力 dim F = M L T-2壓強 dim p = M L-1 T-2MTLx dim 物理量

17、x的性質(zhì)可由量綱指數(shù)，來反映。 如，有一個不為零，那么x為有量綱量。 如，均為零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,那么稱x為無量綱量，也稱純數(shù)。 根本量與導(dǎo)出量適當(dāng)組合可以組合成無量綱量。 無量綱量有如下特點： 量綱表達式中的指數(shù)均為零； 沒有單位； 量值與所采用的單位制無關(guān)。 由于根本量是彼此相互獨立的，故它們之間不能組成無量綱量。MTLx dim 2、無量綱量 量綱公式 問題1：運動粘度的量綱是：A. L/T2； B. L/T3 C. L2/T； D. L3/T。問題2：速度v，長度l，重力加速度 g 的無量綱集合是：A. B. C. D.問題3：速度v, 密度, 壓強 p 的無

18、量綱集合是：A. B. C. D.glvglvgvlglv2vppv2pv2vp(C)(D)(D) 3、量綱調(diào)和 量綱調(diào)和原理：一個完好正確的物理方程，不僅其等號兩邊的數(shù)值相等，而且其中各項的量綱也一定一樣。 由于物理方程的量綱具有一致性，可以用恣意一項去除方程兩邊，使方程每一項變?yōu)闊o量綱量，這樣原方程就變?yōu)闊o量綱方程。例如，動能方程221mvE 212mvEgvpzgvpz2222222111 量綱分析法就是運用量綱和量綱調(diào)和來探求物理景象的函數(shù)關(guān)系，即建立物理方程的一種方法。可改寫為又如，理想流體能量方程：也可改寫成12)2(21221212121vvvppgvzz量綱調(diào)和原理的重要性：

19、一個方程在量綱上應(yīng)是調(diào)和的，所以可用來檢驗閱歷公式的正確性和完好性。 量綱調(diào)和原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。 可用來建立物理方程式的構(gòu)造方式。 式中 k無量綱數(shù)； k1，k2，k3，kn待定指數(shù)。 設(shè)A、B、C為根本量綱，那么各要素的量綱為 ),(321nxxxxfynknkkkxxxkxy321321iiicbaiCBAx dim 二、量綱分析法二、量綱分析法 1 1、瑞利法、瑞利法 某一物理景象，各物理量間的函數(shù)關(guān)系為某一物理景象，各物理量間的函數(shù)關(guān)系為式中x1、x2、x3、xn和y為影響物理景象的要素。 對上式進展量綱分析，以找出諸要素之間的數(shù)學(xué)表達式。上式可寫成如下指數(shù)方式： (i

20、 = 1, 2, 3, ,n)dim y = AaBbCc 上式為量綱調(diào)和方程組，解這個方程組便得到指數(shù)k1，k2，k3，kn的數(shù)值，但因方程組中的方程數(shù)只需三個，當(dāng)待定指數(shù)kn中的指數(shù)個數(shù)n3時，那么有n3個指數(shù)需求用其它指數(shù)值的函數(shù)來表示。nnnnkcbakbakcbacbaCBACBACBACBA)()()(2221111nnkakakaa2211nnkbkbkbb2211nnkckckcc2211量綱表達式 由量綱調(diào)和原理可知，等號兩邊的根本量綱的指數(shù)必需一致，所以有 A： B： C： 例：根據(jù)察看、實驗和實際分析，以為總流邊境單位面積上的平均切應(yīng)力0與流體密度、動力粘度、平均流速v、

21、水力半徑R以及固體外表凸出的平均高度有關(guān)。 假設(shè)令沿程阻力系數(shù) ，可得 。)(Re,8Rf208v 各物理量的量綱 dim= M L-1 T-2 dim F = M LT-2 dim=M L-3 dim=M L-1 T-1 的單位Ns/m2 dim v = L T-1 dim R = L dim = L),(0Rvf543210kkkkkRvk 解：由知條件有指數(shù)乘積式將上述指數(shù)代入原指數(shù)乘積式，得54321)()()()()(111321kkkkkLLLTTMLMLTML5533332210kkkkkkRvk量綱表達式 量綱調(diào)和方程組 M： 1 = k1 + k2 L: 1 = 3k1 k2

