一個(gè)數(shù)的原碼,反碼,補(bǔ)碼

1、基本概念 在計(jì)算機(jī)內(nèi)部表示二進(jìn)制數(shù)的方法稱為數(shù)值編碼，把一個(gè)數(shù)及其符號(hào)在機(jī)器中的表示加以數(shù)值化，稱為機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)所代表的數(shù)稱為數(shù)的真值。 表示一個(gè)機(jī)器數(shù)，應(yīng)考慮以下三個(gè)因素： 1機(jī)器數(shù)的范圍 字長為8位，無符號(hào)整數(shù)的最大值是（11111111）B=（255）D，此時(shí)機(jī)器數(shù)的范圍是0255。 字長為16位，無符號(hào)整數(shù)的最大值是 （1111111111111111）B=（FFFF）H=（65535）D 此時(shí)機(jī)器數(shù)的范圍是065535。 2機(jī)器數(shù)的符號(hào) 在算術(shù)運(yùn)算中，數(shù)據(jù)是有正有負(fù)的，將這類數(shù)據(jù)稱為帶符號(hào)數(shù)。 為了在計(jì)算機(jī)中正確地表示帶符號(hào)數(shù)，通常規(guī)定每個(gè)字長的最高位為符號(hào)位，并用0表示正數(shù)，用1

2、表示負(fù)數(shù)。 3機(jī)器數(shù)中小數(shù)點(diǎn)的位置 在機(jī)器中，小數(shù)點(diǎn)的位置通常有兩種約定： 一種規(guī)定小數(shù)點(diǎn)的位置固定不變，這時(shí)的機(jī)器數(shù)稱為“定點(diǎn)數(shù)”。 另一種規(guī)定小數(shù)點(diǎn)的位置可以浮動(dòng)，這時(shí)的機(jī)器數(shù)稱為“浮點(diǎn)數(shù)”。 4原碼 正數(shù)的符號(hào)位為0，負(fù)數(shù)的符號(hào)位為1，其它位按照一般的方法來表示數(shù)的絕對(duì)值。用這樣的表示方法得到的就是數(shù)的原碼。 【例1】當(dāng)機(jī)器字長為8位二進(jìn)制數(shù)時(shí)： X1011011 X原碼01011011 Y1011011 Y原碼11011011 1原碼00000001 1原碼10000001 127原碼01111111 127原碼11111111 原碼表示的整數(shù)范圍是： （2n-11）（2n-11），其

3、中n為機(jī)器字長。 則：8位二進(jìn)制原碼表示的整數(shù)范圍是127127 16位二進(jìn)制原碼表示的整數(shù)范圍是3276732767 5反碼 對(duì)于一個(gè)帶符號(hào)的數(shù)來說，正數(shù)的反碼與其原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼為其原碼除符號(hào)位以外的各位按位取反?！纠?.14】當(dāng)機(jī)器字長為8位二進(jìn)制數(shù)時(shí)： X1011011 X原碼01011011 X反碼01011011 Y1011011 Y原碼11011011 Y反碼10100100 1反碼00000001 1反碼11111110 127反碼01111111 127反碼10000000 負(fù)數(shù)的反碼與負(fù)數(shù)的原碼有很大的區(qū)別，反碼通常用作求補(bǔ)碼過程中的中間形式。 反碼表示的整數(shù)范圍與原碼

4、相同。 6補(bǔ)碼 正數(shù)的補(bǔ)碼與其原碼相同，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為其反碼在最低位加1。 【例2】（1）X1011011 （2） Y1011011 （1）根據(jù)定義有： X原碼01011011 X補(bǔ)碼01011011 （2） 根據(jù)定義有： Y原碼11011011 Y反碼10100100 Y補(bǔ)碼10100101 補(bǔ)碼表示的整數(shù)范圍是2n-1（2n-11），其中n為機(jī)器字長。 則：8位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示的整數(shù)范圍是128127 16位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示的整數(shù)范圍是3276832767 當(dāng)運(yùn)算結(jié)果超出這個(gè)范圍時(shí)，就不能正確表示數(shù)了，此時(shí)稱為溢出。 7補(bǔ)碼與真值之間的轉(zhuǎn)換 正數(shù)補(bǔ)碼的真值等于補(bǔ)碼的本身；負(fù)數(shù)補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換為其真值時(shí)，

5、將負(fù)數(shù)補(bǔ)碼按位求反，末位加1，即可得到該負(fù)數(shù)補(bǔ)碼對(duì)應(yīng)的真值的絕對(duì)值。 【例3】X補(bǔ)碼01011001B，X補(bǔ)碼11011001B，分別求其真值X。 （1）X補(bǔ)碼代表的數(shù)是正數(shù)，其真值： X1011001B （1×261×241×231×20） （641681） （89）D （2）X補(bǔ)碼代表的數(shù)是負(fù)數(shù)，則真值： X（1011001求反1）B （01001101）B （0100111）B （1×251×221×211×20） （32421） （39）D 數(shù)值在計(jì)算機(jī)中表示形式為機(jī)器數(shù),計(jì)算機(jī)只能識(shí)別0和1,使用的是二進(jìn)

