關于逆矩陣求法的討論畢業(yè)論文

1、畢 業(yè) 論 文（設 計）（ 一三 屆 ）題 目： 關于逆矩陣求法的討論院（系、部）：數(shù)學科學與應用學院專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 姓 名： 張利明學 號 08090231 指導教師： 肖艷艷 南京師范大學泰州學院教務處 制摘 要：為了更便捷地解決求矩陣的逆，本文根據(jù)不同矩陣的不同特點簡單介紹了幾種求逆矩陣的方法。主要有定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法與解方程組法，并對部分進行了簡要論證。關鍵字：逆矩陣；分塊矩陣；初等變換；伴隨矩陣Abstract:In the aim of extracting the inverse of the matrix more conveniently,

2、this paper introduces several methods of extracting the inverse matrix according to the different features of the matrix. It mainly includs the definition method, the adjoint matrix method, the elementary operation method, the partitioned matrix method and the method of solving the equations. Some o

3、f these methods are briefly demonstrated in the paper.Keywords: inverse matrix; partitioned matrix; elementary operation; adjoint matrix目 錄1 緒論31.1研究意義31.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀31.3本文主要解決的問題42 矩陣的基礎知識42.1矩陣的定義及性質(zhì)42.1.1矩陣的定義42.1.2矩陣的性質(zhì)52.2逆矩陣的定義與性質(zhì)62.2.1逆矩陣的定義62.2.2逆矩陣的性質(zhì)73 逆矩陣的求法73.1用定義求逆矩陣73.2用伴隨矩陣求逆矩陣83.3用初等變換求逆

4、矩陣93.3.1初等行變換93.3.2初等列變換93.3.3混合采用初等行、列變換103.4用分塊矩陣求逆矩陣123.5用解方程組求逆矩陣12結 論14謝 辭15參考文獻161 緒 論矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的主要研究對象之一，也是數(shù)學研究和應用的一個重要工具。“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個術語。而實際上，矩陣在它的課題誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。18世紀中期，數(shù)學家們開始研究二次曲線和二次曲面的方程簡化問題，即二次型的化簡。在這一問題的研究中，數(shù)學家們得到了與后來的矩陣理論密切相關的許多概念和結論。1748年，瑞士數(shù)

5、學家歐拉(LEuler，17071783)在將三個變數(shù)的二次型化為標準形時，隱含地給出了特征方程的概念。1773年，法國數(shù)學家拉格朗日(JLLagrange，17361813)在討論齊次多項式時引入了線性變換。1801年德國數(shù)學家高斯(CFGauss，1777一1855)在算術研究中，將歐拉與拉格朗日的二次型理論進行了系統(tǒng)的推廣，給出了兩個線性變換的復合，而這個復合的新變換其系數(shù)矩陣是原來兩個變換的系數(shù)矩陣的乘積。另外，高斯還從拉格朗日的工作中抽象出了型的等價概念，在研究兩個互逆變換的過程中孕育了兩個矩陣的互逆概念。 矩陣理論是線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容，也是處理實際問題的重要工具，很多實際問題用

6、矩陣的思想去解既簡單又快捷。而逆矩陣在矩陣的理論和應用中占有相當重要的地位。比如逆矩陣可以用來解線性方程組。逆矩陣的求法自然也就成為線性代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一。伴隨矩陣法要求計算矩陣的行列式的值以及它的伴隨矩陣，當其階數(shù)較高時，它的計算量是很大的，此時用伴隨矩陣法求逆矩陣通常是不方便的。為了更便捷地求矩陣的逆，本文根據(jù)矩陣的特點簡單介紹了幾種求逆矩陣的方法，這些方法能幫助我們更快更準地解決繁瑣的求逆矩陣問題。同時，它還是我們更好的學習線性代數(shù)的必備基礎知識，認真掌握它，可供我們以后繼續(xù)在數(shù)學方面深造打下堅實的基礎。 矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究和應

7、用的一個重要工具。而逆矩陣在矩陣的理論和應用中占有相當重要的地位，逆矩陣的應用也相當廣泛。可以說，凡是用到矩陣的地方，都有可能用到逆矩陣。隨著逆矩陣研究的深入，其應用的范圍越來越廣，在數(shù)理統(tǒng)計、線性規(guī)劃、經(jīng)濟學、數(shù)值分析、控制論、網(wǎng)絡和測繪等領域的許多問題都需要用逆矩陣來解決。在研究最小二乘問題，長方、病態(tài)線性、非線性問題，無約束、約束規(guī)劃問題，系統(tǒng)識別問題和網(wǎng)絡問題等領域，逆矩陣更是不可缺少的研究工具。 本文先對矩陣及其逆矩陣從定理、性質(zhì)等方面進行了總結，然后介紹了逆矩陣的幾種常用的求解方法，主要有定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法與解方程組法。從而對矩陣有了進一步的理解，有助于解決

