北航電磁場與電磁波課程習(xí)題答案

1、4-2 由于，所以，若已知則可求。該結(jié)論是否正確？若已知，能否求出？解：該結(jié)論是錯(cuò)誤的 ，因?yàn)殡妶龇从沉穗娢缓瘮?shù)在空間的變化情況，故只有知道電位在空間的變化函數(shù)時(shí)，才可求出電場。而只知道某點(diǎn)處的電位值，是無法求出電位在空間的變化情況的。正如我們在數(shù)學(xué)中學(xué)到的，如果求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，應(yīng)先對該函數(shù)求導(dǎo)，后將坐標(biāo)值代入。即：4-3 由，能否根據(jù)分布求出分布？為什么？解：根據(jù)分布，求分布時(shí)，還應(yīng)注意電位參考點(diǎn)的問題。由于靜電場是保守場，所以，由，可求出某兩點(diǎn)間的電位差為：若選擇點(diǎn)為零電位參考點(diǎn)，即：，則空間任一點(diǎn)相對于點(diǎn)的電位分布為 4-4 已知，求解：4-5 已知在面上有三個(gè)點(diǎn)電荷，求：解：根據(jù)

2、點(diǎn)電荷電位公式和場的疊加原理4-6 為何要引入?yún)⒖茧娢?？若不引入?yún)⒖茧娢粫惺裁春蠊?？答：引入?yún)⒖茧娢痪褪菫榱嗽谙到y(tǒng)內(nèi)引入一個(gè)最基本的電位標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)，整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)任何一點(diǎn)的電位都是以此為基準(zhǔn)的，是相對于此點(diǎn)的電位。如果沒有這樣一個(gè)參考電位，則整個(gè)系統(tǒng)無標(biāo)準(zhǔn)可循，電位分布沒有唯一解。4-7 對于圖4-6所示的線電荷環(huán)，在下列兩種情況下，求其軸線上的電位和電場分布：（1） （常數(shù)） (2) 解：系統(tǒng)示意圖如圖4-7-1所示。這是一個(gè)已知空間電荷分布，求電位與電場的問題。由于電荷是分布在空間有限域內(nèi)，所以，我們可以用來求解。首先看第一種情況（1）可求得下面我們來求電場，我們已經(jīng)講過，用電位求電場時(shí)必須在知

3、道電位的空間表達(dá)式時(shí)，由求得的電場才是正確的。下面我們分析一下，此時(shí)，能否用由求。由對稱性，我們可以知道，的圓環(huán)在z軸上產(chǎn)生的電場只有z方向上的分量。而上面求得的又正好給出了電位在z軸上隨z的全部變化關(guān)系，故可使用通過求得z軸上的電場來。即： 時(shí)，z軸上的電位和電場分布為下面再來看第二種情況。（2） 不難求得這個(gè)結(jié)果是不難理解的。由于此時(shí)，園環(huán)上的電荷分布具有相對于yoz平面的奇對稱性，所以，整個(gè)yoz平面都是零等位面，顯然，z軸的電位也應(yīng)是等于零的。那么，z 軸上的電場呢？只需簡單分析一下，便會知道，在的半空間有負(fù)電荷分布，在的半空間有正電荷分布，顯然，處電場應(yīng)是指向負(fù)x軸負(fù)方向的，而前面求

4、得的只反映了在z軸方向電位保持常數(shù)。并未給出電位隨x變化的關(guān)系，因此，不能再用來由求了，那么，如何求z軸上的電場呢？方法有兩種，一種是求出空間任一點(diǎn)出的位函數(shù)，對求負(fù)梯度得到，進(jìn)而得到z軸上的電位和電場。另一種方法是，直接求帶電園環(huán)在z軸上產(chǎn)生的電場。有興趣的讀者，可以練習(xí)用第一種方法求解，下面我們采用第二種方法求解。首先在帶電圓環(huán)點(diǎn)處取一微元dS,則其在z軸上產(chǎn)生的電場在z處為：其中，為由點(diǎn)指向z點(diǎn)的單位矢徑。r為P點(diǎn)到z點(diǎn)的距離。由于z軸上的電場只有方向的分量，即因此，我們只要計(jì)算就可以了。由坐標(biāo)關(guān)系可知所以，4-8長為4a的均勻線電荷，彎成正方形后，若電荷分布不變，求該正方形軸線上的電位