22、 + k3 + k4 + k5 T: 2 = k2 k3以上方程組有五個未知數(shù)，三個方程。選定k3、k5為待定。聯(lián)立解上述方程組得 k2 = 2 k3 k1 = k3 1 k4 = - 2 + k3 k5 瑞利法適用于比較簡單的物理問題。333222kkk3322kkvvv353522220RekkkkvRkvRvRk 2)(Re,vRf)(Re,8Rf208v = = 又那么可得假設(shè)令并代入上式得 2、定理 其內(nèi)容為： 假設(shè)物理方程f(x1，x2，xn) = 0，含有 n 個物理量，其中涉及到 m 個根本量綱，那么這個物理方程可用n m個無量綱的項的關(guān)系式來表示，即 F1，2，n-m= 0由

23、于這些無量綱量用表示，所以就把這個定理稱為定理。它首先由布金漢提出，也稱布金漢定理。 現(xiàn)以實例來詳細闡明定理的推演過程。 設(shè)影響圓球在液體中運動的阻力FD與液體的密度和動力粘度，圓球直徑 d、相對速度 v 等要素有關(guān)，那么可得如下函數(shù)關(guān)系 FD = f(，v，d，)上式兩邊除以，得 ),(dvfFD),(1dvfFD上式左邊已無質(zhì)量的量綱 M，由量綱調(diào)和原理知，右邊也必需無質(zhì)量的量綱 M。上式可寫成 dim FD = M LT-2, dim= M L-1T-1注：左邊量綱：L4T-2進一步可使上式左邊無時間量綱 T，兩邊除以 v2 得212),(vdvfvFD那么 1 =f(2)或 F(1，2

24、) = 0上式闡明n = 5個變量利用 m = 3個包含根本量綱量的乘除變換，消除 m 個根本量綱，便得 n m = 2 個無量綱的項。),(22vdfvFD)(322vdfdvFD221dvFDvd2由量綱調(diào)和原理，上式右邊也無時間的量綱。那么上式可寫成同理，可使上式無長度量綱 L，得上式中兩邊均為無量綱量，分別以1和2表示，即注：左邊的量綱：L2 運用定理的兩點闡明： 1m 個根本量綱是從 n 個物理量中選取 m 個根本物理量來代表的。 普通取三個根本物理量，即 m=3，要求這三個根本物理量不能組合成一個無量綱量。如用量綱公式表示根本物理量x1，x2，x3，那么1111dimcbaMTLx

25、 2222dimcbaMTLx 3333dimcbaMTLx 0333222111cbacbacba 三個根本物理量普通取幾何長度、流速v、密度含有M、T及L量綱。因此，x1，x2，x3不能組合成無量綱量的條件是量綱公式中指數(shù)行列式不等于零。即 2項的組合除了三個根本物理量以外，每次輪換取一個物理量，組合而成。即 式中ai、bi、ci各項的待定指數(shù)。 這樣一共可寫出n 3個項，由于各項是無量綱量，dim = L0 T0 M0，因此，可由量綱調(diào)和原理求出各項的指數(shù)值。43211111xxxxcba53212222xxxxcbancbanxxxxnnn3333213 M M： 0 = c1 + 1

26、 0 = c1 + 1 L L： 0 = a1 + b1 3c1 1 0 = a1 + b1 3c1 1 T T： 0 = b1 1 0 = b1 1),(dvfFD0),(1dvFfD1111cbavdDcbaFvd2222)()()(1131000111TMLMLLTLTLMcba 例1：以上例為例，求FD的表達式。 解：函數(shù)關(guān)系 或取d、v、為根本物理量，它們不能組合成一個無量綱量。和FD為導(dǎo)出量，將它們分別與根本量進展適當(dāng)組合。n = 5 , m = 3 , n m = 2 ,有二個項。12式1量綱表達式為比較兩邊的量綱，于是有式中 CD阻力系數(shù)，CD = f3 (Re)。 A圓球與速度方向垂直的迎流投影面面積，m2222vdFD0),(22vdFdvFD(Re)(2122fdvfvdFDvdvdRe222(Re)dvfFDAvCFDD22解得 a2 = 2， b2 = 2， c2 = 1。那么代入F1，2= 0 得或 故上式闡明阻力等于某一系數(shù)乘v2d2，而該系數(shù)是Re的函數(shù)。通常N例2：實驗察看與實際分析指出，恒定有壓管流的壓強損失p與管長l、直徑d、管壁粗糙度、動力粘度、密度、流速v等要素有關(guān)。試用定理求出計算壓