兩類相對轉動非線性動力學系統(tǒng)的統(tǒng)一動力學模型及混沌運動

1、第33卷第2期2009年3月燕山大學學報JournalofYanshanUniversityVol.33No.2Mar.2009文章編號：1007-791X(2009)02-0159-04兩類相對轉動非線性動力學系統(tǒng)的統(tǒng)一動力學模型及混沌運動喬杰敏，王坤*，李秀菊，張波（燕山大學理學院，河北秦皇島066004）摘要：建立了具有廣義阻尼力和非線性恢復力的二端面轉軸相對轉動系統(tǒng)與一類兩質量相對轉動系統(tǒng)的統(tǒng)一的非線性動力學模型。在弱周期力的條件下，研究了統(tǒng)一系統(tǒng)的混沌運動表現，應用Melnikov方法給出了系統(tǒng)發(fā)生混沌的必要條件，并利用倍周期分岔方法，進一步分析了系統(tǒng)的混沌行為。關鍵詞：相對轉動；非

2、線性動力系統(tǒng)；倍周期分岔；混沌中圖分類號：TN911文獻標識碼：A0引言在研究轉動運動和轉動力學過程中，1985年，位移的二次冪成正比，即=122Carmeli建立了轉動相對論力學理論1-2，1998年，羅紹凱建立轉動相對論分析力學理論3。文獻4-7基于相對性原理，建立了圓柱體任意兩個橫截面間的相對轉動常系數線性與變系數線性動力學模型并對系統(tǒng)進行了定性與定量分析，文獻8-9分別建立了一類二端面轉軸系統(tǒng)相對轉動的非線性動力學模型和一類兩質量相對轉動非線性系統(tǒng)動力學模型并討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與近似解。然而，以上對相對轉動動力學系統(tǒng)的研究，均假定系統(tǒng)的恢復力為線性的條件下進行的，具有一定局限性4-9其

3、中，為彈性系數，那么系統(tǒng)的恢復力成正比。=d=d與位移由牛頓第二定律系統(tǒng)的運動方程+=0上式是線性的，即服從胡克定律的彈性系統(tǒng)是線性的。但是，實際上許多彈性系統(tǒng)（包括工程上的各種構件等）并不服從以上的簡單規(guī)律性勢能取如下形式=12則可得系統(tǒng)的恢復力210。本文首先就非線性恢復力的來源進行說明，接著討論了兩類相對轉動動力學系統(tǒng)在具有非線性恢復力的條件下，它們的非線性動力學模型的統(tǒng)一性。最后應用混沌系統(tǒng)的解析理論，討論了在弱周期擾動力的作用下，統(tǒng)一系統(tǒng)的混沌運動表現。，一般彈+133+144+1非線性恢復力項的來源彈性系統(tǒng)中的胡克定律表示彈性勢能收稿日期：2008-11-07與=+2+3+基金項目

4、：國家自然科學基金資助項目（40374048）；河北教育廳科研計劃資助項目（2006447）作者簡介：喬杰敏（1985-），女，河北邢臺人，碩士，主要研究方向為非線性系統(tǒng)理論、控制與應用；*通訊作者：王坤（1960-），男，黑龍江齊齊哈爾人，教授，主要研究方向為非線性系統(tǒng)理論、控制與應用，Email：wangkun8992。160 燕山大學學報 2009 1 2 由這樣的 和 得到的運動方程自然是非線性 在方程 (3) 與 ( 4) 中,令 = 2 , 1= 1 1 2 12 2 或 1 1 + 1 2 2 2 , , 的.在勢能的多項式中取多少項才合適或正確,應 根據具體問題和要求來確定.

5、= 12 或 1 + 1 2 2 , = 6 1 2 或 1 得到兩類系統(tǒng)的統(tǒng)一形式的相對轉動非線性動力 2 兩類相對轉動非線性系統(tǒng)動力學模型的 統(tǒng)一性 如果在文獻 8 中,取阻尼力(阻尼力矩)為 1 學模型為 + 1 + 2 = (5) = 1 2 , 2= 2 1 2 1 2 , 取非線性彈性勢能為 3 1 2 3 系統(tǒng)的同宿軌道與混沌 在方程 (5 ) 中, 取 = 1 1 2 1 =2 1 +3 1 +4 4 1 2 + 1 + 3 3 , = 3 + 5, = , 2 =1, + 1 = + 3 sin 3 3 ,則得 + 5= sin (6) 則得系統(tǒng)的恢復力 1 2 = 1 2