5、和電場分布。解 ：設(shè)：電荷線密度對于z軸來講，各段所處的狀況相同，所以，各段在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位相等，根據(jù)電位的疊加原理。4-9 導(dǎo)出二維格林定理和二維平均值定理。 解：面散度公式定義為：，其中為面dS的法向方向，C是面積S的閉合邊界。設(shè) ，其中為兩標(biāo)量。：二維格林第一定理同理，當(dāng)時(shí)，兩式相減，則：二維格林第二定理推導(dǎo)二維平均值定理：作如圖所示的圓，使用第二格林定理，取由于在我們所討論的區(qū)間里，滿足拉氏方程。同此可得：取，但由于在P點(diǎn)不收斂，為了符合格林定理的條件，我們從S中提出一個(gè)小塊，它是以P點(diǎn)為球心，為半徑的圓面所包圍的小圓面。，且在C邊界，在邊界上，（由積分中值定理得出）。當(dāng) （二維平均值

6、定理）4-10 兩條線電荷密度大小等于，但符號相反的無限長，相互平行的均勻線電荷，當(dāng)他們的距離，且保持常數(shù)時(shí)所得到的極限模型稱為二維電偶極子，試求二維偶極子的電位和電場分布。解： 我們知道，位于z軸的無窮長線電荷在空間產(chǎn)生的電位場為其中C為常數(shù)，且取決于電位參考點(diǎn)的位置，在不失一般性的情況下，我們建立如圖4-10所示坐標(biāo)系，取兩線電荷所在平面為xoz平面，兩線電荷的中心處為z軸，指向的方向?yàn)閤軸，于是，可知，和線電荷在空間任一P處產(chǎn)生的電位為：產(chǎn)生的位產(chǎn)生的為，如圖4-10所示。P點(diǎn)的總電位為其中C的大小與電位參考點(diǎn)有關(guān)，本題中，由對稱性可知，選取處，是方便的。這時(shí)即有當(dāng)時(shí)，近似為代入中，有，

7、由于，故上式括號中的式子，具有，的形式，將在處展開，有-當(dāng)時(shí)，有，-2x令，有，代入中，可得若定義為二維電偶極子的電偶極子，則有，電場為4-11有一個(gè)線電荷密度為的均勻線電荷，分布在的線段上，試求：(1)求出它在xoy面上的電位和電場分布。(2)求出它在空間各點(diǎn)的電位和電場分布，再將代入?？唇Y(jié)果與（1）是否一致。(3)寫出在xoy面上，時(shí)電位的非近似表達(dá)式。由得出的表達(dá)式，可以得出什么結(jié)論？解: (1) 求出在xoy面上的，：由講義（4-30）式，可知該線電荷在xoy面上產(chǎn)生的電位為由于線電荷的分布相對于xoy平面是對稱的，所以可很容易判斷，其在xoy平面上產(chǎn)生的電場只有分量，由于中已包括了電

8、位隨變化的關(guān)系。故可用來求出xoy平面上的電場。即 所以，線電荷在xoy平面上產(chǎn)生的電位和電場為：(2) 求在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的電位和電場分布，再將z=0代入看與(1)的結(jié)果是否一致。首先在線電荷上處取一電荷元，它在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電位為：P點(diǎn)的總電位為 當(dāng)時(shí)，結(jié)果與（1）相同。全空間電場分布為：時(shí)，有：與（1）結(jié)果相同。（3） 前面已求得，在xoy面上電位表達(dá)式為：當(dāng)時(shí)，可將寫成其中 為線電荷所帶的總電荷量。這表明，當(dāng)時(shí)，電位形式接近位于坐標(biāo)原點(diǎn)，電量為Q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位形式。當(dāng)時(shí)，這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)，電位形式接近于無限長均勻線電荷的電位形式。4-12有一個(gè)位于z軸的線電荷系統(tǒng),電荷分布為:其中為