8、在數(shù)理統(tǒng)計、線性規(guī)劃、經(jīng)濟學、數(shù)值分析、控制論、網(wǎng)絡和測繪等領域遇到的相關問題。2 矩陣的基礎知識矩陣的定義及性質(zhì)由個數(shù)排列成個行個列的數(shù)表稱為矩陣，其中數(shù)稱為矩陣的元.當時，稱為階矩陣或方陣.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作或簡記為.兩個矩陣，如果，則稱矩陣與為同型矩陣.如果兩個同型矩陣與的對應元素相等，即，則稱矩陣與相等，記作或.1當時，矩陣稱為行矩陣或行向量.當時，矩陣稱為列矩陣或列向量.形如的階方陣，即主對角線以外的元素都是零的方陣稱為對角矩陣或對角方陣，記作. 特別當時，這時的對角矩陣叫做階數(shù)量矩陣. 當時，這時的數(shù)量矩陣叫做階單位矩陣，記作或，在階數(shù)不致混淆時，簡記為或，即. 主對

9、角線下方的元素都是零的方陣叫做上三角矩陣. 主對角線上方的元素都是零的方陣叫做下三角矩陣.2性質(zhì)1矩陣的加法運算具有以下運算規(guī)律：加法交換律；加法的結合律；，其中，都是矩陣.性質(zhì)2矩陣數(shù)乘運算滿足以下運算規(guī)律：；，其中，都是矩陣，為任意實數(shù).性質(zhì)3矩陣乘法滿足的運算規(guī)律和性質(zhì)：結合律 ；分配律 ，；數(shù)與乘法的結合律 ；當，均為階方陣時，有；.3性質(zhì)4矩陣乘法不滿足交換律：例 1 已知，.求和.解，.定義 設為階矩陣，如果存在階矩陣，使得成立，那么矩陣稱為可逆矩陣，此時矩陣稱為的逆矩陣，簡稱為矩陣的逆矩陣不存在，那么稱為不可逆矩陣.的逆矩陣記作，即如果，那么.性質(zhì)1如果矩陣可逆的，那么的逆矩陣是

10、唯一的.證明 設，都是的逆矩陣，那么有，所以的逆矩陣是唯一的.性質(zhì)2如果可逆，那么可逆，且.性質(zhì)3如果可逆，數(shù)，那么可逆，且.性質(zhì)4如果可逆，那么可逆，且.性質(zhì)5如果，都是階可逆矩陣，那么可逆，且.證明 因為所以可逆，且.4 3 逆矩陣的求法設是一個階矩陣，如果存在階矩陣，使，則稱矩陣是可逆矩陣，并稱是的逆矩陣.5例2 已知階矩陣滿足，證明可逆，并求出它的逆矩陣.證 由，得，則，即且，由定義可知，可逆且. 設是階矩陣，稱矩陣稱為的伴隨矩陣，記作，其中是中元素的代數(shù)余子式，即.定理階矩陣可逆的充要條件是，且在可逆時，.這種求逆矩陣的方法稱為伴隨矩陣法.該法主要用于逆矩陣或伴隨矩陣的理論推導上，但

11、對于階數(shù)較低（一般不超過3）或元素的代數(shù)余子書式易于計算的矩陣可用此法求其逆矩陣.使用伴隨矩陣法求逆矩陣時，應注意以下幾點：準確地算出.注意的第行元素依次是矩陣的第列元素的代數(shù)余子式.是的代數(shù)余子式，不是余子式，且，因此計算時千萬不要遺漏代數(shù)符號.此定理不僅給出了方陣可逆的條件，同時也給出了求逆矩陣的公式.6 例3 判定矩陣是否可逆，若可逆，求.解 因為，所以可逆，又，所以.由階矩陣，作一個矩陣，如果此矩陣可以經(jīng)過初等行變換化為，那么矩陣可逆，此時即可為.換句話說，當可逆時，.例4 用初等行變換求逆矩陣的逆矩陣.解，故.類似地，如果階矩陣可逆，則作一個的矩陣，然后對此矩陣施以初等列變換，使矩陣