6、+ 2 1 2 + 3 1 2 + 令 = , = ,則由方程 ( 6) 得 由此可得二端面轉軸系統(tǒng)相對轉動的非線性動力 學模型為 1 3 1 6 1 = = 3 5 + T sin , 3 T 3 3 1 3 (7) , , = +1 6 1 +3 2 + 1 2 + 1 2 = 2 1 設 (1 ) 0, sin 2 = , 1 = , 3 5 T ,得矩陣方程 , (8) 1 2 1 2 1 = = 其中, 為圓柱體任意兩個橫截面間的轉動慣量, 1 和 2分別為兩個橫截面的轉角, 1 和 2 分別是兩個 橫截面處的外加力矩. 在 文獻 9 中,同 樣取非線 性彈性勢能 為 1 2 + 當

7、 =0時,系統(tǒng) ( 7) 是無擾系統(tǒng),即 = = 令 = =0 ( 10) 3 5 (9) ,則得一類兩質量相對轉動非線性系統(tǒng)動 力學模型為 1 2 1 1 + 1 1 2 2 + 1 1 2 = 2 1 2 = (2 ) 得不動點 = 3 5 =0 其中, 1 , 2 為系統(tǒng)集中質量的轉動慣量, 1和 2 分 別為兩個橫截面的轉角, 1 和 2 分別是兩個橫截面 處的外加力矩. 由方程 ( 1) 和 (2 ) 易得 + 12 1 2 1, 0 , 1, 0 及三重不動點 0, 0 . 系統(tǒng) (9 ) 的特征方程為 0 3 2 0 5 4 0 2 =0 (11) 1 2 + 12 1 2 =

8、6 1 2 (3 ) =± 3 5 4 ( 12) 1 2 + 1 + 2 1 2 + 1 + 1 2 當不動點為 ± 0 時, =± 2i,所以 ± 0 1, 1, 2 1 2 = 1 2 為中心. 當不動點為 0, 0 時, =0,需討論不動 點的性質. (4 ) 1 2 1 2 1 1 2 因為 3 5 中不包含因子 , 所以 0 , 0 是孤立奇 第2期喬杰敏等兩類相對轉動非線性動力學系統(tǒng)的統(tǒng)一動力學模型及混沌運動0±161點。無擾系統(tǒng)(9)可以寫成=56=±32+4=3632+432(13)(21)±其中，=1，=

9、3，為不動點的重數。根據Briot-Bouquet引理可知，0,0的性質由決定，因為=2×1+1=1>0(=2)，所以不動點0,0是鞍點。系統(tǒng)(9)的Hamilton量為,當道0±根據Smale-Birkhoff同宿理論，當足夠小時，系統(tǒng)(7)可能有Smale馬蹄意義下的混沌。系統(tǒng)(7)的Melnikov函數為±01=22141+466(14)+=+±0±,+0d=0±0±0,0=0時，存在連接鞍點0,0的同宿軌。同宿軌道的求解如下：sin+01±d=(22)sin其中(15)101133令10,0=2=由式

10、(15)得221416+=046=+±2d=2222+34222+2333d=64=±即d22122(16)=+0±4d=264321d=81973+=123d=±2363sin32+42d=11cos3+422d2(17)即>111令=2cot，并對式(17)積分得32cot=±+32(18)+33(23)此時必存在0使得±cos±0=0，而±0=0，所以±0有單重零點，故可能3223把cot=代入式(18)，注意到=0，0=±22時，=0。整理之后得=±對求導得到=±

11、;3233+4(20)63+42產生Smale馬蹄意義下的混沌。注：積分的精確值很難求出，但應用數值積分法，很容易求得積分的近似值。(19)4數值仿真以上應用Melnikov方法得到了系統(tǒng)可能產生Smale馬蹄意義下的混沌的條件，但不能完全保證2系統(tǒng)發(fā)生混沌。而倍周期分岔是非線性動力系統(tǒng)產生混沌的典型途徑，下面應用倍周期分岔方法對系統(tǒng)(6)進行數值仿真。在系統(tǒng)(6)中，令1所以，兩條同宿軌道的參數為=0.3，2=0.001，=1，162燕山大學學報2009=，=，則得+0.3+0.00133+5=sin(24)在系統(tǒng)(24)中，令逐漸增加，系統(tǒng)由周期運動過渡到擬周期運動，最終系統(tǒng)產生混沌運動。