9、常數(shù)。 求它在xoy 面上的電位和電場分布。 求它在空間各點(diǎn)的電位和電場分布，再將z=0代入，看結(jié)果與（1）是否一致。解：由電荷分布對xoy面（）的奇對稱性可知，.由于電力線是由正電荷發(fā)出而終止于負(fù)電荷上的，因此可知，xoy面上的電場強(qiáng)度應(yīng)有z方向的分量，所以，不能使用來求得 .因此，只能使用直接積分來求。為求xoy面上任意一點(diǎn)P處的電場，我們分別在和線電荷上±z處取線元dz1,dz2,且使。則它們在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場分別為其合成場其中分別為指向P點(diǎn)的單位矢量方向。由于其中所以將在從0到進(jìn)行積分，可得：因?yàn)槭浅Ｊ噶浚商岬椒e分號外。所以，上述矢量積分可化為標(biāo)量積分：所以，xoy面上的電位

10、電場分布為： 為求得空間任一點(diǎn)P(x,y,z,)處的電場和電位，我們只需對此題稍作分析，便可很方便的求出，此時(shí)，系統(tǒng)的示意圖如圖4-12-2所示：H很顯然,以后對P點(diǎn)的貢獻(xiàn)將被的所抵消，所以，實(shí)質(zhì)上，對P點(diǎn)電位有貢獻(xiàn)的，只是邊部分0。于是，P點(diǎn)的電位，可由(4-30)式寫為：電場為：將代入，可得：（這里看不清楚，P19）當(dāng)z=0時(shí)，可得與的結(jié)果相同。4-13一個(gè)電阻器如圖所示，其上有均勻的恒定電流流過，若各導(dǎo)體介電常數(shù)均為電阻橫截面積為,求：(1) 電阻內(nèi)的電位分布。(2) 電阻兩端的電壓。(3) 電阻內(nèi)的電荷分布。解：如圖所示，選擇電流流動方向?yàn)閤軸方向。且取左端J=的理想導(dǎo)體處為坐標(biāo)原點(diǎn)(

11、1) 首先，應(yīng)將各參量的單位變換成公制單位，即圖4-31電阻器中的電流密度為：由導(dǎo)體中電流與電場的關(guān)系可知所以電位可由求得，不妨取求得不妨取則有(2) 電阻器兩端的電壓為（3）電阻器內(nèi)的電荷分布。首先我們看體電荷分布由于三段導(dǎo)體內(nèi)均為均勻場，所以，電阻器中的體電荷密度為0，即而面電荷密度可由電場邊界條件求得：4-14一個(gè)半徑為2米,電導(dǎo)率為20(M)-1的無限長導(dǎo)體圓柱,軸線為z為電導(dǎo)率等于5(M)的無界導(dǎo)體.已知系統(tǒng)的電位分布為:求 (1) 系統(tǒng)的電流分布. (2) 若導(dǎo)體介電常數(shù)為0,求在rC=2M的圓柱面上的面電荷密度.解:依題意,可建立如圖4-14所示的坐標(biāo)系,且有R=2m,1=5-1

12、,2=20-1, (1) 由于系統(tǒng)中的電位分布為所以系統(tǒng)中的電場分布為由導(dǎo)體中電場和電流間的關(guān)系, ,可求得系統(tǒng)的電流分布為(2) 當(dāng)導(dǎo)體的介電常數(shù)為0時(shí)在rC=2m的柱面上的面電荷分布,可由邊界條件求得:將 代入,可求得為4-154-16證明格林定理(4-110)和(4-111)兩式.解:格林第一公式為: 由高斯定理有:由矢量公式:有:所以有:格林第二公式為:由當(dāng)前所證知:將上面兩式相減,有:證畢.4-16導(dǎo)出圖4-21所示的鏡像關(guān)系式(4-156)和(4-157)兩式.解:該系統(tǒng)的邊界條件為:設(shè):q為導(dǎo)體球上感應(yīng)出的感應(yīng)電荷,位置為b如圖所示:則根據(jù)邊界條件cos是任意變量,為了保證等式兩

