天津大學(xué)《最優(yōu)化方法》復(fù)習(xí)題(含答案)

1、天津大學(xué)最優(yōu)化方法復(fù)習(xí)題（含答案）第一章 概述(包括凸規(guī)劃)一、 判斷與填空題1 2 3 設(shè) 若，對于一切恒有，則稱為最優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解. 4 設(shè) 若，存在的某鄰域，使得對一切恒有，則稱為最優(yōu)化問題的嚴(yán)格局部最優(yōu)解. 5 給定一個最優(yōu)化問題，那么它的最優(yōu)值是一個定值. 6 非空集合為凸集當(dāng)且僅當(dāng)中任意兩點(diǎn)連線段上任一點(diǎn)屬于. 7 非空集合為凸集當(dāng)且僅當(dāng)中任意有限個點(diǎn)的凸組合仍屬于. 8 任意兩個凸集的并集為凸集. 9 函數(shù)為凸集上的凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為上的凹函數(shù). 10 設(shè)為凸集上的可微凸函數(shù)，. 則對，有 11 若是凹函數(shù)，則是凸集。 12 設(shè)為由求解的算法A產(chǎn)生的迭代序列，假設(shè)算法A為下降

2、算法，則對，恒有 .13 算法迭代時的終止準(zhǔn)則（寫出三種）：_。14 凸規(guī)劃的全體極小點(diǎn)組成的集合是凸集。 15 函數(shù)在點(diǎn)沿著迭代方向進(jìn)行精確一維線搜索的步長，則其搜索公式為 .16 函數(shù)在點(diǎn)沿著迭代方向進(jìn)行精確一維線搜索的步長，則 0 .17 設(shè)為點(diǎn)處關(guān)于區(qū)域的一個下降方向，則對于，使得 二、 簡述題1 寫出Wolfe-Powell非精確一維線性搜索的公式。2 怎樣判斷一個函數(shù)是否為凸函數(shù).（例如: 判斷函數(shù)是否為凸函數(shù)） 三、 證明題1 證明一個優(yōu)化問題是否為凸規(guī)劃.（例如 判斷（其中G是正定矩陣）是凸規(guī)劃.2 熟練掌握凸規(guī)劃的性質(zhì)及其證明.第二章 線性規(guī)劃考慮線性規(guī)劃問題：其中， 為給定

3、的數(shù)據(jù)，且rank一、 判斷與選擇題1 (LP)的基解個數(shù)是有限的. 2 若(LP)有最優(yōu)解，則它一定有基可行解為最優(yōu)解. 3 (LP)的解集是凸的. 4 對于標(biāo)準(zhǔn)型的(LP)，設(shè)由單純形算法產(chǎn)生，則對，有 5 若 為(LP)的最優(yōu)解， 為(DP)的可行解，則 6 設(shè)是線性規(guī)劃(LP)對應(yīng)的基的基可行解，與基變量對應(yīng)的規(guī)范式中，若存在，則線性規(guī)劃(LP)沒有最優(yōu)解。7 求解線性規(guī)劃(LP)的初始基可行解的方法：_.8 對于線性規(guī)劃(LP)，每次迭代都會使目標(biāo)函數(shù)值下降. 二、 簡述題1 將以下線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)型：2 寫出以下線性規(guī)劃的對偶線性規(guī)劃： 三、 計算題熟練掌握利用單純形表求解線性

4、規(guī)劃問題的方法（包括大M法及二階段法）. 見書本：例2.5.1 (利用單純形表求解);例2.6.1 (利用大M法求解); 例2.6.2 (利用二階段法求解).四、 證明題 熟練掌握對偶理論（弱對偶理論、強(qiáng)對偶理論以及互補(bǔ)松弛條件）及利用對偶理論證明相關(guān)結(jié)論。 第三章 無約束最優(yōu)化方法一、 判斷與選擇題1 設(shè)為正定矩陣，則關(guān)于共軛的任意向量必線性相關(guān). 2 在牛頓法中，每次的迭代方向都是下降方向. 3 經(jīng)典Newton法在相繼兩次迭代中的迭代方向是正交的. 4 PRP共軛梯度法與BFGS算法都屬于Broyden族擬Newton算法. 5 用DFP算法求解正定二次函數(shù)的無約束極小化問題，則算法中產(chǎn)