6、制,而在日常生活中人們使用的是十進(jìn)制,"正如亞里士多德早就指出的那樣,今天十進(jìn)制的廣泛采用,只不過我們絕大多數(shù)人生來具有10個(gè)手指頭這個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果.盡管在歷史上手指計(jì)數(shù)(5,10進(jìn)制)的實(shí)踐要比二或三進(jìn)制計(jì)數(shù)出現(xiàn)的晚."(摘自<<數(shù)學(xué)發(fā)展史>>有空大家可以看看哦,很有意思的).為了能方便的與二進(jìn)制轉(zhuǎn)換,就使用了十六進(jìn)制(2 4)和八進(jìn)制(23).下面進(jìn)入正題. 數(shù)值有正負(fù)之分,計(jì)算機(jī)就用一個(gè)數(shù)的最高位存放符號(hào)(0為正,1為負(fù)).這就是機(jī)器數(shù)的原碼了.假設(shè)機(jī)器能處理的位數(shù)為8.即字長為1byte,原碼能表示數(shù)值的范圍為 (-127-0 +0127

7、)共256個(gè). 有了數(shù)值的表示方法就可以對(duì)數(shù)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算.但是很快就發(fā)現(xiàn)用帶符號(hào)位的原碼進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)結(jié)果正確,而在加減運(yùn)算的時(shí)候就出現(xiàn)了問題,如下: 假設(shè)字長為8bits ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10 (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確. 因?yàn)樵趦蓚€(gè)整數(shù)的加法運(yùn)算中是沒有問題的,于是就發(fā)現(xiàn)問題出現(xiàn)在帶符號(hào)位的負(fù)數(shù)身上,對(duì)除符號(hào)位外的其余各位逐位取反就產(chǎn)生了反碼.反碼的取值空間和原碼相同且一一對(duì)應(yīng). 下面是反碼的減法運(yùn)算: ( 1 )10 - ( 1 )

8、 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10 (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題. ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10 (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確 問題出現(xiàn)在(+0)和(-0)上,在人們的計(jì)算概念中零是沒有正負(fù)之分的.(印度人首先將零作為標(biāo)記并放入運(yùn)算之中,包含有零號(hào)的印度數(shù)學(xué)和十進(jìn)制計(jì)數(shù)對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)極大). 于是就引入了補(bǔ)碼概念. 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼就是對(duì)反碼加一,而正

9、數(shù)不變,正數(shù)的原碼反碼補(bǔ)碼是一樣的.在補(bǔ)碼中用(-128)代替了(-0),所以補(bǔ)碼的表示范圍為: (-1280127)共256個(gè). 注意:(-128)沒有相對(duì)應(yīng)的原碼和反碼, (-128) = (10000000) 補(bǔ)碼的加減運(yùn)算如下: ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10 (00000001)補(bǔ) + (11111111)補(bǔ) = (00000000)補(bǔ) = ( 0 ) 正確 ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10 (00000001) 補(bǔ)+ (11111110) 補(bǔ)= (111

10、11111)補(bǔ) = ( -1 ) 正確 所以補(bǔ)碼的設(shè)計(jì)目的是: 使符號(hào)位能與有效值部分一起參加運(yùn)算,從而簡化運(yùn)算規(guī)則. 使減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算,進(jìn)一步簡化計(jì)算機(jī)中運(yùn)算器的線路設(shè)計(jì) 所有這些轉(zhuǎn)換都是在計(jì)算機(jī)的最底層進(jìn)行的，而在我們使用的匯編、C等其他高級(jí)語言中使用的都是原碼。 原碼就是這個(gè)數(shù)本身的二進(jìn)制形式。 例如0000001 就是+11000001 就是-1 正數(shù)的反碼和補(bǔ)碼都是和原碼相同。 負(fù)數(shù)的反碼是將其原碼除符號(hào)位之外的各位求反 -3反=10000011反=11111100 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是將其原碼除符號(hào)位之外的各位求反之后在末位再加1。 -3補(bǔ)=10000011補(bǔ)=11111101 一

11、個(gè)數(shù)和它的補(bǔ)碼是可逆的。 為什么要設(shè)立補(bǔ)碼呢？ 第一是為了能讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行減法： a-b補(bǔ)=a補(bǔ)+（-b）補(bǔ) 第二個(gè)原因是為了統(tǒng)一正0和負(fù)0 正零：00000000 負(fù)零：10000000 這兩個(gè)數(shù)其實(shí)都是0，但他們的原碼卻有不同的表示。 但是他們的補(bǔ)碼是一樣的，都是00000000 特別注意，如果+1之后有進(jìn)位的，要一直往前進(jìn)位，包括符號(hào)位！（這和反碼是不同的?。?10000000補(bǔ) =10000000反+1 =11111111+1 =(1)00000000 =00000000(最高位溢出了，符號(hào)位變成了0） 有人會(huì)問 10000000這個(gè)補(bǔ)碼表示的哪個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼呢？ 其實(shí)這是一個(gè)規(guī)定，這個(gè)數(shù)表