13、邊相等,則4-17若在一空間V內(nèi)，電位滿足泊松方程，而V的外表面1+2為一封閉表面。若已知證明：內(nèi)的電位有唯一的解。解：假定在區(qū)域中，有兩個(gè)不同的電位解，1和2，它們都滿足同樣的方程，即：圖4-17而在的邊界上，它們也滿足同樣的邊界條件，即：和現(xiàn)在，我們來看看這樣一個(gè)標(biāo)量位0=1-2對于滿足同一泊松方程的1，2，由位場的疊加原理可知，0的微分方程應(yīng)為也就是說，0應(yīng)滿足拉普拉斯方程。在邊界上，因?yàn)?，2滿足同樣的邊界條件，故可知0滿足的邊界條件為：及0滿足的微分方程和邊界條件為現(xiàn)在我們應(yīng)用格林第一定理，并取則有上式兩項(xiàng)均等于。無文所以，滿足混合邊界條件的也是唯一的。4-18已知圖所示正方形網(wǎng)格邊

14、緣各節(jié)點(diǎn)的電位（單位為V），求中間4節(jié)點(diǎn)上的電位1，2，3和4（精確到）解：根據(jù)平均值定理，可知即：首先由正方形網(wǎng)格邊緣的電位值可知，由極位定理，網(wǎng)格的電位應(yīng)1，故先任意一組零階解，例如選由式（1）知：如此繼續(xù)下去，可求得：u13(V)u2=u34(V)u45(V)此題的精確解應(yīng)為u1=3(V)u2=u3=4(V)u4=5(V)無文4-19已知空間電位分布（圖）求：空間的電荷分布。解：由電位分布可以看出，在rs=0處，為電位的奇異點(diǎn)，故在rs=0處，有點(diǎn)電荷存在。由 可知，電場分布為取一個(gè)半徑為的小球面,球面中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)（rs=0）處,則由電場高斯定律:當(dāng)0時(shí)又：在球坐標(biāo)系下：空間的電荷分

15、布為: rs=0處有一個(gè)電量為1C的點(diǎn)電荷。rs0處有電荷體密度為無文的分布電荷。4-20在距離地面50cm的地方，平行于地面放置了一條半徑為10cm的無限長帶電直導(dǎo)線，導(dǎo)線上每米帶有電量0.1C.求：地面上方空氣中的電位分布。解：設(shè)無限長帶電直導(dǎo)線的直徑為，則應(yīng)有：cm或5×10-2(m) b = 50 cm = 50×10-2(m)且0(C/M)顯然，本題可以用鏡象法來求解。鏡象系統(tǒng)如圖4-20（a）所示。由于此時(shí)帶電直線的半徑與其間距離屬于同數(shù)量級，故，應(yīng)采用電軸法，求圖4-20（a）系統(tǒng)在空間的場分布。電軸法示意圖如圖4-20（b）所示。首先，應(yīng)求出等效線電荷的位量

16、。由講義（4-170）式及（4-30）圖可知將b = 50×10-2(m), 5×10-2(m)代入，可得 d0.49(m)于是，由無窮長線電荷在空間電位的分布可知，圖4-20(b)的位于±d處的等效線電荷在空間產(chǎn)生的電位為由鏡象法的規(guī)則知，該位函數(shù)在X的空間適用所以，地面上面空氣中的電位分布為4-21求圖4-18a中,Z部分空間中的電位，電場（圖），以及接地導(dǎo)體表面的面電荷密度和電荷總量。 解: 因?yàn)榈趨^(qū)域?yàn)槔硐雽?dǎo)體（），所以根據(jù)鏡象原理，如圖所示，鏡象電荷位于z-d處，電荷量為-q。當(dāng)z時(shí)4-22對于圖4-21a。求：rsR空間區(qū)域中的電位和電場分布。球面上的