12、描繪系統(tǒng)的相軌跡如圖1(a)(e)所示。(a)=0.11，周期運動(b)=0.203，2周期運動(c)=0.292，4周期運動(d)=0.345，擬周期運動(e)=0.59，混沌運動圖1倍周期分岔的相軌跡Fig.1Phasetrajectoryofperioddoublingbifurcation如圖1所示，令逐漸增加，系統(tǒng)的運動出現倍周期運動分岔而產生混沌運動。當=0.11時，有周期運動；當=0.203時，有2周期運動；當=0.292時，有4周期運動；當=0.345時，出現擬周期運動；當=0.59時，系統(tǒng)出現混沌運動。5結束語本文論述了二端面轉軸相對轉動非線性動力學系統(tǒng)與一類兩質量相對轉動非

13、線性動力學系統(tǒng)具有統(tǒng)一形式的動力學模型。在主動力項為弱周期擾動力的條件下，證明了系統(tǒng)存在同宿軌道，給出了系統(tǒng)產生Smale馬蹄混沌運動的條件，并通過數值計算方法進一步驗證系統(tǒng)的混沌行為。參考文獻1CarmeliM.ThedynamicsofrapidlyrotatingbodiesJ.FoundPhys,1985,15(8):889-903.2CarmeliM.RotationalrelativitytheoryJ.InternationalJournalofTheoreticalPhysics,1986,25(1):89-94.3羅紹凱.轉動系統(tǒng)的相對論性分析力學理論J.應用數學和力學,19

14、98,19(1):43-53.4董全林,劉彬.在伽利略坐標變換下的二端面彈性轉軸相似動力學方程J.物理學報,2002,51(10):2191-2196.5董全林,王坤,劉彬,等.圓柱體相對轉動動力學方程的積分解J.物理學報,2004,53(2):337-342.6王坤.相對轉動動力學方程的穩(wěn)定性及在一類粘彈性系數下的解J.物理學報,2005,54(9):3987-3991.7趙武,劉彬,時培明,等.一類非線性相對轉動周期系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性分析J.物理學報,2006,55(8):3852-3857.（下轉第188頁）188燕山大學學報SystemsEngineering,1995,4(2):115

15、-124.6NobukoIgaki.Exponentialtwoservequeuewith2009withreparableservicestationJ.JounralofSystemsScience&參考文獻1曹晉華,程侃.服務臺可修的/1排隊系統(tǒng)分析J.應用數學學報,1982,5(2):113-127.-policyandgeneralvacationsJ.QueueingSystem,1992,10(4):279-294.7NeutsMF.Matrix-geometricsolutionsinstochasticmodels:an2史定華,張文國.具有多重延誤休假的可修排隊系

16、統(tǒng)/1/分析J.應用數學學報,1994,17(2):201-214./1/可修排隊系統(tǒng)()algorithmicapproachM.Baltimore,MD:JohnsHopkinsUni-versityPress,1981:81-83.8曹晉華,程侃.可靠性數學引論M.北京:高等教育出版社,2006.9唐應輝,唐小我.排隊論:基礎與分析技術M.北京:科學出版社,2006.3唐應輝,唐小我.推廣的一些排隊指標.系統(tǒng)科學與數學,2000,20(4):385-397.4岳德權,呂勝利,李靜鉑.一個修理工的可修排隊J.燕山大學學報,2003,27(3):197-202.5YueDQ,ZhaoW.Re

17、liabilityanalysisofsomequeuingmodelsAnalysisofarepairablequeuingsystemwithdifferentspareserversYUEDe-quan,MAJin-wang(CollegeofSciences,YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei066004,China)Abstract:Inthispaper,arepairablequeuingsystemwithdifferentspareserversisconsidered,inwhichoneservergoesonduty,andtheo

18、theroneiskeptonstandbyinthebeginning.Whentheserverhasbrokendown,andiftherepairmanisidle,itcanberepairedandreplacedbythespareserverimmediately,otherwise,itneedstowaitforrepairation.Usingthematrix-geometricsol-ution'smethod,theexistingconditionofsteady-stateequilibriumandthesteady-stateprobability

19、vectorsaregiven.Bythenumericalsolution,theinfluenceofparametersontheaveragequeuelengthofsystemisdiscussed.Keywords:repairablequeuingsystem;spareservers;matrix-geometricsolution;quasi-birth-and-deathprocess（上接第162頁）8王坤.二端面彈性轉軸相對轉動非線性動力學系統(tǒng)的穩(wěn)定性與近似解J.物理學報,2005,54(12):5530-5533.9時培明,劉彬.相對轉動非線性動力學系統(tǒng)的穩(wěn)定性與強迫激勵下的近似解J.物理學報,2007,56(7):5530-5533.10劉秉正,彭建華.非線性動力學M.北京:高等教育出版社,2004.Unifieddynamicsmodeloftwokindofrelativerotationnonlineardynamicssystemand