12、示的是-128 所以n位補(bǔ)碼能表示的范圍是 -2(n-1)到2(n-1)-1 比n位原碼能表示的數(shù)多一個(gè)又例：1011 原碼：01011 反碼：01011 /正數(shù)時(shí)，反碼原碼 補(bǔ)碼：01011 /正數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼原碼 -1011 原碼：11011 反碼：10100 /負(fù)數(shù)時(shí)，反碼為原碼取反 補(bǔ)碼：10101 /負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼為原碼取反1 01101 原碼：0.1101 反碼：0.1101 /正數(shù)時(shí)，反碼原碼 補(bǔ)碼：0.1101 /正數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼原碼 -01101 原碼：1.1101 反碼：1.0010 /負(fù)數(shù)時(shí)，反碼為原碼取反 補(bǔ)碼：1.0011 /負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼為原碼取反1 總結(jié)：在計(jì)算機(jī)內(nèi)，定點(diǎn)數(shù)有

13、3種表示法：原碼、反碼和補(bǔ)碼所謂原碼就是前面所介紹的二進(jìn)制定點(diǎn)表示法，即最高位為符號(hào)位，“0”表示正，“1”表示負(fù)，其余位表示數(shù)值的大小。 反碼表示法規(guī)定：正數(shù)的反碼與其原碼相同；負(fù)數(shù)的反碼是對(duì)其原碼逐位取反，但符號(hào)位除外。補(bǔ)碼表示法規(guī)定：正數(shù)的補(bǔ)碼與其原碼相同；負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其反碼的末位加1。1、原碼、反碼和補(bǔ)碼的表示方法（1） 原碼：在數(shù)值前直接加一符號(hào)位的表示法。例如： 符號(hào)位 數(shù)值位+7原= 0 0000111 B-7原= 1 0000111 B 注意：a. 數(shù)0的原碼有兩種形式： +0原=00000000B -0原=10000000B b. 8位二進(jìn)制原碼的表示范圍：-127+127

14、2）反碼： 正數(shù)：正數(shù)的反碼與原碼相同。 負(fù)數(shù)：負(fù)數(shù)的反碼，符號(hào)位為“1”，數(shù)值部分按位取反。例如： 符號(hào)位 數(shù)值位 +7反= 0 0000111 B -7反= 1 1111000 B注意：a. 數(shù)0的反碼也有兩種形式，即 +0反=00000000B - 0反=11111111B b. 8位二進(jìn)制反碼的表示范圍：-127+1273）補(bǔ)碼的表示方法1）模的概念：把一個(gè)計(jì)量單位稱之為模或模數(shù)。例如，時(shí)鐘是以12進(jìn)制進(jìn)行計(jì)數(shù)循環(huán)的，即以12為模。在時(shí)鐘上，時(shí)針加上（正撥）12的整數(shù)位或減去（反撥）12的整數(shù)位，時(shí)針的位置不變。14點(diǎn)鐘在舍去模12后，成為（下午）2點(diǎn)鐘（14=14-12=2）。從0點(diǎn)

15、出發(fā)逆時(shí)針撥10格即減去10小時(shí)，也可看成從0點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針撥2格（加上2小時(shí)），即2點(diǎn)（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射為+2。由此可見，對(duì)于一個(gè)模數(shù)為12的循環(huán)系統(tǒng)來說，加2和減10的效果是一樣的；因此，在以12為模的系統(tǒng)中，凡是減10的運(yùn)算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉(zhuǎn)化成加法問題了（注：計(jì)算機(jī)的硬件結(jié)構(gòu)中只有加法器，所以大部分的運(yùn)算都必須最終轉(zhuǎn)換為加法）。10和2對(duì)模12而言互為補(bǔ)數(shù)。同理，計(jì)算機(jī)的運(yùn)算部件與寄存器都有一定字長的限制（假設(shè)字長為8），因此它的運(yùn)算也是一種模運(yùn)算。當(dāng)計(jì)數(shù)器計(jì)滿8位也就是256個(gè)數(shù)后會(huì)產(chǎn)生溢出，又從頭開始計(jì)數(shù)。產(chǎn)生溢出的量就是計(jì)數(shù)器的模，顯然，8位二進(jìn)制數(shù)，它的模數(shù)為28=256。在計(jì)算中，兩個(gè)互補(bǔ)的數(shù)稱為“補(bǔ)碼”。2）補(bǔ)碼的表示： 正數(shù)：正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼相同。 負(fù)數(shù)：負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼則是符號(hào)位為“1”，數(shù)值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。例如： 符號(hào)位 數(shù)值位 +