17、面電荷密度。導(dǎo)體球的帶電總量。解:在第16題中，我們已知道，該系統(tǒng)可用位于b處的 -q和位于d處的q兩個(gè)點(diǎn)電荷來等效。且有 -q，k,d,b如圖4-22（a）所示。則-q和q在空間任一點(diǎn)P(rs,，)處產(chǎn)生的位為為方便起見，我們建立如圖所示坐標(biāo)系，即造o,-q,q為z軸，則有：電場分布：（2）球面上的面電荷密度，可由邊界條件得出： 將 代入得:(3)導(dǎo)體球的帶電總量:4-23有一個(gè)二維導(dǎo)體直角形，設(shè)導(dǎo)體無限薄，且接地。（1） 若有一點(diǎn)電荷q如圖a所示放置，求空間各處的電位和電場分布。（2）若電荷如圖b放置,還能用鏡象法求解嗎？為什么？解：（1）用鏡象法求解本題。系統(tǒng)的鏡象等效系統(tǒng)如圖4-23（

18、b）所示。由點(diǎn)電荷的電場電位表達(dá)式，我們可以很容易的寫出角域中的電場電位分布:(x>0,y>0)(2) 當(dāng)電荷如圖4-23（c）所示位置放置時(shí)，不能再用鏡像法求解,原因在于在使用鏡象法時(shí),要得保證原邊界（y=0,x>0）和(x=0,y>0)上電位為零,必然使得y=0和x=0的整個(gè)平面上電位為零,必然使得y=0和x=0的整個(gè)平面上電位為零,這等于又增加了兩個(gè)條件,即（y=0,x<0）和（x=0,y<0）上的電位等于零。這與原題不符。而且,這樣做的結(jié)果會使得鏡像電荷進(jìn)入（y>0,x<0）和（x>0,y<0）的區(qū)域中,而這兩個(gè)區(qū)域是包含在求

19、解區(qū)域中的,所以,這將破壞電位在求解域中所滿足的方程。根據(jù)唯一性定理,此時(shí)即使用鏡像法求出解,也不再是原問題的解了。 此時(shí)求解角域的范圍 而2/3不是整數(shù)，故不符合鏡象法使 用在角域時(shí)的條件。4-24有一個(gè)與周圍絕緣的不帶電導(dǎo)體球，若我們依次按下列步驟來做，請討論球的電位和電荷分布的變化將一個(gè)點(diǎn)電荷由無窮遠(yuǎn)處移至球外某點(diǎn)。將球用導(dǎo)線與大地相連接。將導(dǎo)線拆除。將點(diǎn)電荷移回?zé)o窮遠(yuǎn)處。答：設(shè)點(diǎn)電荷為+q，且導(dǎo)體球的存在不影響點(diǎn)電荷的分布。1 將一個(gè)點(diǎn)電荷由無窮處移至球外某點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)體球的電位上升，且為正。同時(shí)，在導(dǎo)體球靠近點(diǎn)電荷處，分布有負(fù)電荷，等量的正電荷在導(dǎo)體球處均勻分布；2 當(dāng)將球用導(dǎo)線與大地相連接時(shí)，導(dǎo)體球的電位為零，導(dǎo)體球的電位為零，導(dǎo)體球面上負(fù)電荷分布不變，正電荷分布為零；3 將導(dǎo)線拆除時(shí)，電位仍為零，電荷分布不變，將點(diǎn)電荷移回?zé)o窮遠(yuǎn)處時(shí)，電位降為負(fù)電荷分布均勻。4-25半徑為a且接地的導(dǎo)體球外，在距球心為d(d>a)處，放置一個(gè)電偶極子 ,的指向?yàn)榍虻陌霃较蛲獾姆较颉Ｇ螅涸撓到y(tǒng)的鏡象系統(tǒng)及球外的電位分布。解:根據(jù)(4-156)和(4-157)兩