12、化為單位矩陣，此時可化為，即.7例5 用初等列變換求矩陣的逆矩陣.解，所以.3.3.3混合采用初等行、列變換設可逆，則對施行一系列的行、列初等變換把變成.即存在初等矩陣，使，則令，所以，對施行一系列行、列初等變換把變成，此時同樣的初等列變換把單位矩陣變成，而同樣的初等行變換把單位矩陣變成，則.于是構造一個矩陣.例 6 設，求. 解，. 在進行高階矩陣運算時，經(jīng)常將高階矩陣按某種規(guī)則分成若干塊，并視每一小塊是矩陣的元素，按照矩陣的運算法則進行計算，二小塊之間的運算同樣是按矩陣的運算法則進行運算，由此可以求出一個矩陣的逆矩陣.特別地，我們有，若為可逆矩陣，且，則.8例7 求矩陣的逆矩陣，其中.解

13、將矩陣分成四塊，形如，其中，于是，即，且，利用公式，得.，于是根據(jù)矩陣相等的定義可得與待定參數(shù)有關的若干個方程，從而可以求得待定參數(shù)，此法常用于求上（下）三角矩陣的逆矩陣.例8 求的逆矩陣.解 設，先求中主對角線下方的三個元素，再求，最后求.于是,比較等式的兩端，得到；解得，；解得，；解得，；解得，；解得，；解得，.于是，所求的逆矩陣.9結 論矩陣在我們生活中具有較強的應用性，因而備受人們的關注。而在解決矩陣問題時常常需要求矩陣的逆，因此總結出一套求矩陣逆的方法是必要的。在高等數(shù)學的內(nèi)容中的矩陣是一個重要知識點，它對學習初等數(shù)學也有一定的指導作用。靈活巧妙地運用矩陣能高瞻遠矚，方便地解決初等數(shù)

14、學與高等數(shù)學中的相關問題。能否熟練地應用就要看我們是否有運用它的意識，是否掌握其中的技巧，如果具備了這樣的能力，就能將復雜問題簡單化，進而提高解題速度，收到事半功倍的效果。事實上，如何應用矩陣去求逆矩陣，難點在于能否熟練的運用這些方法去求，此時既要考慮矩陣的形式，又要考慮所給的條件。此外，熟練掌握求逆矩陣的方法，有助于開闊眼界，培養(yǎng)散性思維。謝 辭論文得以完成，要感謝的人實在太多了，首先要感謝肖艷艷老師，因為論文是在肖老師的悉心指導下完成的。肖老師淵博的專業(yè)知識，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠。肖老

15、師指引我的論文的寫作的方向和架構，并對本論文初稿進行逐字批閱，指正出其中誤謬之處，使我有了思考的方向，他的循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪，他的嚴謹細致、一絲不茍的作風，將一直是我工作、學習中的榜樣。肖老師要指導很多同學的論文，加上本來就有的教學任務，工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中，精確到每一個字的批改給了我深刻的印象，使我在論文之外明白了做學問所應有的態(tài)度。論文的順利完成，也離不開其它各位老師、同學和朋友的關心和幫助。在整個的論文寫作中，各位老師、同學和朋友積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫作的建議和意見，在他們的幫助下，論文得以不斷的完善，最終幫助我完整的寫完了整個

16、論文。另外，要感謝張晗，王明剛，夏慧明，許榮飛等老師四年的指導和幫助，這也是論文得以完成的基礎。通過此次的論文，我學到了很多知識，跨越了傳統(tǒng)方式下的教與學的體制束縛，在論文的寫作過程中，通過查資料和搜集有關的文獻，培養(yǎng)了自學能力和動手能力。并且由原先的被動的接受知識轉換為主動的尋求知識，這可以說是學習方法上的一個很大的突破。在以往的傳統(tǒng)的學習模式下，我們可能會記住很多的書本知識，但是通過畢業(yè)論文，我們學會了如何將學到的知識轉化為自己的東西，學會了怎么更好的處理知識和實踐相結合的問題。在論文的寫作過程中也學到了做任何事情所要有的態(tài)度和心態(tài)，首先我明白了做學問要一絲不茍，對于出現(xiàn)的任何問題和偏差都

17、不要輕視，要通過正確的途徑去解決，在做事情的過程中要有耐心和毅力，不要一遇到困難就打退堂鼓，只要堅持下去就可以找到思路去解決問題的。在工作中要學會與人合作的態(tài)度，認真聽取別人的意見，這樣做起事情來就可以事半功倍?？傊?，此次論文的寫作過程，我收獲了很多。此次論文的完成既為大學四年劃上了一個完美的句號，也為將來的人生之路做好了一個很好的鋪墊。再次感謝在大學傳授給我知識以及給我?guī)椭凸膭畹睦蠋煟瑢W和朋友，謝謝你們。最后，謹向在百忙之中來參加論文答辯的各位老師表示衷心的感謝。參考文獻1 王中良.線性代數(shù)解題指導M.北京大學出版社，2008:43.2 朱玉清.線性代數(shù)M.國防工業(yè)出版社，2007:46-47.3 徐