平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)

1、平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】已知兩個非零向量a，b，為a與b的夾角.1.若ab0，則a與b有什么關(guān)系？【提示】ab0，a0，b0，cos 0，90，ab.2.aa等于什么？【提示】|a|a|cos 0|a|2.(1)如果e是單位向量，則aeea|a|cosa，e；(2)abab0；(3)aa|a|2即|a|；(4)cosa，b(|a|b|0)；(5)|ab|a|b|.平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律：abba；(2)分配律：(ab)cacbc；(3)數(shù)乘向量結(jié)合律：對任意實數(shù)，(ab)(a)ba(b).向量的數(shù)量積運算(2013海淀高一檢測)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角為120

2、，(1)求ab；(2)求a在b方向上的射影的數(shù)量.【思路探究】利用數(shù)量積的定義及幾何意義求解.【自主解答】(1)ab|a|b|cos 54cos 12054()10.(2)|a|cos 5cos 120，a在b方向上的射影的數(shù)量為.1.在書寫數(shù)量積時，a與b之間用實心圓點“”連接，而不能用“”連接，更不能省略不寫.2.求平面向量數(shù)量積的方法(1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在該向量上的射影的數(shù)量，可利用數(shù)量積的幾何意義求ab.1.(2013玉溪高一檢測)已知|a|6，|b|3，ab12，則a在b方向上的射影的數(shù)量是()A.4B.

3、4C.2D.2【解析】cos，向量a在向量b方向上的射影的數(shù)量為|a|cos64，故選A.【答案】A2.已知|a|6，e為單位向量，當(dāng)向量a、e之間的夾角分別等于45，90，135時，分別求出ae及向量a在e方向上的正射影的數(shù)量.【解】當(dāng)向量a和e之間的夾角分別等于45，90，135時，|a|e|cos 45613；|a|e|cos 906100；|a|e|cos 13561()3.當(dāng)向量a和e之間的夾角分別等于45，90，135時，a在e方向上的正射影的數(shù)量分別為：|a|cos 6cos 453；|a|cos 6cos 900；|a|cos 6cos 1353.與向量模有關(guān)的問題已知向量a與

4、b的夾角為120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|(ab)(a2b)|.【思路探究】利用aaa2或|a|求解.【自主解答】由已知ab|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，|ab|2.(2)(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412，|(ab)(a2b)|12.1.此類求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與數(shù)量積聯(lián)系.2.利用aaa2|a|2或|a|，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.設(shè)e1、e2是夾角為45的兩個單位向量，且ae12e2，b2e1e2，試求|ab|的值.【解】a

5、b(e12e2)(2e1e2)3(e1e2)，|ab|3(e1e2)|3|e1e2|333.與向量夾角有關(guān)的問題(2014濟(jì)南高一檢測)若向量a，b，c兩兩所成的角均為120，且|a|1，|b|2，|c|3，求向量ab與向量ac的夾角的余弦值.【思路探究】先利用已知條件，分別求出(ab)(ac)，|ab|和|ac|的大小，再根據(jù)向量的夾角公式求解.【自主解答】(ab)(ac)a2abacbc112cos 12013cos 12023cos 120，|ab|，|ac|，cos ，所以向量ab與ac的夾角的余弦值是.1.求向量a，b夾角的流程圖求|a|，|b|計算ab計算cos 結(jié)合0180，求解

6、2.當(dāng)題目中涉及向量較多時，可用整體思想代入求值，不必分別求值，以避免復(fù)雜的運算.(1)(2014遼寧師大附中高一檢測)若向量a與b不共線，ab0，且cab，則a與c的夾角為()A.0 B. C. D.(2)(2014貴州省四校高一聯(lián)考)若|a|2，|b|4且(ab)a，則a與b的夾角是()A. B. C. D.【解析】(1)acaaaaba2a20，又a0，c0，ac，a與c的夾角為，故選D.(2)因為(ab)a，所以(ab)aa2ab0，即aba24，所以cos，又因0，所以a與b的夾角是 ，故選A.【答案】(1)D(2)A混淆兩向量夾角為鈍角與兩向量數(shù)量積為負(fù)之間關(guān)系致誤設(shè)兩向量e1，e

7、2滿足：|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為60.若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.【錯解】由已知得e1e2211，于是(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.因為2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，所以2t215t70，解得7t.【錯因分析】當(dāng)兩向量反向共線時，其數(shù)量積為負(fù)，但夾角不是鈍角而是平角.【防范措施】若兩向量的夾角為鈍角，則這兩向量的數(shù)量積為負(fù)；反之不成立，因為兩向量反向共線時，夾角為平角，即180，其數(shù)量積也為負(fù).【正解】由已知得e1e2211，于是(2te17e2)(e1te2)2te(2t2