5、生的迭代方向一定線性無關(guān). 6 FR共軛梯度法、PRP共軛梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收斂性. 7 共軛梯度法、共軛方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次終止性. 8 函數(shù)在處的最速下降方向為 .9 求解的經(jīng)典Newton法在處的迭代方向為 .10 若在的鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且，則為的局部極小點(diǎn). 11 若在的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且為的嚴(yán)格局部極小點(diǎn)，則正定. 12 求解的最速下降法在處的迭代方向為 .13 求解的阻尼Newton法在處的迭代方向為 .14 用牛頓法求解時，至多迭代一次可達(dá)其極小點(diǎn). 15 牛頓法具有二階收斂性. 16 二次函數(shù)的共軛方向法具

6、有二次終止性. 17 共軛梯度法的迭代方向為：_.二、證明題1 設(shè)為一階連續(xù)可微的凸函數(shù)，且，則為的全局極小點(diǎn).2 給定和正定矩陣. 如果為求解的迭代點(diǎn)， 為其迭代方向，且為由精確一維搜索所的步長，則3 試證：Newton法求解正定二次函數(shù)時至多一次迭代可達(dá)其極小點(diǎn).四、 簡述題1 簡述牛頓法或者阻尼牛頓法的優(yōu)缺點(diǎn).2 簡述共軛梯度法的基本思想.五、 計算題1 利用最優(yōu)性條件求解無約束最優(yōu)化問題.例如：求解 2 用FR共軛梯度法無約束最優(yōu)化問題. 見書本：例3.4.1.3 用PRP共軛梯度法無約束最優(yōu)化問題.見書本：例3.4.1.例如：第四章 約束最優(yōu)化方法考慮約束最優(yōu)化問題：其中， 一、判斷

7、與選擇題1 外罰函數(shù)法、內(nèi)罰函數(shù)法、及乘子法均屬于SUMT. 2 使用外罰函數(shù)法和內(nèi)罰函數(shù)法求解（NLP）時，得到的近似最優(yōu)解往往不是（NLP）的可行解. 3 在求解（NLP）的外罰函數(shù)法中，所解無約束問題的目標(biāo)函數(shù)為 . 4 在（NLP）中，則在求解該問題的內(nèi)罰函數(shù)法中，常使用的罰函數(shù)為 .5 在（NLP）中，則在求解該問題的乘子法中，乘子的迭代公式為 ，對.6 在（NLP）中，則在求解該問題的乘子法中，增廣的Lagrange函數(shù)為：_7 對于(NLP)的KT條件為：_二、計算題1 利用最優(yōu)性條件(KT條件)求解約束最優(yōu)化問題.2 用外罰函數(shù)法求解約束最優(yōu)化問題.見書本：例4.2.1；例4.

8、2.2.3 用內(nèi)罰函數(shù)法求解約束最優(yōu)化問題.見書本：例4.2.3.4 用乘子法求解約束最優(yōu)化問題.見書本：例4.2.7；例4.2.8.三、簡述題1 簡述SUMT外點(diǎn)法的優(yōu)缺點(diǎn).2 簡述SUMT內(nèi)點(diǎn)法的優(yōu)缺點(diǎn).四、證明題利用最優(yōu)性條件證明相關(guān)問題. 例如：設(shè)為正定矩陣，為列滿秩矩陣.試求規(guī)劃的最優(yōu)解，并證明解是唯一的.第五章 多目標(biāo)最優(yōu)化方法一、判斷與選擇題1 求解多目標(biāo)最優(yōu)化問題的評價函數(shù)法包括 .2 通過使用評價函數(shù)，多目標(biāo)最優(yōu)化問題能夠轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)最優(yōu)化問題. 3 設(shè)，則在上的一般多目標(biāo)最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)形式為 .4 對于規(guī)劃，設(shè)，若不存在使得，則為該最優(yōu)化問題的有效解. 5 一般多目標(biāo)最優(yōu)化問題的絕對最優(yōu)解必是有效解. 6 對于規(guī)劃，設(shè)為相應(yīng)于的權(quán)系數(shù)，則求解以上問題的線性加權(quán)和法中所求解優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為 .7 利用求解的線性加權(quán)和法所得到的解，或者為原問題的有效解，或者為原問題的弱有效解. 二、簡述題1 簡單證明題 絕對最優(yōu)解、有效解、及弱有效解之間的關(guān)系.l