8、7)e1e27te2t215t7.因為2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，所以2t215t70，解得7t.但是，當(dāng)2te17e2與e1te2異向共線時，它們的夾角為180，也有2t215t70，這是不符合題意的.此時存在實數(shù)，使得2te17e2(e1te2)，即2t且7t，解得t.故所求實數(shù)t的取值范圍是7，.1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正(當(dāng)a0，b0,090時)，也可以為負(fù)(當(dāng)a0，b0,90180時)，還可以為0(當(dāng)a0或b0或90時).2.數(shù)量積對結(jié)合律一般不成立，因為(ab)c|a|b|cosa，bc是一個與c共線的向量，而(ac)b|a|c|co

9、sa，cb是一個與b共線的向量，兩者一般不同.3.a在b方向上的射影與b在a方向上的射影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分.1.對于向量a，b，c和實數(shù)，下列命題中正確的是()A.若ab0，則a0或b0B.若a0，則a0或0C.若a2b2，則ab或abD.若abac，則bc【解析】由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)知A、C、D錯誤.【答案】B2.(2013安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_.【解析】由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.【答案】3.已知|a|4，|b|6，a與b

10、的夾角為60，則向量a在向量b方向上的射影是_.【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 6042.【答案】24.已知|a|4，|b|5，當(dāng)(1)ab；(2)ab；(3)a與b的夾角為30時，分別求a與b的數(shù)量積.【解】(1)當(dāng)ab時，若a與b同向，則0，ab|a|b|cos 04520；若a與b反向，則180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)當(dāng)ab時，.ab|a|b|cos4500.(3)當(dāng)a與b的夾角為30時，ab|a|b|cos 304510.一、選擇題1.|a|1，|b|2，cab且ca，則a與b的夾角為()A.30B.60C.120 D.150【解析】ca，

11、設(shè)a與b的夾角為，則(ab)a0，所以a2ab0，所以a2|a|b|cos 0，則12cos 0，所以cos ，所以120.故選C. 【答案】C2.若向量a與b的夾角為60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，則a的模為()A.2B.4 C.6D.12【解析】(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.【答案】C3.ABC中，0，則ABC是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】|cos A0，cos A0.A是鈍角.ABC是鈍角三角形.【答案】C4.(2014懷遠(yuǎn)高一檢

12、測)已知i與j為互相垂直的單位向量，ai2j，bij且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是()A.(，2)B.C.D.【解析】ab(i2j)(ij)120，又a、b同向共線時，ab0，設(shè)此時akb(k0)，則i2jk(ij)，2，a、b夾角為銳角時，的取值范圍是(，2)，故選A.【答案】A5.(2014皖南八校高一檢測)在OAB中，已知OA4，OB2，點P是AB的垂直平分線l上的任一點，則()A.6B.6 C.12D.12【解析】設(shè)AB的中點為M，則()()(O)(22)6.故選B.【答案】B二、填空題6.(2014北大附中高一檢測)向量a與b的夾角為120，|a|1，|b|3，則|5ab|

13、_.【解析】因為ab|a|b|cos 120，所以|5ab|225a210abb22510949，所以|5ab|7.【答案】77.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則等于_.【解析】(3a2b)(ab)(ab)(3a2b)0，3a2(23)ab2b20.又|a|2，|b|3，ab，12(23)23cos 90180，12180，.【答案】8.(2014溫州高一檢測)已知a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b(ab)0，則|b|的取值范圍是_.【解析】設(shè)a，b的夾角為，由b(ab)0，得|b|a|cos |b|20.解得|b|0或|b|a|cos cos 1，所以|b|的取值范圍

14、是0,1.【答案】0,1三、解答題9.已知向量a、b的長度|a|4，|b|2.(1)若a、b的夾角為120，求|3a4b|；(2)若|ab|2，求a與b的夾角.【解】(1)ab|a|b|cos 120424.又|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b294224(4)1622304，|3a4b|4.(2)|ab|2(ab)2a22abb2422ab22(2)2，ab4，cos .又 0，.10.已知ab，且|a|2，|b|1，若有兩個不同時為零的實數(shù)k，t，使得a(t3)b與katb垂直，試求k的最小值.【解】ab，ab0，又由已知得a(t3)b(katb)0，ka2t(t3)b20.

15、|a|2，|b|1，4kt(t3)0.k(t23t)(t)2(t0).故當(dāng)t時，k取最小值.11.(2014淄博高一檢測)設(shè)向量a，b滿足|a|b|1，且|3a2b|.(1)求a與b夾角的大?。?2)求ab與b夾角的大?。?3)求的值.【解】(1)設(shè)a與b的夾角為，(3a2b)29|a|24|b|212ab7，又|a|b|1，ab，|a|b|cos ，即cos .又0，a與b的夾角為.(2)設(shè)ab與b的夾角為，(ab)bb2ab1，|ab|，|b|1，cos ，又0，ab與b的夾角為.(3)(3ab)29|a|26ab|b|293113，(3ab)29|a|26ab|b|29317，.(教師用書獨具)已知向量a、b不共線，且|2ab|a2b|，求證：(ab)(ab).【思路探究】證明ab與ab垂直，轉(zhuǎn)化為證明ab與ab的數(shù)量積為零.【自主解答】|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2，4a24abb2a24ab4b2，a2b2，(ab)(ab)a2b20.又a與b不共線，ab0，a